2022年三角函數(shù)恒等變換教案

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一、教學(xué)目標(biāo) 懂得以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ),推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公式 的方法,體會三角恒等變換特點(diǎn)的過程,懂得推導(dǎo)過程,把握其應(yīng)用 . 二、教學(xué)重、難點(diǎn) 1. 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運(yùn)用；2. 教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的敏捷運(yùn)用 . 三、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：研討式教學(xué) 四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入： 大家第一回憶一下兩角和與差的余弦公式：coscoscossinsin；coscos cossinsin這是兩角和與差的余弦公式,下面大家摸索一下兩角和與差的正弦 公式是怎樣的呢？提示：在第一章我們用誘導(dǎo)公式五（或六）可

2、以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互 化,這對我們解決今日的問題有幫忙嗎？讓同學(xué)動手完成兩角和與差正弦和正切公式. EMBED 讓.sincos2cos2cos2cossin2sinsincoscossinsinsinsincoscossinsincoscossin同學(xué)觀看熟識兩角和與差正弦公式的特點(diǎn),并摸索兩角和與差正切公式（同學(xué)動手）tansinsincoscossintan、tan的形式呢？coscoscossinsin通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有（分式分子、分母同時(shí)除以coscos,得到tantantan1tantan留意：2k,2k,2kkz 以上我們得到兩角和的正切公式,我們能否推倒出兩

3、角差的正切公式 呢？tantan2k,2tantankktantan1tantan1tantan留意：k,2z （二）例題講解例 1、利用和（差）角公式運(yùn)算以下各式的值：（1）、sin72 cos42cos72 sin42；（2）、cos20 cos70sin20 sin70；（3）、1tan151tan15 解：分析：解此類題第一要學(xué)會觀看,看題目當(dāng)中所給的式子與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個(gè)相象. 01（1）、sin72 cos42cos72 sin 42sin 7242sin302 ；（2）、cos20 cos70sin20 sin70cos 2070cos90；（3）、

4、1tan15tan45tan15tan 4515tan6031tan151 tan45 tan15.例 2 已知cos1,cos3,求tantan的值55例 3、化簡2 cosx6sinx解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象,但我 們能否發(fā)覺規(guī)律呢？2 cosx6 sinx2 21cosx3sinx22 2 sin 30 cosxcos30 sinx2 2 sin 30 x22摸索：2 2是怎么得到的？2 2262,我們是構(gòu)造一個(gè)叫使它13的正、余弦分別等于2 和2 的. 小結(jié)： 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦和正切公式,我們要熟記公式,在解題過程中要善于發(fā)覺規(guī)律,學(xué)會

5、敏捷運(yùn)用 . 作業(yè)：1、 已知tan42,tan341 , 4 求tan,sin354 的值（22 ）,cos43352、 已 知045413 , 求sin的值二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教學(xué)目標(biāo)以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ),推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式,懂得推導(dǎo)過程,把握其應(yīng)用 . 二、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ),推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；教學(xué)難點(diǎn)：二倍角的懂得及其敏捷運(yùn)用 . 三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家第一回憶一下兩角和的正弦、余弦和正切公式,sin sin cos cos sin；cos cos

6、 cos sin sin；tan tan tan1 tan tan我們由此能否得到 sin 2 ,cos2 , tan2 的公式呢？（同學(xué)自己動手,把上述公式中 看成 即可）,（二）公式推導(dǎo)：sin 2sinsincoscossin2sincos ；cos2coscoscossinsin2 cossin2；摸索：把上述關(guān)于cos2 的式子能否變成只含有sin或cos形式的式子呢？cos2cos2sin21sin2sin212sin2；cos22 cossin22 cos2 1 cos2 2cos1tan 2tantantan12 tan21tantantan留意：22k,2kkz（三）例題講解

