電磁學(xué)第二章

1、第二章 穩(wěn)恒磁場(chǎng)1 基本磁現(xiàn)象 安培定律一. 磁現(xiàn)象概說 磁性 磁極 磁力 磁極不可分 磁單極，磁荷 地磁（古地磁測(cè)量方法）二. 電流的磁效應(yīng) 1819年，奧斯特，電流對(duì)磁針作用； 1820年，安 培，磁鐵對(duì)電流作用； 電流間相互作用。三. 物質(zhì)的磁性分子環(huán)流假說：1822年，安培：一切磁現(xiàn)象的根源是電流，物質(zhì)的磁性來源于分子電流。圖2.1 安培電流四. 安培定律電流元安培定律（參見圖2.2）故矢量式同理圖2.2 安培定律 圖2.3 矢積手勢(shì)SI制中真空的磁導(dǎo)率【例1】：平行電流元之相互作用。【例2】：垂直電流元之相互作用。兩電流元之 間相互作用不滿足牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律；兩閉合電流之積分相互作用

2、仍滿足牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律。圖2.5 垂直電流元圖2.4 平行電流元2. 磁感應(yīng)強(qiáng)度 畢奧-薩法爾定律電流磁場(chǎng)電流一、磁感應(yīng)強(qiáng)度（磁鐵，電流，電流元）令即一般 磁感應(yīng)強(qiáng)度方向：試驗(yàn)電流元受力為零的方向；大?。?jiǎn)挝辉囼?yàn)電流元受最大力 。1End二、. 畢-薩-拉定律矢量積分的磁場(chǎng)：回路L 的磁場(chǎng)：大小，方向，右螺旋方向三. 長(zhǎng)直電流的磁場(chǎng)12如圖2.6 所示，取 l 處 d l ，電流元，方向各dB 同向由得I圖.6 長(zhǎng)直電流aOldl【討論】：當(dāng) a L，則無限長(zhǎng)直電流的磁場(chǎng)當(dāng) a L，場(chǎng)點(diǎn)位于一端，則半無限長(zhǎng)直電流的磁場(chǎng)12I圖.6 長(zhǎng)直電流aOldl推廣 平面電流，平板電流，無限大平面電流，

3、無限大平板電流 圓弧面電流，圓弧體電流，圓柱面電流， 圓柱體電流Ixy圖.7 平面電流Ix yz圖.8 圓弧電流四. 圓電流軸線上的磁場(chǎng)xaIx圖.9 圓電流的磁場(chǎng)圓電流 I 半徑為 a，軸線沿x ，如圖2.9 所示。，方向如圖。由對(duì)稱性可知，總場(chǎng)強(qiáng)沿x 方向。得方向沿軸線。故其中【討論】：定義線圈的磁矩，則圓心處 x =0 或當(dāng) a 0，反之I0R時(shí) 由安培環(huán)路定理得：若rR同理：BR與畢薩定理結(jié)果一致L例7.一無限大平面，有均勻分布的面電流，其橫截線的 電流線密度為 i，求平面外一點(diǎn) B=？i.abcd解：由對(duì)稱可知并且離板等距離處的B大小相等。過P點(diǎn)取矩形回路abcdL其中ab、cd與板

4、面等距離。00.P與P點(diǎn)到平板的距離無關(guān)。ii00例9. 求通電螺繞環(huán)的磁場(chǎng)分布。已知環(huán)管軸線的半徑 為R，環(huán)上均勻密繞N匝線圈，設(shè)通有電流I。解：由于電流對(duì)稱分布，與環(huán)共軸的圓周上，各點(diǎn)B大小相等，方向沿圓周切線方向。取以o為中心，半徑為r的圓周為L(zhǎng)當(dāng)R1 r R2若 rR2IR當(dāng) R管截面 R即 r R.orr三. 安培環(huán)路定律的應(yīng)用長(zhǎng)直螺線管的磁場(chǎng)圖4.18 長(zhǎng)直螺線管的磁場(chǎng)設(shè)：匝數(shù)密度n ，電流強(qiáng)度I，取環(huán)路L=ABCDA，如圖4.18。分析： 的方向必沿軸向；的大小沿軸向不變。路徑AB/軸線，AB上 為恒量；路徑BC和DA與 垂直；路徑CD在螺線管外， = 0。所以則得ABCDL【討

