控制系統(tǒng)時域分析法

1、第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法 第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法 第一節(jié) 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標 第二節(jié) 增加零極點對二階系統(tǒng)響應的影響第三節(jié) 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第四節(jié) 勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據第五節(jié) 控制系統(tǒng)靈敏度分析第六節(jié) 應用MATLAB分析控制系統(tǒng)的性能第七節(jié) 設計實例 第一節(jié) 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標 瞬態(tài)響應，是指系統(tǒng)的輸出從輸入信號r(t)作用時刻起，到穩(wěn)定狀態(tài)為止，隨時間變化的過程。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，可以考查系統(tǒng)的穩(wěn)定性和過渡過程的性能。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，有以下方法： 1. 直接求解法 2. 間接評價法 3. 計算機仿真法 本小節(jié)首先討論典型輸入信號、性能指標等內容

2、，然后討論一階、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，最后討論如何處理高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應問題。 一、典型輸入信號（一）階躍信號 階躍信號的表達式為： (3.1) 當A=1時，則稱為單位階躍信號，常用1(t)表示，如圖3-1所示。 圖3-1 階躍信號 圖3-2 斜坡信號 （二）斜坡信號 斜坡信號在t =0時為零，并隨時間線性增加，所以也叫等 速度信號。它等于階躍信號對時間的積分，而它對時間的導數就是階躍信號。斜坡信號的表達式為： (3.2) （三）拋物線信號 拋物線信號也叫等加速度信號，它可以通過對斜坡信號的積分而得。拋物線信號的表達式為： （） 當A =1時，則稱為單位拋物線信號，如圖3-3所示 （四）脈沖信號

3、 單位脈沖信號的表達式為： (3.4) 其圖形如圖3-4所示。是一寬度為e ，高度為1e 的矩形脈沖，當e 趨于零時就得理想的單位脈沖信號(亦稱d(t) 函數)。 (3.5) （五）正弦信號 正弦信號的表達式為 : （） 其中A為幅值，w =2p/T為角頻率。 圖3-5 正弦信號 二、系統(tǒng)的性能指標系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常以系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，對單位階躍輸入信號的響應特性來衡量，如圖3-6所示。這時瞬態(tài)響應的性能指標有： 1。最大超調量sp響應曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值，常以百分比表示，即 最大百分比超調量sp最大超調量說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。 2。延滯時間td響應曲線到達穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間，

4、稱為延滯時間。3. 上升時間tr它有幾種定義： (1) 響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需時間； (2) 響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的5%到95%所需時間； (3) 響應曲線從零開始至第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間。 一般對有振蕩的系統(tǒng)常用“(3)”，對無振蕩的系統(tǒng)常用“(1)”。4. 峰值時間tp響應曲線到達第一個峰值所需的時間，定義為峰值時間。 5. 調整時間ts響應曲線從零開始到進入穩(wěn)態(tài)值的95%105%（或98%102%）誤差帶時所需要的時間，定義為調整時間。圖3-6 單位階躍響應 對于恒值控制系統(tǒng)，它的主要任務是維持恒值輸出，擾動輸入為主要輸入，所以常以系統(tǒng)對單位擾動輸入信號時的響應特性來衡量瞬

5、態(tài)性能。這時參考輸入不變、輸出的希望值不變，響應曲線圍繞原來工作狀態(tài)上下波動，如圖3-7所示。 可用一階微分方程描述其動態(tài)過程的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)?？紤]如圖3-8所示的一階系統(tǒng)，它代表一個電機的速度控制系統(tǒng)，其中t 是電機的時間常數。 該一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為 (3.7) 三、瞬態(tài)響應分析 （一）一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應圖3-8 一階控制系統(tǒng) 當系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，輸出響應的拉氏變換為 (3.8) 取C(s)的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應為 (3.9) 系統(tǒng)響應如圖3-9所示。 從圖中看出，響應的穩(wěn)態(tài)值為 (3.10)圖3-9 一階系統(tǒng)的單位

