湖南師大附中2021屆高三年級10月第二次月考數(shù)學(xué)試題(含答案和解析)(2020.10)

1、數(shù)學(xué)試題（附中版）第 頁（共8頁）數(shù)學(xué)試題附中版）第2頁（共8頁）湖南師大附中2021屆高三月考試卷（二）數(shù) 學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共8頁。時量 120分鐘。滿分150分。得分:第I卷一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合人=H| |n|。）的下焦點b作y軸的垂線，交雙曲線 于A,B兩點，若以AB為直徑的圓恰好過其上焦點Fz，則雙曲線的離心 率為./（XDe1 ,C1,.已知函數(shù)八為二八其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若函數(shù),xl.XgG）=fG）4%有3個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是.

2、 四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.（本小題滿分10分）在（a+b2=/+3oZa=VScsinAacos C,（2a6）sin A+（加一） sm B=2csin C,這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答.已知 ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cU,而且.求NC;（2）求ABC周長的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（本小題滿分12分）如圖 1,在ABC 中,AB=&BC= 242 , /A3C=苧,D 為 AC 的中點, 將AAUD沿折起，得到如圖2所示的三棱錐P-6CD,二面角P一 8D-C為直二面

3、角.（D求證:平面PBC_L平面PBD；設(shè)E為PC的中點,蘇=3淬，求二面角CDE-F的余弦值.本小題滿分12分）已知各項均為整數(shù)的數(shù)列4 滿足。3 = 1，% = 4,前6項依次成等差 數(shù)列，從第五項起依次成等比數(shù)列.（D求數(shù)列4的通項公式；（2）求出所有的正整數(shù)使得=%+1%+?.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) /（jr）=（2e* 4-cos 處其中 aR.若a=l,證明：當(dāng)V0時,“公2；若在區(qū)間0,用內(nèi)有兩個不同的零點，求a的取值范圍.（本小題滿分12分）現(xiàn)有4個人去參加某項娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者 選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己 去參

4、加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2 的人去參加乙游戲.（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的 概率；（3）用X1分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記$ = IX-YI，求隨機變量8的分布列與數(shù)學(xué)期里將.（本小題滿分12分）已知點P是圓Q：（n+27+/ = 32上任意一點，定點K（2,0）,線段PR 的垂直平分線Z與半徑PQ相交于M點，當(dāng)P在圓周上運動時，設(shè)點M 的運動軌跡為（1）求點M的軌跡的方程；若點N在雙曲線號一%=1（頂點除外）上運動，過點N,R的直線與 曲線相交于A,B,過點N,Q的

5、直線與曲線相交于C,D,試探究 | AB| +1 CD|是否為定值，若為定值請求出這個定值，若不為定值， 請說明理由.數(shù)學(xué)參考答喋（附中版）一 數(shù)學(xué)參考答喋（附中版）一 #湖南師大附中2021屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題:本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.C.C【解析】因為。=后=77惠所以選CJLu 1 1 1J u 1 i / 11/4. A. A【解析】將一個單位圓等分成180個扇形,則每個扇形的圓心角度數(shù)均為2二因為這180個扇形對應(yīng)的等 腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積.所以180義J X1X1X sin 2

6、0= 90Km 20弓所以sin 20七懸所以選A.D【解析】第一個因式取.產(chǎn)第二個因式取與得：1XQ （ -=5,第一個因式取2,第二個因式?。ㄒ坏茫?X（ 一 1尸=-2,展開式的常數(shù)項是3+（2） = 3.877.C【解析】由算端的定義殍（千位）橫式上（百位）縱式TT （十位）橫式上（個位）縱式I所以8771用笄若應(yīng)表示 為上TTX 故選C.B【解析XD%=是=儀”的充要條件;錯誤，當(dāng)c=0時不成立;Z+5走無理數(shù)是為是無理數(shù)”的充要條件;成立;%“是的充分條件錯誤，當(dāng)=-2= 3時，不成立;ZV5”是，V3”的必要條件，成立，選R& B【解析】取八D的中點E,連接PEPAD中,ZAPD