5、論】：可以證明螺線管內(nèi)： = 恒矢量，螺線管外： = 0，ABC”D”ABCDL比較圖中 ABCDA 與 ABCDA 環(huán)路；比較圖中 ABCDA 與 ABC”D”A 環(huán)路；螺繞環(huán)（羅蘭環(huán)）的磁場(chǎng) 設(shè)匝數(shù)N，電流I，管半徑R，取環(huán)路為貫穿管內(nèi)的圓，其半徑為r ，見圖4.19。r圖2.19 螺繞環(huán)的磁場(chǎng)由定律分析得所以【討論】：若 R r ，B = 0nI ，同無限長(zhǎng)螺線管。均勻載流長(zhǎng)直圓柱體的磁場(chǎng) 設(shè)：長(zhǎng)直圓柱體半徑R，沿軸向通以電流I，且橫截面上均勻分布。圖2.20 載流圓柱體的磁場(chǎng)柱外 ( r R ) ：L1分析得按定律則I柱內(nèi) ( r R ) ：分析得按定律則 均勻載流長(zhǎng)直圓柱體的磁場(chǎng)分布

6、見圖2.21。RBrO圖2.21 載流圓柱體磁場(chǎng)分布曲線圖2.20 載流圓柱體的磁場(chǎng)L2I【討論】：均勻載流長(zhǎng)直圓柱體的磁場(chǎng)問題可擴(kuò)展為載流圓柱面，載流圓柱管，多層載流圓柱管（體）；非均勻載流圓柱體，非均勻載流圓柱管，非均勻載流多層圓柱管（體）；(b) 補(bǔ)償法補(bǔ)償法：（疊加原理）圖2.22 補(bǔ)償法求磁場(chǎng)(a) 偏心管I 沿偏心管軸線方向通以電流 I ，電流沿實(shí)體橫截面均勻分布，見圖2.22(a)。補(bǔ)償法如圖4.22(b)。 可以證明，方向與兩軸垂直連線垂直。2End 線：閉合，或伸向無窮遠(yuǎn)； 與電流方向成右螺旋關(guān)系；與回路互相套連； 線密度 = B（大?。?。約定比例，取整磁通量： 磁場(chǎng)中的高斯

7、定理一. 高斯定理單位：韋伯(Wb) ， 1Wb = 1Tm2高斯定理：或 高斯定理的證明S 圖.14 高斯定理的證明 參見圖2.14，電流元的磁感應(yīng)線兩處穿過閉面S 的通量再根據(jù)疊加原理，即可得利用數(shù)學(xué)的高斯定理磁高斯定理的微分形式說明恒磁場(chǎng)的散度為零無源場(chǎng)無源場(chǎng)有旋場(chǎng)非保守場(chǎng)一般不引入標(biāo)勢(shì)磁矢勢(shì)然而磁場(chǎng)的主要特征：無源（無散）磁高斯定理其更根本的意義：使我們可能引入磁矢勢(shì) 磁高斯定理表明：對(duì)任意閉合面 磁通量?jī)H由S的共同邊界線所決定可能找到一個(gè)矢量A，它沿L作線積分等于通過S的通量數(shù)學(xué)上可以證明，這樣的矢量A的確存在，對(duì)于磁感應(yīng)強(qiáng)度B，A叫做磁矢勢(shì)，A在空間的分布也構(gòu)成矢量場(chǎng)，簡(jiǎn)稱矢勢(shì)其實(shí)

8、標(biāo)勢(shì)也不唯一，零點(diǎn)可選描述同一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B根據(jù)矢量分析對(duì)任意矢量A有 矢勢(shì)的特點(diǎn) 如：對(duì)于任意標(biāo)量場(chǎng)的梯度，有 類似于電勢(shì)零點(diǎn)可以任取，規(guī)范也可任意選取通常選庫(kù)侖規(guī)范: A=0電流元的磁矢勢(shì) 設(shè)磁矢勢(shì)a與電流元平行（因?yàn)閷?duì)矢勢(shì)變換規(guī)范可以任選，選庫(kù)侖規(guī)范A=0 的結(jié)果）a只有z分量以電流元為軸,取柱坐標(biāo)（、z ) 只有這一段積分有貢獻(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)P和回路L在0的平面內(nèi)通過L的磁感應(yīng)通量為： 計(jì)算通過L的通量 消去dl電流回路假如電流在載流截面上不均勻分布上式為電流元所產(chǎn)生的磁場(chǎng)中矢勢(shì)的 一個(gè)表達(dá)式 矢勢(shì)表達(dá)式不唯一任意閉合載流回路L1 在空間某點(diǎn)的矢勢(shì)電流在導(dǎo)線截面上均勻分布找電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)中磁矢勢(shì)

