六種解法三扇門問題羊、車概率決勝21點(diǎn)

1、看了電影決勝21點(diǎn)的一個場景：參加一個游戲，有三扇門。一門后有一輛車，另兩門后有羊，主持人讓你隨意挑。當(dāng)你選擇了一扇門后，主持人隨后打開了一扇門后有羊的門。此時(shí)問你是否換到剩下的一扇門？是否換？為什么？概率多少？那個主人公的選擇是換到第二扇門。似乎是應(yīng)該換選擇。但是很蹊蹺?？戳撕芏嗵印？偨Y(jié)了一下。注：原問題的描述確實(shí)有一些含混不清的成分，如果加上下述條件可以使這個答案更準(zhǔn)確：、1參賽者在三扇門中挑選一扇。他并不知道內(nèi)里有甚么。、2主持人知道每扇門后面有什么。、3主持人必須開啟剩下的其中一扇門，并且必須提供換門的機(jī)會。、4主持人永遠(yuǎn)都會挑一扇有羊的門。、5如果參賽者挑了一扇有羊的門，主持人必須

2、挑另一扇有羊的門。、6如果參賽者挑了一扇有車的門，主持人隨機(jī)在另外兩扇門中挑一扇有羊的門。、7參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉(zhuǎn)而選擇剩下的那一道門。這樣，問題的答案是：可以。當(dāng)參賽者轉(zhuǎn)向另一扇門而不是繼續(xù)維持原先的選擇時(shí)，贏得汽車的機(jī)會將會加倍。因?yàn)椋河腥N可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)參賽者挑一號羊，主持人挑二號羊。轉(zhuǎn)換將贏得車。參賽者挑二號羊，主持人挑一號羊。轉(zhuǎn)換將贏得車。參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉(zhuǎn)換將失敗?？梢钥闯觯@是一個概率論和人的直覺不太符合的例子，這告訴我們在做基于量化的判斷的時(shí)候，要以事實(shí)和數(shù)據(jù)為依據(jù)，而不要憑主觀來決定。否則，想當(dāng)然的結(jié)果

3、往往會在我們不自知的情況下，把我們引入歧途。如片中的老師所說：在校園里騎車可比騎頭羊要酷多了。問題是你要做出正確的選擇，而這需要以事實(shí)為依據(jù)詳細(xì)解答：注：以下分兩種條件情況討論：1、主持人知道汽車在哪扇門后邊，他是故意打開羊的門給你看，也就是說不管玩多少次這個節(jié)目，每次他都是打開有羊的門。2、主持人也不知道門汽車在哪扇門后邊，他是隨便打開了一扇門，結(jié)果后邊恰好是羊。(這時(shí)才是1/2的概率)方法零：憑感覺想1假設(shè)選中的是門，主持人打開的是門，剩下是門。當(dāng)主持人去掉一個是羊的門之后，參賽者挑一號羊，主持人挑二號羊。轉(zhuǎn)換將贏得車。參賽者挑二號羊，主持人挑一號羊。轉(zhuǎn)換將贏得車。參賽者挑汽車，主持人挑兩

4、頭山羊的任何一頭。轉(zhuǎn)換將失敗。而開始選到車和選到羊概率分別是1/和32/，3顯然不換有1/可3能得車，換了有2/可3能得車。為什么在主持人進(jìn)行了一次選擇之后的概率不變而的概率變化了呢？對于門，因?yàn)槠渲惺欠裼衅嚩疾粫绊懙健爸鞒秩嗽谑Ｏ碌膬蓚€門中打開一個是羊的門”這一事件，后者是一定會發(fā)生的，它的概率是1。他們是兩個完全不相關(guān)的事件，不存在原因和結(jié)果的關(guān)系。自然不會受到彼此的影響而改變各自原來的概率。對于門，因?yàn)榭梢园袰門看做一個整體，這個整體有車的概率就是/主持人在其中選擇，故意去掉了沒有車的門，那么這的可能性也就都到了門。有人認(rèn)為主持人去掉了一個門，等于讓觀眾在剩下的兩個門里選一個，2選一

5、，自然每個的概率都是1/了2。實(shí)際上這是錯誤的，并不是說只要2選1就一定都是1/的2概率。比方說明天可能下雨可能不下雨，2選1，都是1/嗎2？統(tǒng)計(jì)1年里下雨天數(shù)多還是不下雨天數(shù)多呢？百米冠軍和小朋友賽跑，可能百米冠軍贏，也可能小朋友贏，2選1，也都是1/嗎2？只有當(dāng)2種情況發(fā)生的可能性完全相等時(shí)，他們的概率才都是1/。2題目中門是隨機(jī)挑選出來的，門是經(jīng)過人為選擇后剩下的，隨機(jī)和人為選擇的結(jié)果自然是不一樣的。所以這兩個門后有車的概率肯定不一樣。比如一堆均勻的棋子有黑白兩色各占一半，甲隨便抓了一把，乙來把剩下的棋子中白的都揀走了，剩下的歸丙，那甲和丙各自手中棋子黑白比例肯定不同。可以這么說，人為干

