一端固定一端彈簧支承的梁的振動特性

1、振動力學課程設計任務書課程設計的內容及要求：基本要求1、學會查閱資料和使用相關設計手冊；2、學習運用Matlab等數(shù)學軟件；3、熟練掌握梁結構彎曲自由振動的分析過程；4、按照課程設計相關規(guī)定編寫設計說明書。課設內容設定均勻梁的具體參數(shù)(長度；單位體積的質量；抗彎剛度，彈簧剛度)；根據(jù)給定的參數(shù)運用數(shù)學物理方法建立一端固定一端彈簧支承均勻梁的彎曲振動運 動微分方程；然后根據(jù)振動運動微分方程，通過邊界條件求解梁的固有頻率和振型；分析彈簧剛度對梁的固有頻率和振型的影響；最后寫出本次課程設計的總結。主要參考書、金基鐸，王克明，機械振動基礎M,沈陽：沈陽航空工業(yè)學院，2001年2月;、方同，薛璞，振動理

2、論及應用M，西安：西北工業(yè)大學出版社，1998年5月；、蒲俊，Matlab工程數(shù)學解題指導M，上海：浦東電子出版社，2001年7月；、羅建軍，楊琦，MATLAB教程M，北京：電子工業(yè)出版社，2005年7月評語（五）成績負責教師學生簽名振動力學課程設計說明書一端固定一端彈簧支承的均勻梁的彎曲振動特性沈陽航空航天大學2011年1月摘要目前，振動分析已成為工程設計與研究中必不可少的環(huán)節(jié)。本文采用了理論分析的方 法，對一端固定一端彈簧支承均勻梁的振動特性進行研究，求出它的固有頻率和主振型， 并計算受迫響應，在理論和實用上都具有重要意義。在本文中，只討論梁的彎曲振動，討 論了一些參數(shù)對梁固有頻率和主振型

3、的影響。關鍵詞 一端固定一端彈簧支承均勻梁彎曲自由振動主振型固有頻率目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 第1章引言l HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 第2章固有特性的理論分析2 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 2.1 均勻梁參數(shù)設定2 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 2.2均勻梁的彎曲自由振動的微分方程及解2 HYPERLINK l bookmark145 o

4、 Current Document 2.3 賦值求解6 HYPERLINK l bookmark196 o Current Document 2.4振型函數(shù)的正交性11 HYPERLINK l bookmark235 o Current Document 2.5 梁對初始干擾的響應 13 HYPERLINK l bookmark253 o Current Document 第3章分析參數(shù)對系統(tǒng)的影響1519 HYPERLINK l bookmark259 o Current Document 第4章結論18參考文獻第1章引言機械振動是工程中普遍存在的一種機械運動現(xiàn)象，它不僅影響結構的性能，縮短

5、結構 的壽命，甚至會造成重大的事故。隨著現(xiàn)代工程朝著高速、重載、精密、超大型（超小型） 方向發(fā)展，對機械結構動態(tài)性能的要求也越來越高，所提出的振動問題也越來越復雜和多 樣化，振動分析已成為工程設計與研究中必不可少的環(huán)節(jié)。工程中的許多振動問題背景非常復雜，對其進行理論分析是必不可少的，但是隨著結 構的自由度的增加，計算量也會迅速增大，而且工程上又不總是需要求出振動系統(tǒng)所有各 階的固有特性，再加上在有的情況下，我們并不能求得振動系統(tǒng)的固有特性的精確解答， 而只能采用近似的方法去求解。所以在實際工程中采用近似計算的解法是很重要的，其意 義也是很重大的。本文主要對懸臂梁的彎曲自由振動進行了研究。梁是工

6、程中普遍存在的結構。嚴格地 說，它是由質量和剛度連續(xù)分布的彈性體組成，其運動需要用無限多個坐標來描述，因而， 它實際上是個無限多個自由度系統(tǒng)，其運動方程將是偏微分方程。為了使問題簡單化，我 們常常將其離散為有限個自由度的系統(tǒng)來計算，但是在某些情況下，工程設計上要求將結 構按彈性體作振動分析，不允許進行離散化處理。所以，按彈性體理論對梁進行分析在工 程設計中也是有很大意義的。第2章固有頻率的理論分析2.1均勻梁參數(shù)設定設有一端固定，一端以彈簧支承的均勻梁，長度為L，單位體積的質量為 抗彎剛度 為EJ，彈簧剛度為K，如圖所示:EJL圖2.1均勻梁系統(tǒng)示意圖2.2.均勻梁的彎曲自由振動的微分方程及解