7、= 12OPA=PD=2. A PE = 1,AQ=26,設(shè)ABCD的中心為O,球心為（） fii （力夕= ）= 2,設(shè)。到平面 ABCD的，巨離為4,即：肥=/-2 = 2 + （2）2,.=1,犬=萬，四校維P- ABCD的外接球的體積為gxR空兀故選：B. TOC o 1-5 h z OO二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中.有多項符合題目要求.全部選對 的得5分，有選錯的得。分,部分選對的得3分.ABI）【解析】對于A,甲校抽取U0X篇=60人，乙校抽取H0X黑=50人，故/=10.?=7；故A正確；對于I工估計甲校優(yōu)秀率為弟=25%,乙校優(yōu)秀率為

8、期= 40%.故B正確；對于D,甲校平均成績109. 5,乙校 OUOU平均成績114.6,故D正確.BD【解析】由用易得點C的橫坐標(biāo)為號所以/（）的周期T-大，所以卬=2又/（-專）=0,所以y一 O0令因此/（=八而（2.丁+4）函數(shù)/的圖象關(guān)于點（一爭.0）成中心時稱.若圓半徑為常則A = OJO工 44J（矍）,一（參）,A=45,函數(shù)/（1）的解析式為/（,1）=疝）（2彳+字），故選BD.數(shù)學(xué)參考答案（附中版）一2數(shù)學(xué)參考答案（附中版）一2AC【解析】取CD中點M,CC中點N,連接出M.HN.MN,則易證得為N AiEMNAW從而平面BMN平面AWE所以點F的運動軌跡為線段MN.

9、取廠為MN的中點，因為MN是等腰三角形，所以向卜乂犯又因為河氏 CDi,所以UiFCDi 故A正確；設(shè)正方體的校長為n,當(dāng)點產(chǎn)與點M或點N也合 時,直線/，廠與直線BC所成角放大，此時（anZCi B, F= y 00）的下焦點B作,軸的垂線，交雙曲戰(zhàn)于AI兩點則“。|=2,以工3為克徑的回恰好過其上點、點尺，可得：魚=2八，/一42 2改=0,可存/一2一1=0.解 aa得e=l=笈4=1 一笈（舍去）.故答案為：1一乃16. （）志）【解析】令 8（）=（一1）4（/41）則 /Cr）=/c所以當(dāng) 了6（ 8,0）時，/（.r）V0;當(dāng) / （0.1）時,/（.r）0.于是函數(shù)x（.r）在

10、區(qū)間（一3,0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，當(dāng)1一8時. 8（J）-0晨0） = - 1（1）=0.令/（玲=g（001）,則/Cr） = l一單所以當(dāng)j0（lW時/（）；當(dāng)Ra.r（c.+8時KG）V0于是函數(shù)州外在區(qū)間（l.c）上單訥遞增，在區(qū)間（c,+8）上單調(diào)遞減/（1） = 0 爪c） = 9 當(dāng).L 1 8時JrCr）f 0.函數(shù)qQ） = /（.r）-kx有3個不同的零點，等價于方程/（i） =kx有3 個解，即函數(shù)/（r）的因象與直線有3個交點，作出函數(shù)/行）與交線丫=左下的大致圖象.如下圖所示.教學(xué)參考答案(附中版)一 教學(xué)參考答案(附中版)一 數(shù)學(xué)名考答案（附中

11、版）一 g_0當(dāng)?shù)拙€y=日與函數(shù)AQ）相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為（我,臂），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：女=學(xué)三-= 士春三，解得#=親4=,要使得函數(shù)f（z）的圖象與直線尸丘有3個交點，數(shù)形結(jié)合可如的取值 范囹為（0傳）.故冬素為（0,右）.四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【解析】（D選，把（。+切2 =/+W6 .整理得,斯+/ / =昉，由余弦定理有cos C=2ab 2ab 2選/q=J5csin Aacos C由正弦定理得；sin A=s/Tsin Csin Asin Acos C,VsinA-/3sin C-cos C=l即 sin(C1-)=y,

12、文(XC7t,Tr今，-c市=手用c=?選，:Y%6)sin A+(2a)sin B=2csin C, 由正弦定理得：(2d6)q+(26a)6=2d 9 即/十一仇 .廠_斯十一+8S C-荻V0C7r,AC=-f ；由可知（=冷，O在3BC中，由余弦定理得4+歷-2abcos C=3,即/十/一而=3,（。+力2 -3=3 cos ZABC= 20, AAC= 2#,D為AC中點，.CD=宿，又 VB5=y （或+電,，訪=（BA2 +2BA- BC+BC0 ） = 1,，BD= 1, BD +BC2 = CO ,BCBD.二二面角P-BD-C為直二面角，工平面8CD_L平面PRO,BC_