6、預(yù)的目的就是要改變事件原來發(fā)生的概率。2如果是主持人隨機(jī)打開一扇門，發(fā)現(xiàn)恰好是羊，此時(shí)門后有車概率就是一樣的了，都是/此時(shí)“主持人在C中隨機(jī)打開一扇門是羊”這一事件就不是必然發(fā)生的了，它和門或門后是否有車都是有關(guān)聯(lián)的，它們之間存在因果關(guān)系。它們都有可能造成“C門后是羊”這一結(jié)果。所以當(dāng)這一結(jié)果變成事實(shí)時(shí)，C本來具有的概率就應(yīng)該按照比例分給和，而不應(yīng)該只分給門。其實(shí)這就相當(dāng)于抓鬮，觀眾先抓一個沒看，主持人再抓看了沒中，那么最后一個人和觀眾中的可能性肯定是一樣的。如果我我沒有說清楚，那么下面就用具體的公式計(jì)算來看看這個概率到底是多少。其實(shí)許多時(shí)候我們的感覺似乎沒問題但實(shí)際是錯誤的，所以人們才要發(fā)明

7、尺子、天平、各種儀表來測量具體的數(shù)據(jù)。方法一：古典概率模型定義事件的概率事件包含的所有可能性數(shù)目三總的可能性數(shù)目前提條件是每個可能性出現(xiàn)的概率必須相等。這個方法現(xiàn)在的小學(xué)就學(xué)到了，只不過沒提這個定義。比方計(jì)算擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的概率()=3三6=1/2具體到這個題目，我們可以把所有可能的情況都列出來，那么選某個門得到車的概率也就是用選這個門得到車的所有可能性數(shù)目三總可能性數(shù)目。1、假設(shè)選擇了門，主持人故意打開一個是羊的門情況時(shí)的各種情況(1)、車在(1/3),主持人開(1/2),不換得車，換不得。概率(1/3)X(1/2)=1/6(1)、車在(1/3),主持人開(1/2),不換得車，換不得。概率

8、(1/3)X(1/2)=1/6(2)、車在(1/3),主持人開(1),換得車，不換不得。概率(1/3)X1=1/3(3)、車在(1/3),主持人開(1)，換得車，不換不得。概率(1/3)X1=1/3在所有4種可能性中，前兩個的概率和后兩個不相等，因此不能直接用古典概率模型定義來計(jì)算。但是實(shí)際上我們可以把這兩個合并成一種情況，即車在(1/3),主持人開或者門(1)，換得車，不換不得。可能性是(1/3)X1=1/3。這樣就只有3種發(fā)生概率相等的可能情況，一種不換得車，兩種換得車，按公式算得不換得車概率1/3,換是2/3。也可以不把前兩種情況合并，按照各自的概率來計(jì)算。所有不換得車情況的概率相加三總

9、概率=不換得車概率不換得車概率=(1/61/6三(1/61/61/31/=1/3換得到車概率=(1/31/3三(1/61/61/31/=2/32、如果觀眾選擇門后后主持人是隨機(jī)打開一個門，恰好是羊，則會有以下幾種情況:、車在(1/3)，主持人打開=1/6、車在(1/3)，主持人打開=1/6、車在(1/3),主持人打開=1/6()、車在(1/3)，主持人打開=1/6()、車在(1/3)，主持人打開=1/6(6)、車在(1/3),主持人打開=1/6(1/2),是羊，不換得車，換不得。概率(1/3)X(1/2)(1/2),是羊，不換得車，換不得。概率(1/3)X(1/2)(1/2)，是車，換不換都不

10、得車。概率(1/3)X(1/2)(1/2),是羊，換得車，不換不得。概率(1/3)X(1/2)(1/2),是羊，換得車，不換不得。概率(1/3)X(1/2)(1/2)，是車，換不換都不得車。概率(1/3)X(1/2)由于只有主持人打開是羊的門才是有效的，所以(3)和(6)兩種情況應(yīng)該去掉，只計(jì)算其他4種情況中得車概率。這4種情況發(fā)生概率相等，可以按照古典概率模型定義計(jì)算概率。換與不換都是各有兩種情況會得到車，自然換不換得車的概率都是1/2。方法二：加法原理和乘法原理1、故意打開是羊的門時(shí)，把各種情況列在下邊(1)、車在(1/3),主持人開(2)、車在(1/3),主持人開(3)、車在(1/3),