7、均勻梁彎曲自由振動的運動微分方程(a)圖2. 2對微單元受力分析在梁上距左端為x處取微段dx,其受力情況如圖2.2(b)所示。根據(jù)達朗伯原理有：Q-Q-|-pAM = OOX初2M +dx8M 7 八 i 6Q . 1 dy dx M HYPERLINK l bookmark58 o Current Document ax-M-Qax-dxdx- pAax=0dx初 2 2(2. 1)略去dx的二次項，簡化后得: HYPERLINK l bookmark61 o Current Document ,d2y dQ 八 pA + = 0 初2dx(2.2)將(2. 2)式代入(2.1)式中,得:

8、HYPERLINK l bookmark64 o Current Document Qiy 82MpA - += 0初 23X2(2.3)由材料力學知:M = EJ*辦2將上式代入(2.3)式，得: TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark91 o Current Document PA 竺 + EJ 竺=0dt 2dx 4或竺 + a2 竺=0(2.4)dt 2dx 4其中，a 2 = EJ / p A。(2.4)式就是梁做彎曲振動的運動微分方程。下面用分離變量法來求解。設其解為： HYPERLINK l bookmark97 o Current Document

9、 y(x, t) = Y (x)T (t)(2.5)將(2.5)式對t取二次偏導數(shù)，對x區(qū)四次偏導數(shù)，然后代入(2.4)式中，得：d 2T (t)a 2 d 4Y (x)=一 (2.0) T(t)dt 2Y (x) dx 4(2.6)式兩邊應等于同一個負常數(shù)，設其為-3 2，則得： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark107 o Current Document d 2T (t) +3 2T( x) = 0(2.7)dt 2 HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 耳乎-三 Y(x) = 0(2.8)由(2.7)式得

10、梁彎曲自由振動的規(guī)律為： HYPERLINK l bookmark113 o Current Document T(t) = A sin 3t + B cos 3t(2.9)令P 4 =-32a2則(2.8)式可改寫為：d4Y(x)-P 4Y(x) = 0(2.10)dx 4按n階常系數(shù)齊次微分方程的解法，設其解為:Y （x） = erx代入（2.10）式中，得特征方程為：r4 -p 4 = 0（2.11）特征方程的四個根為：r = pr = +ip于是（2.10）式的解為：Y （x） = De Px + D2 e-Px + D3 eiPx + D4 e-收（2.12）因為：e 土博=chPx

11、 shPxe i博=cos Px i sin Px所以（2.12）可寫成如下的常用形式：Y（x） = C sin Px + C cos Px + C shPx + C chPx（2.13）其中C1、C2、C3、C4是待定常數(shù)將（2.9）式和（2.13）式代回（2.5）式，得偏微分方程（2.4）的解為：（2.14）y(x, t) = (C sin Px + C cos Px + C shPx + C chPx)( A sin ot + B cos wt) 其中C1、C2、C3、C4、A、B、o都是待定常數(shù)，由邊界條件和初始條件決定。一端固定的邊界條件.梁的撓度和轉角等于零YG)= 0 ，x=0冬

12、=0，dx 2 _x=ldY G)dxx=0EJd 3Y G)dx 3x=l=KY G)x=l將上述邊界條件代入（2.13）式及其對x的一、二、三階導數(shù)中得:Y，(x)= C PY(x)= -C PY ”(x)=-C1Psin Pl + shPlP 3 cos Pl + P 3chPl + h sin Pl - hshPlcos Pl + chPlP 3shPl - P 3 sin Pl + h cos Pl - hchPlcos Px - C P sin Px + C chx + C PhPx234sin Px - C P 2 cos Px + C P 2shPx + C P 2chPx23