9、的表達(dá)式兩種辦法普通物理的方法電流元的磁矢勢(shì) p113式（2.55)任意閉合回路的磁矢勢(shì) 式（2.56) 例題9 例題10矢勢(shì)公式的應(yīng)用舉例取回路求磁通量例題9：一對(duì)平行無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有等量反向電流I,求磁矢勢(shì)。先求一根無限長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁矢勢(shì)（如圖）設(shè)矢勢(shì)A只有z分量無限長(zhǎng)Az與z無關(guān)軸對(duì)稱Az與無關(guān)Az只是的函數(shù)： Az Az()一根無限長(zhǎng)導(dǎo)線在空間任一兩點(diǎn)之間的矢勢(shì)差兩根無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁矢勢(shì)矢量疊加（如圖）疊加得P點(diǎn)總矢勢(shì)取Q零點(diǎn)例題10：無限長(zhǎng)圓柱型導(dǎo)體，半徑為R，載有在界面上均勻分布的電流I，求磁矢勢(shì)rR：導(dǎo)線外部同例題9，取Q點(diǎn)在導(dǎo)體表面，外部任意點(diǎn)P與Q點(diǎn)的矢勢(shì)差為引入新課：已

10、學(xué)習(xí)兩方法： （原則上） （對(duì)稱時(shí)） 5 磁場(chǎng)對(duì)載流導(dǎo)線的作用穩(wěn)恒磁場(chǎng)的基本問題包含兩方面的主要內(nèi)容：(1) 已知I分布，求 分布。綜合概括為： 正問題 逆問題I一、安培力安培定律分成兩個(gè)部分，寫出公式為：(2) 已知 分布，求對(duì)I的作用。此力稱為安培力， 為試探電流元。1、力的方向和大小方向：由叉積 確定大小： d 2、安培力的雙重功用 定義 ； 可用于計(jì)算磁力 常用形式為： 安培力疊加原理計(jì)算各種載流回路在外磁場(chǎng)作用下所受的力平行無限長(zhǎng)直導(dǎo)線間的相互作用 電流強(qiáng)度的單位“安培”的定義 一恒定電流，若保持在處于真空中相距1m的兩無限長(zhǎng)、而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則在此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力在

11、每米長(zhǎng)度上等于2107N，則導(dǎo)線中的電流強(qiáng)度定義為1A（p117）與P91的定義等價(jià)，但注意兩個(gè)定義表述上的區(qū)別 磁力矩(一）在均勻磁場(chǎng)中剛性矩形線圈不發(fā)生形變；合力=0，合力矩？ 磁矩 m磁力矩(二）在均勻磁場(chǎng)中任意形狀線圈將線圈分割成若干個(gè)小窄條小線圈所受力矩 dL 若線圈平面與磁場(chǎng)成任意角度，則可將B分解成總力矩線圈的磁矩所受的力矩 結(jié)論： 磁矩的方向結(jié)論任意形狀平面載流回路在均勻場(chǎng)中受合力、合力矩為整體不發(fā)生平動(dòng)，但轉(zhuǎn)動(dòng)， 使 轉(zhuǎn)向 的方向。3、直流電動(dòng)機(jī)和電流計(jì)原理(1) 直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)原理 ) N S 電刷 （2）磁電式電流計(jì)原理N S 永磁體 示值 線圈 游絲 （產(chǎn)生反力矩） N