11、主持人開()、車在(1/3),主持人開1/2)，不換得車(1)，換得車(0)。1/2)，不換得車(1)，換得車(0)(1)，不換得車(0)，換得車(1)。(1)，不換得車(0)，換得車(1)。不換得車概率=1/3X1/2X1+1/3X1/2X1+1/3X1X0+1/3X1X0=1/6+1/6+0+0=1/3換得車概率=1/3X1/2X0+1/3X1/2X0+1/3X1X1+1/3X1X1=0+0+1/3+1/3=2/32、隨機(jī)打開是羊的門的情況，把各種情況列在下邊：、車在(1/3),主持人開、車在(1/3),主持人開、車在(1/3),主持人開()、車在(1/3),主持人開()、車在(1/3),

12、主持人開(6)、車在(1/3),主持人開1/2)，不換得車(1)，換得車(0)。1/2)，不換得車(1)，換得車(0)1/2)，不換得車(0)，換得車(1)1/2)，不換得車(0)，換得車(1)1/2)，不換得車(0)，換得車(0)1/2)，不換得車(0)，換得車(0)。由于只有主持人打開是羊的門才是有效的，所以后兩種情況舍去。只需要用前4種情況來計(jì)算概率：不換得車概率=1/3X1/2X1+1/3X1/2X1+1/3X1/2X0+1/3X1/2X0=1/6+1/6+0+0=1/3換得到車概率=1/3X1/2X0+1/3X1/2X0+1/3X1/2X1+1/3X1/2X1=0+0+1/6+1/6

13、=1/3兩種情況概率確實(shí)相等，但為什么算出來都是1/3不是1/2呢？這是因?yàn)槲覀內(nèi)サ袅撕筮叺膬煞N可能，但是計(jì)算用到的1/3和1/2等概率還是按照6種情況時(shí)的概率值，因此此時(shí)算出來的概率實(shí)際上是6種可能性下的概率。當(dāng)總可能有6個變成4個，也就是變成原來的2/3時(shí)，相應(yīng)的概率應(yīng)該除以2/3得到的才是最后的概率值。所以換與不換得到車的實(shí)際概率都=1/322/3=1/2方法三：條件概率公式P(II)=P(C2P()P(II)表示事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率，P(C表示事件和同時(shí)發(fā)生的概率，P()表示無任何條件下事件發(fā)生的概率。1、用表示選中的門有汽車這一事件，用表示觀眾選擇后主持人故意打開一扇有羊的

14、門這一事件，計(jì)算在此條件下的P(II),也就是不換選中車的概率。由于是必然事件,所以P()=1。又因?yàn)槭潜厝皇录灰l(fā)生了，就一定會發(fā)生，因此和同時(shí)發(fā)生的概率也就是發(fā)生的概率。P(C=P()=1/3。代入公式得P(II)=P(CP()=1/3三1=1/3再用表示門中有車這一事件，則P(II)=P()FP(),其中關(guān)鍵是要知道P(),即事件和同時(shí)發(fā)生的概率，也就是要主持人打開一扇是羊的門同時(shí)剩下的門里是車，只要門和門滿足共有一羊一車就可以，顯然只有當(dāng)門是羊的話這種可能才會發(fā)生，所以和同時(shí)發(fā)生的概率就等于門是羊的概率，即P()=2/3,代入公式得P(II)=P()FP()=2/3三1=2/32、

15、用表示選中的門有車這一事件，表示主持人隨機(jī)選了一扇門發(fā)現(xiàn)是羊這一事件，表示主持人選擇后剩下的門是車這一事件。P(II)和P(I)分別是在主持人選擇的條件下兩門有車的概率，需要知道P()、P()和P()oP()也就是門有車且主持人選到羊兩事件同時(shí)發(fā)生的概率，因?yàn)楫?dāng)門有車的時(shí)候主持人一定會選到羊，就是說只要事件發(fā)生了，則就一定發(fā)生。所以P()也就等于門有車的概率即1/3。P()也就是主持人選了一個是羊的門且剩下的門是車的概率，顯然只要門是車，則主持人選的門一定是羊，即P(、就等于門是車的概率1/3,P(、也就是主持人選中發(fā)現(xiàn)是羊的概率，為2/3。代入公式計(jì)算得到概率P(II)=P(、三P()=1/