7、sin 2 5 , ,例 4、已知 13 4 2 求sin 4 ,cos 4 ,tan 4 的值, 2解：由 4 2 得 22又由于 sin 213 5,EMBED cos2 1 sin 2 2113 5 1213 5 12 120sin 4 2sin 2 cos2 2于是 13 13 169 ；120cos4 1 2sin 22 1 2 5 2119 tan 4cos4 sin 4119 169 12011913 169 ；1691tan 2 ,例 5、已知 3 求 tan 的值2tan 1tan 2 2 2解：1 tan 3 ,由此得 tan 6tan 1 0解得tan 2 5或 tan

8、2 5 （四）小結(jié)： 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我們要熟記公式,在解題過程中要善于發(fā)覺規(guī)律,學(xué)會敏捷運(yùn)用 . 2 2 2sin ,cos ,tan例 6、試以cos表示 2 2 2 2 2cos 2cos 1 cos 1 2sin解： 我們可以通過二倍角 2 和 2 來做此題由于cos212sin22 ,可以得到sin221cos；2由于cos2cos221,可以得到2 cos21cos2tansin221cos2cos21cos又由于2摸索：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換對于三角變換,由于 不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,

9、而且仍會有所包含的 角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等變換經(jīng)常首 先查找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,這是三角式恒等變換的重要特 點(diǎn)例 7、求證：（）、sincos1sin2sin；2（）、sinsin2sincos2是我們所學(xué)習(xí)過的學(xué)問,因此我們證明：（）由于sin和sin從等式右邊著手sinsincoscossin；sinsincoscossin設(shè)兩式相加得2sincossinsin；2sincos ；即sincos1sinsin；2sinsin（ ） 由 （ ） 得,sin2sin2cos2那么2,2把,的值代入式中得sin摸索：在例證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？證明中用到換

10、元思想, （）式是積化和差的形式,（）式是和差化積的形式,在后面的練習(xí)當(dāng)中仍有六個(gè)關(guān)于積化和差、和差化積的公 式例 8、求函數(shù)ysinx3 cosx 的周期,最大值和最小值2解：ysinx3 cosx 這種形式我們在前面見過,ysinx3 cosx21sinx3cosx2sinx3,22所以,所求的周期T22,最大值為,最小值為點(diǎn)評：例是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的舉例,它使三角函數(shù)中對函數(shù)yAsinx的性質(zhì)討論得到延長,表達(dá)了三角變換在化簡三角函數(shù)式中的作用小結(jié)：此節(jié)雖只支配一到兩個(gè)課時(shí)的時(shí)間,但也是特別重要的內(nèi)容,我 們要對變換過程中表達(dá)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn) 識,學(xué)會敏捷

11、運(yùn)用總結(jié)：1公式的變形（1）升冪公式： 1cos2 2cos 21cos2 2sin 2（2）降冪公式： cos 2 1cos22 sin 2 1cos22（3）正切公式變形： tan +tan tan + （1tan tan ）tan tan tan （1tan tan （4）萬能公式（用 tan 表示其他三角函數(shù)值）2tan 1tan 2 2tansin2 1+tan 2 cos2 1+tan 2 tan2 1tan 22插入幫助角公式asinxbcosx= a 2+b 2 sinx+ tan = b a 特別地： sinx cosx2 sinx 4 3熟識形式的變形（如何變形）1 sin

12、x cosx 1 sinx 1 cosx tanxcotx 1tan 1tan1tan 1tan如 A、B 是銳角, A+B 4,就（ 1tanA）1+tanB=2 4cos cos2 cos2 2 cos2 n = sin2 n+12 n+1sin在三角形中的結(jié)論（如何證明）如：ABC=A+B+C=22tanAtanBtanC=tanAtanBtanC tanA 2 tanB 2tanB 2 tanC 2tanC 2 tanA 21 9求值問題（1）已知角求值題 如： sin555（2）已知值求值問題 常用拼角、湊角如： 1）已知如 cos 4 3 5,sin 3 4 5 13 ,又 4 3