13、4cos Px + C P 3 sin Px + C P 3chPx + C P 3shPx由Y(0)= 0得：C2 + C4 = 0 艮P C4 =-C2Yr(0)= 0得：C1 + C3 = 0 艮P C3 =-C1y0= 0得:-C P 2 sin P l- C2P 2 cos Pl + C3 P 2shPl + C4P 2chPl = 0 = 即:in P l + shP l)C + (cos Pl + chP l )C = 0。34Ym()= C P 3 cos Pl - C P 3 sin Pl + C P 3chPl + C P 3shPl著(一 C3sin 印 一 C 4 +

14、C3 shP/ + C 4 湖l)令h = K,則有：EJC3(P 3 cos Pl + P 3chPl) + h(sin Pl - shPl) + C4(P 3shPl - P 3 sin Pl) + h(cos Pl - chPl) = 0要使C3、C4具有非零解，必須有:將此行列式展開并整理，得:cos PlchPl +1 =KEJP 3(cos PlshPl - sin PlchPl)(2.15)這就是梁的頻率方程2.3賦值求解令 K=4000Nm,E=210Gpa,l=1m,J=64/3 X 10-8 m 4 ，梁 的橫截面邊長 a=4cm ,P = 7.9 x 10 3 kg /

15、m 3。則頻率方程就可以轉化為：(2.16)cos lehl +1 = - 56- (cos lshl - sin lehl)圖2.3.方程(2.16)的求解示意圖再以Pl為橫坐標，作-5(cos Plshpl -s? PlehPl) +土和cos Pl曲線，如圖所示。兩曲線 56P3ehplehpl的各交點的橫坐標就是頻率方程的特征根。從圖可以清楚的看出各特征根的分布規(guī)律和粗略值。再用數(shù)值法求出滿足一定要求的各特征值，前幾個P l值： IPJp21p31.89504.88508.1400由P 4=3 2 /a 2，可以求得各固有頻率為:EJ=p.命(i=1. 2、3);(2.17)其振型圖如

16、下:Y (x) = sinh( P x) - sin( P x) 一 a cosh( P x) 一 cos( P x)0.060 10.150.20.260.30.350.40.450.圖2.4.第一階振型圖Y (x)二 sinh( P x) - sin( P x) 一 a cosh( P x) 一 cos( P x)圖2.5.第二階振型圖:二二二二二二二二二二一00.10.20.30.40.50.60.70.80.91X圖2.6.第三階振型圖Ej、求解固有頻率：=p.2 E (i=1、2、3)根據(jù)已知條件可得：359 :EJ=一9 =3.59 x 59.53 = 213.7112 pA23.

17、86 EJ=23.86 x 59.53 = 1420.5812pA=626 旦=66.26 x 59.53 = 3944.4612pA畫出前三階振型的程序：x=0.01:pi/100:1;y=-cos(1.895*x)+cosh(1.895*x)+0.7342*(sin(1.895*x)-sinh(1.895*x);*x)-sinh(2.2091*x);plot(x,y)grid on ylim(0 5) x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(4.8850*x)+cosh(4.885*x)+1.02*(sin(4.89*x)-sinh(4.89*x);plot(x,y)grid on

18、ylim(-5 5)x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x) + (sin(8.14*x)-sinh(8.14*x);plot(x,y)grid onylim(-5 5)x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x) + (sin(8.14*x)-sinh(8.14*x);plot(x,y)grid onylim(-5 5)2.4振型函數(shù)的正交性討論多自由度系統(tǒng)的振動時，我們曾證明過系統(tǒng)的主振型是正交的。正是這種正交性，使 我們可以利用主振型矩陣進行變換，以使振動微分方程組解耦，將多自由地系統(tǒng)的振動問 題

