冪法,反冪法求解矩陣最大最小特征值及其對應(yīng)的特征向量

1、-. z.數(shù)值計算解矩陣的按模最大最小特征值及對應(yīng)的特征向量一.冪法1. 冪法簡介：當(dāng)矩陣A滿足一定條件時，在工程中可用冪法計算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩陣A需要滿足的條件為：存在n個線性無關(guān)的特征向量，設(shè)為1.1計算過程：不全為0，則有可見，當(dāng)越小時，收斂越快；且當(dāng)k充分大時，有，對應(yīng)的特征向量即是。2 算法實現(xiàn)3 matlab程序代碼function t,y=lpowerA,*0,eps,N) % t 為所求特征值，y是對應(yīng)特征向量 k=1; z=0; % z 相當(dāng)于 y=*0./ma*(abs(*0); % 規(guī)化初始向量 *=A*y; % 迭代格式 b=ma*(*); % b

2、 相當(dāng)于 if abs(z-b)eps & kN k=k+1; z=b; y=*./ma*(abs(*); *=A*y; b=ma*(*);end m,inde*=ma*(abs(*); % 這兩步保證取出來的按模最大特征值 t=*(inde*); % 是原值，而非其絕對值。end4 舉例驗證 選取一個矩陣A，代入程序，得到結(jié)果，并與eig(A)的得到結(jié)果比擬，再計算 A*y-t*y，驗證y是否是對應(yīng)的特征向量。結(jié)果如下：結(jié)果正確，說明算法和代碼正確，然后利用此程序計算15階Hilb矩陣，與eig(A)的得到結(jié)果比擬，再計算 A*y-t*y，驗證y是否是對應(yīng)的特征向量。設(shè)置初始向量為*0=on

3、es(15,1)，結(jié)果顯示如下可見，結(jié)果正確。得到了15階Hilb矩陣的按模最大特征值和對應(yīng)的特征向量。二.反冪法1.反冪法簡介及其理論在工程計算中，可以利用反冪法計算矩陣按模最小特征值及其對應(yīng)特征向量。其根本理論如下，與冪法根本一樣：，可知，A和A-1的特征值互為倒數(shù)，求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒數(shù)即為A的按模最小特征值所以算法根本一樣，區(qū)別就是在計算算法實現(xiàn)3 matlab程序代碼function s,y=invpower(A,*0,eps,n) % s 為按模最小特征值，y是對應(yīng)特征向量k=1;r=0; % r相當(dāng)于y=*0./ma*(abs(*0); % 規(guī)化初始

4、向量L,U=lu(A);z=Ly;*=Uz;u=ma*(*);s=1/u; % 按模最小為A-1按模最大的倒數(shù).if abs(u-r)eps & kn % 終止條件. k=k+1; r=u; y=*./ma*(abs(*); z=Ly; *=Uz; u=ma*(*); end m,inde*=ma*(abs(*); % 這兩步保證取出來的按模最大特征值s=1/*(inde*); % 是原值，而非其絕對值。end4 舉例驗證同冪法一樣，選取一個矩陣A，代入程序，得到結(jié)果，并與eig(A)的得到結(jié)果比擬，再計算 A*y-t*y，驗證y是否是對應(yīng)的特征向量?？梢娊Y(jié)果正確，然后利用此程序計算15階Hi

5、lb矩陣，eig(A)的得到結(jié)果比擬，再計算 A*y-s*y，驗證y是否是對應(yīng)的特征向量。設(shè)置初始向量為*0=ones(15,1)，結(jié)果顯示如下可見，結(jié)果真確。得到了15階Hilb矩陣的按模最大特征值和對應(yīng)的特征向量。 計算條件數(shù)矩陣A的條件數(shù)等于A的數(shù)與A的逆的數(shù)的乘積，即cond(A)=AA(-1)，對應(yīng)矩陣的3種數(shù)，可以定義3種條件數(shù)。 函數(shù) cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf)是判斷矩陣病態(tài)與否的一種度量，條件數(shù)越大說明矩陣的病態(tài)程度越大.,而如果A為對稱矩陣，如Hilb矩陣，的最大最小特征值，分別為A的最大最小特征值的平方。所以cond(A) 為A的最大最小特征

6、值得比值。對于本例中的15階Hilb矩陣來說，利用上面計算結(jié)果得其條件數(shù)(選擇第二種條件數(shù)為：3.0934e+017；這與直接利用cond(A)得到的結(jié)果：2.5083e+017 在同一數(shù)量級，再次說明了上述算得得最大最小特征值的正確性，同時又說明Hilb矩陣是病態(tài)矩陣。Aitken商加速法簡介與原理同冪法和反冪法計算最大和最小特征值類似，如果計算最大特征值，則迭代格式為；計算最小特征值時，迭代格式為。算法實現(xiàn)計算按模最大特征值算法如下：類似冪法和反冪法可以寫出按模最小特征值算法，此處不再贅述。matlab 程序代碼function r,y=aitken(A,*0,eps,n) % r按模最大

7、特征值,y為對應(yīng)特征向量 k=1;a0=0; % a 相當(dāng)于 a1=1; % a1 相當(dāng)于 r0=1; % 相當(dāng)于2中的 y=*0./ma*(abs(*0); % 規(guī)化初始向量 *=A*y;a2=ma*(abs(*); % a2相當(dāng)于 r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); % 相當(dāng)于 if (a2-2*a1+a0)=0 % 假設(shè)上式中分母為0，則迭代失敗，返回 disp 初始向量迭代失敗return;end if abs(r-r0)eps & k0 |aa(inde*)=0 r=r;else r=-r; endend end類似可得按模最小特征值和特征向量的代碼如下：與上面類

8、似，所不同的只是迭代格式不同.function r,y=invaitken(A,*0,eps,n) k=1;a0=0;a1=1; r0=1; y=*0./ma*(abs(*0); L,U=lu(A); % 迭代格式的不同 z=Ly; *=Uz;a2=ma*(abs(*); r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); if (a2-2*a1+a0)=0 disp 初始向量迭代失敗 return;end if abs(r-r0)eps & k0 |aa(inde*)=0 r=1/r;else r=-1/r; endend計算Hilb矩陣特征值此處不再舉例，而是直接應(yīng)用于15階Hilb矩

9、陣，初始向量選為ones(15,1)，結(jié)果如下，并將結(jié)果與冪法和反冪法得到結(jié)果比擬這與冪法得到的特征值和特征向量一致，說明算法和代碼正確；同理，最小特征值結(jié)果如下：這與反冪法得到的結(jié)果一致，說明結(jié)果正確。五，對稱矩陣的Rayleigh商加速法簡介與原理原理如下：2. 算法實現(xiàn)Matlab程序代碼function r,y=rayleigh(A,*0,eps,n) % r 是特征值，y是特征向量 k=1;r0=0; y=*0./ma*(abs(*0); *=A*y; % 迭代格式計算新的* r=dot(y,*)/dot(y,y); % Reyleigh商 if abs(r-r0)eps & kn k=k+1; r0=r; y=*./ma*(abs(*); *=A*y; r=dot(y,*)/dot(y,y); endend類似得計算按模最小特征值的Rayleigh商加速法，如下：function r,y=invrayleigh(A,*0,eps,n) k=1;r0=0; y=*0./ma*(abs(*0); L,U=lu(A); % 迭代格式不同 z=Ly; *=Uz; r=dot(y,*)/dot(y,y); if abs(r-r0)eps & kn k=k+1; r0=r; y=*./ma*(abs(*); z=Ly; *=Uz; r=dot(y