13、 4 ,0 4 ,求 sin ；2）已知 sin +sin =3 5 ,cos +cos =4 5 ,求 cos 的值；（3）已知值求角問題必需分兩步： 1）求這個(gè)角的某一三角函數(shù)值；2）確定這個(gè)角的范疇；如：已知 tan = 1 7 ,tan = 1 3 ,且 都是銳角,求證： 2 1. （2022 全國卷 1 理）2 記cos 80 k , 那么 tan100 4A.1kk2 B. -1kk2 C. 1kk2 D. -1kk22. 已知0 x2,化簡：lg2 cos x2lg1 sin2 . lgcosxtanx12sin2x2解析：原式lgsinx cosxlgcos x sin xlg

14、sin x cosx2 03. （2022 天津文）（17）（本小題滿分 12 分）在ABC中,ACcosBABcos C ；（）證明 B=C：（）如cosA=-14B3 的值；3 ,求 sin【解析】本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)學(xué)問,考查基本運(yùn)算才能 . 滿分12 分. （）證明：在ABC 中,由正弦定理及已知得Csin BcosBsin C =cosC. 于是sinBcosC-cosBsinC=0 ,即 sin （B-C）=0. 由于B,從而 B-C=0. 所以 B=C. （）解：由A+B+C= 和（）得A= -2B, 故 co

15、s2B=-cos （-12B）=-cosA=3 . 又 02B , 于是 sin2B=1cos 2B =2 2. 3從而 sin4B=2sin2Bcos2B=4922 cos 2,cos4B=B2 sin 2B7. 9所以sin4B3sin 4Bcos3cos4Bsin34 27 3184. （2022 湖北理） 16 （本小題滿分 12 分）已知函數(shù) fx=cos3x cos3x g x 1sin 2 x124（）求函數(shù) fx 的最小正周期；（）求函數(shù) h（x）=fx gx 的最大值,并求使 hx 取得最大值的 x的集合；5. （2022 江蘇, 15）設(shè)向量a 4cos ,sin , b

16、sin ,4cos , c cos , 4sin （1）如a與 b 2 c 垂直,求tan 的值；（2）求| b c 的最大值 ; （3）如tan tan 16,求證： a b . 分析 本小題主要考查向量的基本概念,同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式,考查運(yùn)算和證明得基本能A 1, sinB=力；6. （2022 安徽卷理）在ABC中,sinC13 . （I ）求 sinA 的值；II設(shè) AC=6,求ABC的面積 . 本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)學(xué)問,考查運(yùn)算求解才能；（）由CA2,且CAB,A4B,sinC cosB B2sinA

17、sin 4B2B cos2B sin 2,22sin2A11 sinB1,又sin A0,sinA3233AcosBACBCA （）如圖,由正弦定理得sinBsinABCACsinA6133 2,又sinCsinABAsin3sinB332 261633333SABC1ACBCsinC163 263 2223,b1,2.7. （2022 湖南卷文）已知向量asin,cos2sin（）如a/ /b,求 tan 的值；（）如|a| |b|,0,求的值；解：（） 由于a/ /b,所以2sincos2sin,于是4sincos ,故tan1.4（）由|a| |b 知,sin2cos2sin25,所以1

18、2sin 24sin25.從而2sin 221 cos2 4,即 sin2cos21,于是sin2427知,42492 . 又由 04 ,24524所以4 ,或4 . 因此2 ,或3 . 48. （2022 天津卷理）在 ABC中,BC=5,AC=3,sinC=2sinAI 求 AB的值：4的值II 求 sin2A本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)學(xué)問,考查基本運(yùn)算才能；滿分12 分；AB BC（）解：在ABC中,依據(jù)正弦定理,sin C sin Asin CBC 2 BC 2 5于是 AB= sin A2 2 2AB AC BD 2 5（）解：在ABC中,依據(jù)余弦定理,得 cosA= 2 AB AC 51 cos 2 A 5于是 sinA= 54 3從而 sin2A=2sinAcosA=5 ,cos2A=cos 2A-sin 2A=52所以 sin2A-4 =sin2A