16、3三2/3=1/2P(II)=P()P()=1/322/3=1/2方法四：全概率公式P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)+.(+AP)nP(BIA)nP()表示事件發(fā)生的概率，P(1表示事件1發(fā)生的概率，P(II1表示在事件1發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率。1到必須包含所有可能的互不相容的情況。1、主持人故意打開是羊的門的情況，用表示不換選擇得到車的概率，12和3分別表示車在門、門和門后這三個事件。顯然P(1=P(2=P(3=1/3，P(II1=1，P(II2=P(II3=0，代入公式得到不換選擇時(shí)得車的概率P()=P(1P(II1+P(2P(II

17、2+P(3P(II3=1/3X1+1/3X0+1/3X0=1/3再用表示換選擇得到車的概率，此時(shí)P(1=P(2=P(3=1/3,P(II1=0,P(II2=P(II3=1。代入公式得到換選擇時(shí)得車概率P()=P(1P(1+P(2P(2+P(3P(II3=1/3X0+1/3X1+1/3X1=2/32、主持人隨機(jī)打開一個門發(fā)現(xiàn)是羊的情況下，用和分別表示不換與換得到車的事件，12和3分別表示車在門、門和門后的事件。顯然P(1=P(2=P(3=1/3,P(II1=1,P(BIA2)=P(BIA3)=0；P(BIIA1)=0，P(BII代入公式得到不換后得車的概率2=P(3=1/2。把以上數(shù)據(jù)P(B)=

18、P(A1)P(BIA1)+P(A)2P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)=1/3X1+1/3X0+1/3X0=1/3換后得車的概率為P(B)I=P(A1)P(BIIA1)+P(A2)P(BIIA2)+P(A3)P(BIIA3)=1/3X0+1/3X1/2+1/3X1/2=1/3此時(shí)求得的是無條件下的概率，也就是把主持人選到車的情況也算是有效的，然后計(jì)算在主持人選到羊這一條件下?lián)Q與不換各自的概率應(yīng)該是多少。用表示主持人選到羊這一事件。則P(II)=P()FP(),其中P()表示選門得到車這一事件與主持人選到羊這一事件同時(shí)發(fā)生的概率，也就等于選門選到車的概率1/3,P()表示主持人選到羊的概率

19、，即2/3。代入公式得到在主持人打開一扇門發(fā)現(xiàn)是羊的情況不換的概率分別是P(II)=P(CP()=1/322/3=1/2類似的可以得到換選得車的概率P()=P()2P()=1/322/3=1/2通過比較發(fā)現(xiàn)方才所用到的加法原理和乘法原理實(shí)際上就是利用的全概率公式。方法五：貝耶斯公式公式的求和符號不知道怎么打出來，具體到本題，公式可以寫成如下的形式：P(A1IB)=P(A1)P(BIA1)/P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)1表示觀眾選中的門中有車這一事件，2表示觀眾選中的門中沒有車這一事件，表示主持人打開一扇門發(fā)現(xiàn)是羊這一事件P(I)即為主持人打開門后發(fā)現(xiàn)是羊的情況下觀眾不換得

20、到車的概率，P(1表示選中的門中是車的概率，P(2表示選中的門中是羊的概率，P(I1表示觀眾選中車的情況下主持人打開門發(fā)現(xiàn)是羊的概率，P(II2表示觀眾選中羊的情況下主持人打開門發(fā)現(xiàn)是羊的概率。1、主持人故意打開是羊的門的情況下，(11/3(22/3由于主持人打開的門一定是羊，所以(H1(II21代入公式計(jì)算得到不換得到車的概率(111)P1(II1/P1(II1+(2(II2(1/3X1)三(1/3X1+2/3X1)1/3不換車的情況下，等于重新進(jìn)行一次選擇，由于這次選擇發(fā)生在主持人的選擇之后，因此它不是“主持人打開一扇門發(fā)現(xiàn)是羊這一事件”的原因而是結(jié)果，因此換選擇得到車的概率不能直接用貝耶斯公式計(jì)算，但是既然上面已經(jīng)計(jì)算出不換的概率是1/3，在只剩兩個門的情況下?lián)Q了肯定就是2/3。2、主持人隨機(jī)打開一個門發(fā)現(xiàn)是羊的情況下，(11/3(22/3如果選中的是車，那么主持人打開一扇門則必然是羊，即(I11如果選中的羊，那么車就在剩下的兩個門中，主持人隨機(jī)打開一個，只有1/2的幾率會打開是羊的門，即(II21/2把這些數(shù)據(jù)代入公式得到不換得到車的概率為(111)(1(II1/(1(II1+(2