13、L平面PBD.又TBCU平面PBC, /.平面PBC_L平面PBD.以13為坐標(biāo)原點收:所在直線為.r軸3D所在直我為,v軸，過點3且垂直于平而 BCD的直線為二軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.可求得B(0.0,0).C(2.0.0). D(0.1.0)P(0,2, 2).因為E為PC的中點.CF= 3 F.正所以E(l. b 1 ).廠(方.0.0).A=(-2.1.0).DE=科 =(1 萬/)E- n=0,乙。、加=1 /_=電所以二面二DEF的余弦偵為啰. 12分斤居3319.【解析】(1)設(shè)前6項的公差為則力=氏一2=-1+2必=6+露=-1+3(/am 成等比數(shù)列，足=化生=(3-

14、 1尸=421-1解得4=1“/=殺舍.46 時a=公 I(一3)，/=一4.*/：； = 19a0=2 則 q=2 時 (f u = 2,1 , 4.&6. /4,W54.V5. ；% = (或為=(或% =6. 12 ”5，2 $ 心5. /(2)由(1)可得:小 ) ：-3,一2一10,匕2,4,8則當(dāng) m= 1 時 W：+如+。3 = - 6=24：,當(dāng) l2 時0/+。| = -342：；。1=0卬2 +a$+a：如,心，當(dāng) ，=3 時，”1 m I 田=0=。？：“一或，=4 時.小+$ +姓=3，|3。6=0、4|十%一期。41小a； 當(dāng)，心5時假設(shè)存在)使得a+。“ 7 +a”

15、-z = 4則有 2M 5 (11-2-4 )=2：7T 5 = 2 ,2-7=22m丁心3工2,“-73二2加；2：=87.從而7=2,；無解.二7心5時.不存在這樣的JH.使得I +6 2 =。皿必八 綜上所述“=1或，=3. 12分.【解析】(1 )/()-0rKin,由,工0得 1 sin二一LI【則/G)= c sin 0即/(1)在0一入力上為潸函數(shù).故/Q)/3)=2即)24 分?jǐn)?shù)學(xué)參考答喋（附中版）一 教學(xué)參考答案（附中版）一 (2)由 /(jc)=aez + cos 工=0,得=cos z設(shè)函數(shù)（=-二 M*nE0,k， 則* （幻=皿邛區(qū)名令la)=o,得8=空.即x6 o

16、,卷時,(Jc)0,j：e (竽,時(r) V0,所以力Cn）在（09苧）上單調(diào)遞增9在7T）上單調(diào)遞減,.又因為入（0） = l,AG） = e ，=竽）=考6 .所以當(dāng)ee ige學(xué)）時，方程0= 一W在區(qū)間。,用內(nèi)有兩個不同解，即所求實數(shù)a的取值范圍為e ige t）. 12分.【解析】依題意可得：參加甲游戲的概率為pi=4=4 V O參加乙游戲的概率為p2=4=4 O 0設(shè)事件4為“有2個人參加甲游戲”，.p（A）=a,）,.p（A2）hQ（/y6y=畀4分（2）設(shè)事件B為“甲游戲人數(shù)大于乙游戲人數(shù)%/B=A$ U A，P（B）=P（AUAC=PAQ+PA,）=ClKy （卷）+0信）=看 8分(3注可取的值為0,2,4,PC)=p(A2)=q (4)2 (等)2=梟P(e=2=P(A1)+PCAJ) = q(-1-)(-|-)34-Ci (y)3(f )=1t出=0X*+2X,+4x|f=. 12分P(6=4)=P(4 )+P(A ) = C$ (等)+0()=居，W024P82740811781 TOC o 1-5 h z 22.【解析】（1）依題意；| MP | = | MR | , 1分且 |MR| + |MQ| = |MQ| + |MP = | PQ| =494= |RQ| , 2 分由橢圓定義知點”的軌跡為以R,Q為焦點，長軸長為4笈,焦距為4的橢