12、 S 鐵芯圓柱體 N匝 a b 軸 三、知識(shí)擴(kuò)展1、非均勻磁場(chǎng)中的平面載流線圈由于線圈各部分所在處 不同，一般地：線圈作復(fù)合運(yùn)動(dòng)（平動(dòng) + 轉(zhuǎn)動(dòng)） 轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果：使 轉(zhuǎn) 向。 平動(dòng)的結(jié)果：使線圈整體向強(qiáng)場(chǎng)區(qū)移動(dòng)，使 盡量取大； 例：載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)中放置矩形載流回路，研究回路的運(yùn)動(dòng)情況。 a I2 b I1 r (a)共面（平動(dòng)） I2 I1 (b)非共面（平動(dòng) + 轉(zhuǎn)動(dòng)）一. 洛侖茲力6 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 按經(jīng)典理論，可從安培力推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)電荷所受磁力。設(shè)：電流元 的截面積 S ，如圖.33dls圖.33 推算洛侖茲力I帶電粒子數(shù)密度 ，電量 ，由則或(a)(b)圖2.33 電子束受洛侖茲

13、力而偏轉(zhuǎn)平均速度 ，二. 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子電量 ，質(zhì)量 ，初速度 ，磁感應(yīng)強(qiáng)度 勻速直線運(yùn)動(dòng) 勻速圓周運(yùn)動(dòng) 常量 勻速直線運(yùn)動(dòng) 勻速圓周運(yùn)動(dòng)螺旋運(yùn)動(dòng)圖.35 電子在磁場(chǎng)中作螺旋運(yùn)動(dòng)與 無關(guān) 與 夾角 三. 回旋加速器 圖.36 回旋加速器T結(jié)構(gòu)：逐步參見圖.36 一對(duì)D型盒（電極），半徑R； 交變電場(chǎng)（電源），周期T ; 磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B 。原理：D型盒電極間加速電場(chǎng)周期=回旋共振周期粒子通過電極間隙時(shí)總被加速，最終速率受相對(duì)論效應(yīng)約束，當(dāng) 不是常量時(shí)，其基本原理不再滿足。四. 磁聚焦電子槍、電子透鏡電子的飛行速率周期螺距屏距e圖.37 電子槍示意圖（圖.38例，n=2）電聚焦

14、與磁聚焦改變電場(chǎng)E，即改變圖.38 電子束的磁聚焦tL改變磁場(chǎng)B，均改變 t，L五. 磁約束約 束 力I圖4.39 正離子被磁約束示意圖六. 荷質(zhì)比的測(cè)定W.Thomson 測(cè)荷質(zhì)比的方法當(dāng)E 和B 的值適當(dāng)時(shí)，可使電子束不偏轉(zhuǎn)，即由式、得荷質(zhì)比， 或切斷電場(chǎng)，電子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑 +-kAASoo圖.40 湯姆孫測(cè)荷質(zhì)比-e-e 電子運(yùn)動(dòng)出磁場(chǎng)后依慣性前進(jìn)。由屏S上光點(diǎn)偏移量oo和儀器參數(shù)可測(cè)算出R的值。其參數(shù)包括結(jié)構(gòu)尺寸，電、磁場(chǎng)分布等。 荷質(zhì)比與速度有關(guān)，這符合狹義相對(duì)論觀點(diǎn)5End磁聚焦法測(cè)荷質(zhì)比如圖.41，Ak間加電壓U，電子的動(dòng)能， 即在電容C上加一小交變電場(chǎng)，使不同時(shí)

15、刻通過的電子偏轉(zhuǎn)不同。在C與S之間加聚焦磁場(chǎng)B，調(diào)節(jié)B，使電子束聚焦于屏S平面上，則（n = 1，如何確定？）由式、得荷質(zhì)比lkACSo圖.41 磁聚焦法測(cè)荷質(zhì)比-eU6 霍耳效應(yīng)一. 霍耳現(xiàn)象與實(shí)驗(yàn)規(guī)律試驗(yàn)規(guī)律：式中霍耳系數(shù)，_ _ _ _ _ _VIbd + + + + + +_圖2.42 霍耳效應(yīng)實(shí)驗(yàn)與元件的形狀大小無關(guān)，(a) 正載流子UH 0(b) 負(fù)載流子UH 0，反映經(jīng)典理論的局限性。實(shí)測(cè)二價(jià)金屬 鈹Be、鋅Zn、鎘Cd，K依次為 24.4, 3.3, 6.0三. 應(yīng)用判別載流子性質(zhì)，n 型，p 型；測(cè)量載流子濃度 n ；磁量磁場(chǎng)：高斯計(jì)?！咀ⅰ浚罕碚髟男再|(zhì)，與元件的尺寸有關(guān)