19、轉化為多個單自由度系統(tǒng)問題來處理。對于彈性體來說，振型函數(shù)也是具有正交性。桿 的縱向振動和軸的扭轉振動，因其振型函數(shù)都是三角函數(shù)，故它們的正交性是不言而喻的。 而梁的彎曲振動，因在某些邊界條件下振型函數(shù)中還包括雙曲函數(shù)，故其正交性還必須進 行證明。將與不同頻率1和2對應的振型函數(shù)分別記為Y.(x)和Yj(x)，根據(jù)(2.8)式有：Y(4)(x)=寫 Y (x)ia 2 i(2.18)(2.19)用Yj（x）dx乘（2.18）式，用Yi（x）dx乘（2.19）式，然后都沿梁的長度】積分，得:Y (x)Y (x)dxY(4)Y (x)dx = 1i ja 2 0jl0Y(4)Y (x)dx = 2

20、 j ji氣Jl a2 0Y (x)Y (x)dx將上述方程的左邊分部積分兩次后，得:Y(x)Y (x)i - Y(x)Y(x)i + j 1Y(x)Y (x)dx =i j 0 i j 00 i j勺a2 01 Y (x)Y (x)dx(2.20)Y (x)Y (x)dx（2.21）Y(3) (x)Y (x)1 - Y(x)Y(x)i + j 1Y (x)Y (x)dx = 1 j1j i 0 j i 00 j ia 2 0根據(jù)前面已討論的邊界條件，可知（2.20），（2.21）兩式中等號左邊的第二項為零，而第 一項可用邊界條件中的剪力替代化簡。因此，兩式相減，得：22（-）/ Y （x）Y

21、 （x）dx = 0（2.22）a 2 a 2 0 i j當i。j時，.u，由（2.22）式知，必有：j1 Y （x）Y （x）dx = 0（2.23）把（2.23）式代入（2.20）式或（2.21）式，可得：j1 Y （x ）Y（ x ）dx = 0（2.24）當，（2.23）式和（2.24）式的積分在一般情況下是一個正數(shù)，令：(2.25)j1 Y(x)2 dx - K0 11(2.26)式中Mi稱為第i階振型的廣義質量；K.稱為第i階振型的廣義剛度。將（2.25）式和（2.26）式代入（2.20）式，得:a 2 jl Y(x)2 dxkll Y 2( x )dxM i0 1方程（2.23）

22、和（2.24）就是等截面梁振型函數(shù)正交性的表達式2.5梁對初始干擾的響應前面我們已經討論了梁的固有頻率和振型函數(shù)，得到了解為:y(x, t)=芝 Y (x)(A sin t + B cos t)ii i iii=1(2.27)（2.27）式中A.、8的是由初始條件決定的常數(shù)，設t = 0時，梁的位移和速度分別為:y (x,0) = f (x)(2.28)學=g (x)dtt=0(2.29)將（2.28）式和（2.29）式代入（2.27）式，得:f (x) = BY (x)i ii=1g (x) = A w Y (x)i=1(2.30)用Y （x）d（x）乘（2.30）式的兩邊，并從0到l積分，

23、得: iilf 5. (x)dx =B j1 Y 2 (x)dx 011 0 ll g (x)Y (x)dx -A w j Y 2(x)dx0 ll 1 01由此兩式得:jl g (x)Y (x)dxA - -0rl1 w JlY2(x)dxl 0 1jl f (x )Y. (x) dx1lY 2( x) dx0 l將A.、B/弋入(2.27)式中，便得系統(tǒng)對初始干擾的響應。根據(jù)前式，我們可以得到梁的振型：y(x, t) - (ch1.895r - cos1.895c+0.7342(sin1.8如sh1.895c)(0.0749cos213.7f) +(ch4.855r - cos4.855r

24、+1.02(sin4.855r-sh4.855r)(0.0712cos1423.49+(ch7.85位-cos7.855v+(sin7.855r-sh7.855r)(0.0106cos394443第3章分析參數(shù)對系統(tǒng)的影響以第一階固有頻率為例，編寫程序考慮彈簧剛度對均勻梁固有頻率的影響: i=i；E=210*109;J=64/3*10”(-8);a=0.04;p=7.9*103;n=1;A=a*a;for k=1:1000:1000000for x=0.01:0.001:piy=(k*l3/E/J./x.”3.*(cos(x).*sinh(x)-sin(x).*cosh(x)T)./cosh(x);if cos(x)yw(n)=x2/l2*sqrt(E*J/p/A);n=n+1;breakendendendk=1:1000:1000000