2021-2022高中物理競賽高斯定理

1、高斯定理2 （1）起于正電荷(或無限遠(yuǎn))，止于負(fù)電荷(或無限遠(yuǎn))； （2）不閉合，也不在沒有電荷的地方中斷； （3）兩條電場線在沒有電荷的地方不會相交。 一、電場線(electric line of field)1定義： 電場線上各點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)場強(qiáng)的方向一致； 在垂直于電場線的單位面積上穿過的曲線條數(shù)與該處的電場強(qiáng)度的大小成正比。2 性質(zhì)：高斯定理31.定義二、電場強(qiáng)度通量(electric flucx)通過任一面積元的電場線的條數(shù)稱為通過這 一面積元的電場強(qiáng)度通量。（簡稱電通量） 如果垂直于電場強(qiáng)度的面積為dS，穿過的電場線條數(shù)為de，那么SE若選擇比例系數(shù)為1，則有de = E d

2、S . 如果在電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場中，平面S與電場強(qiáng)度E 相垂直，則 e = E S . 4如果在場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中，平面S與場強(qiáng)E不垂直，其法線n與場強(qiáng)E成 角。 如果在非勻強(qiáng)電場中有一任意曲面S，可以把曲面S分成許多小面元dS，dS可近似地看為平面，在dS范圍內(nèi)場強(qiáng)E 可認(rèn)為處處相同。這樣，穿過面元dS的電場線條數(shù)可以表示為nEs5通過任一曲面S 的電通量：2.方向的規(guī)定： 閉合曲面的外法線方向?yàn)檎?自內(nèi)向外為正)非閉合曲面電通量的正負(fù)取決于E與n正向夾角的余玄值。通過閉合曲面S 的電通量：6s1s2s3s4s5E nxyz例1：一個三棱柱放在均勻電場中，E=200 N/C ,沿x方

3、向，求通過此三棱柱體的電場強(qiáng)度通量。解：三棱柱體的表面為一閉合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5 構(gòu)成，其電場強(qiáng)度通量為：即：通過閉合曲面的電場強(qiáng)度通量為零。7三、 高斯定理（Gauss theorem）靜電場中任何意閉合曲面S 的電通量，等于該曲面所包圍的電量除以e 0 而與S以外的電荷無關(guān)。 數(shù)學(xué)表達(dá)式1. 包圍點(diǎn)電荷q 的同心球面S 的電通量 球面上各點(diǎn)的場強(qiáng)方向與其徑向相同。球面上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小由庫侖定律給出。S8 此結(jié)果與球面的半徑無關(guān)。即通過各球面的電力線總條數(shù)相等。從 q 發(fā)出的電場線連續(xù)的延伸到無窮遠(yuǎn)。2.證明包圍點(diǎn)電荷q 任意閉合曲面S 的電通量 S1S2S穿過球面S1和S

4、2的電場線，必定也穿過閉合曲面S。所以穿過任意閉合曲面S的電通量必然為q / 0 ，即9 3. 任意閉合曲面S包圍多個點(diǎn)電荷q1,q2,qn 根據(jù)電通量的定義和電場強(qiáng)度的疊加原理，其電通量可以表示為 這表示，閉合曲面S 的電通量，等于各個點(diǎn)電荷對曲面S 的電通量的代數(shù)和?？梢婋娡恳矟M足疊加原理。根據(jù)以上結(jié)論，通過閉合曲面S的電通量應(yīng)為104. 任意閉合曲面S不包圍電荷，點(diǎn)電荷q 處于 S之外：如圖所示，由于從q 發(fā)出的電場線，凡是穿入S 面的，必定又從S面穿出，所以穿過S 面的電場線凈條數(shù)必定等于零，曲面S的電通量必定等于零。5. 多個點(diǎn)電荷q1,q2,qn，其中k個被任意閉合曲面S所包圍，

5、另外nk個處于S面之外： 根據(jù)上一條的證明，閉合曲面S外的nk個電荷對S面的電通量無貢獻(xiàn)，S面的電通量只決定于其內(nèi)部的k個電荷，并應(yīng)表示為11 6. 任意閉合曲面S包圍了一個任意的帶電體 這時可以把帶電體劃分成很多很小的體元d，體元所帶的電荷dq = d可看作點(diǎn)電荷，與上面 第3條的結(jié)果一致，這時S的電通量可表示為根據(jù)矢量分析，可以將式高斯定理寫成下面的微分形式 在靜電學(xué)中，常常利用高斯定理來求解電荷分布具有一定對稱性的電場問題。12例2：一無限長均勻帶電細(xì)棒，其線電荷密度為，求距細(xì)棒為a處的電場強(qiáng)度。 解：以細(xì)棒為軸作一個高為l、截面半徑為a的圓柱面，如圖所示。以該圓柱面為高斯面，運(yùn)用高斯定理，由于對稱性，圓柱側(cè)面上各點(diǎn)的場強(qiáng)E的大小相等, 方向都垂直于圓柱側(cè)面向外。 通過高斯面S的電通量可分為圓柱側(cè)面和上、下底面三部分通量的代數(shù)和。S a13因上、下底面的場強(qiáng)方向與面平行，其電通量為零，即式中后兩項(xiàng)為零。此閉合面包含的電荷總量其方向沿場點(diǎn)到直導(dǎo)線的垂線方向。正負(fù)由電荷的符