16、。比較得d 越小，霍耳元件的靈敏度越高。Ibd圖2.44 霍耳元件6End7 不同參照系之間電磁場(chǎng)的變換一. 特魯頓和諾伯的實(shí)驗(yàn)若以太存在，為絕對(duì)參照系S ，地球是非絕對(duì)參照S 圖4.45 特魯頓和諾伯的實(shí)驗(yàn)SO feFmFm(a)SO fe(b)電荷在S 中運(yùn)動(dòng)，除靜電力，還有磁力作用，如圖4.45(a); 電荷在S中靜止，只有靜電力相互作用，如圖4.45(b); 結(jié)果是否定的電磁規(guī)律的數(shù)學(xué)形式在一切慣性參照系中均相同。二. 電荷不變性而可見 q 不變溫度改變對(duì)電子速度影響大，但未見電量變化（ 變）H2 和He 帶電相同，H2 核距長(zhǎng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慢He 核距短，轉(zhuǎn)動(dòng)快均為電中性同位素光譜： 核質(zhì)量

17、不同，則運(yùn)動(dòng)不同， 但電量相同，則光譜相同所以在S 系和S 系中區(qū)別電荷守恒：測(cè)定速度為 的帶電粒子的荷質(zhì)比，得三. 在不同參照系中測(cè)量的電場(chǎng)在S 系中有兩片靜止的均勻面電荷 和- ，為邊長(zhǎng) b 的正方形，參見圖4.46，均勻電場(chǎng)強(qiáng)度 在S 系中， y z x圖4.46 平面電荷對(duì)- 按高斯定理（電荷不變性）得若電荷平面垂直于x 軸，一般而言（以 為基準(zhǔn)） 或（ 沿 x 軸） 四. 勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)電荷Q 靜止于S 系 x = 0 處設(shè)S系以速度沿-x方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)Q 經(jīng)過S 系原點(diǎn)時(shí)，t= 0，則 x = x，得可見的方向從瞬時(shí)位置沿徑向向外x y zQ圖4.47 運(yùn)動(dòng)電荷的場(chǎng)令則【討論】：

18、低速時(shí),=0，高速時(shí)， 參見圖4.48，為非靜電場(chǎng)。x z圖4.48 E1 E2E1E2 但恒速運(yùn)動(dòng)電荷的場(chǎng)不能正確表明歷史上該電荷的場(chǎng)。五. 電荷開始運(yùn)動(dòng)和停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的場(chǎng)電荷開始運(yùn)動(dòng)，即速度由 0 ( 恒速 )設(shè)電荷 e 在 x = 0 處，t = 0 時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，恒速恒速后與前面討論相同，討論 t = 210 10 s 時(shí)的場(chǎng)，（光行進(jìn)了 6 cm ）以 ( 0, 0 ) 為中心，以 ( 0, 0 ) 為中心，加速過程忽略不計(jì)。參見圖4.49。-6cm6cm圖4.49 電荷開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的場(chǎng)O6 cm 為半徑的范圍內(nèi)，是恒速后的場(chǎng)。6 cm 為半徑的范圍外，是原點(diǎn)靜止電荷的場(chǎng)；電荷停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的場(chǎng) 電子在 t = 0 以前， 恒定，t = 0 時(shí)，到達(dá) x = 0 處，突然停止。仍設(shè) t = 210 10 s , ct = 6cm。以 ( 0, 0 ) 為中心， 6 cm 半徑范圍內(nèi)，是靜止電荷的場(chǎng)；以 ( 0, 0 ) 為中心， 6 cm 半徑范圍外，是運(yùn)動(dòng)電荷的場(chǎng)。其電力線中心為電子若不停止運(yùn)動(dòng) t = 210 10 s 時(shí)所在位置，即 x = 210 10 圖4.50 電荷停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的場(chǎng)-6cm6cmOx內(nèi)外電力線的連接滿足高斯定理設(shè)電力線與 x 軸的夾角為0和0，弧ae以O(shè)為中心，df 以x為中心，將abcdfe