6、階躍響應 若增加放大器增益K，可使穩(wěn)態(tài)值近似為1。實際上，由于放大器的內部噪聲隨增益的增加而增大，K不可能為無窮大。而且，線性模型也僅在工作點附近的一定范圍內成立。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 (3.11) 不可能為零。 系統(tǒng)的時間常數為 (3.12) 它可定義為系統(tǒng)響應達到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需要的時間。由式(3.9)，很容易找到系統(tǒng)輸出值與時間常數T的對應關系：從中可以看出，響應曲線在經過3T（5%誤差）或4T（2%誤差）的時間后進入穩(wěn)態(tài)。 t = T， c(1T) = 0.632 c()t = 2T， c(2T) = 0.865c()t = 3T， c(3T) = 0.950c()t = 4T，

7、 c(4T) = 0.982c() 如果系統(tǒng)響應曲線以初始速率繼續(xù)增加，如圖3-9中 的c1(t)所示，T還可定義為c1(t)曲線達到穩(wěn)態(tài)值所需要 的時間。 (3.13) 因此當t= T時，c1(t)曲線到達穩(wěn)態(tài)值，即， 所以（二）二階系統(tǒng)的階躍響應 在工程實際中，三階或三階以以上的系統(tǒng)，?？梢越苹蚪惦A為二階系統(tǒng)處理。 圖3-10是典型二階系統(tǒng)的結構圖，它的閉環(huán)傳遞函數為 由上式可看出，z 和wn是決定 二階系統(tǒng)動態(tài)特性的兩個非常重 要參數，其中z 稱為阻尼比，wn稱為無阻尼自然振蕩頻率.圖3-10 二階系統(tǒng) 例如圖2-2中R-電路，其傳遞函數為 式中，無阻尼自然振蕩頻率 就是電路當R=0時

8、的諧振頻率；阻尼比 又如圖2-3中電樞控制的直流電動機，輸出w 與電樞電壓ua之間傳遞函數為 或 式中 由式(3.14)描述的系統(tǒng)特征方程為 (3.15)這是一個二階的代數方程，故有兩個特征方程根，分別為 (3.16)顯然，阻尼比不同，特征根的性質就不同，系統(tǒng)的響應特性也就不同。 下面分別對二階系統(tǒng)在0 z 1三種情況下的階躍響應進行討論。 1. 0z 1，稱為欠阻尼情況 按式(3.14)，系統(tǒng)傳遞函數可寫為 GB(s)= (3.17) 它有一對共軛復數根 (3.18) 式中 稱為有阻尼振蕩頻率。 在初始條件為零，輸入信號為單位階躍信號r(t)=1(t)時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為 (3.19)

9、對式(3.19)求拉氏反變換，則得系統(tǒng)的單位階躍響應c(t)： (3.20) 它是一衰減的振蕩過程，如圖3-11所示，其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率wd，而其幅值則按指數曲線（響應曲線的包絡線）衰減，兩者均由參數z和wn決定。 (a)根分布 (b)單位階躍響應 圖3-11 欠阻尼情況(0z 1) 根據以上分析，可得不同z值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線族,如圖3-14所示。由圖可見，在一定z值下,欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快地達到穩(wěn)態(tài)值，所以一般系統(tǒng)大多設計成欠阻尼系統(tǒng)。 圖3-14 二階系統(tǒng)單位階躍響應 （三）二階系統(tǒng)的脈沖響應 當輸入信號為單位脈沖信號d (t)，即R(s)=時，二階系統(tǒng)單位脈

10、沖響應的拉氏變換為 (3.30) 對式(3.30)求拉氏反變換，得 (3.31) 可見，系統(tǒng)傳遞函數的拉氏反變換就是系統(tǒng)的單位脈沖響應，所以脈沖響應和傳遞函數一樣，都可以用來描述系統(tǒng)的特征。由式(3.31)，對于欠阻尼情況(0z 1)，有 (3.34) 圖3-15表示不同z值時的單位脈沖響應曲線。 圖3-15 二階系統(tǒng)單位脈沖響應 （四）二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能指標 通常，工程實際中往往習慣把二階系統(tǒng)調整為欠阻尼過程，因為此時系統(tǒng)的響應較快，且平穩(wěn)性也較好。 對于單位階躍輸入作用下的欠阻尼系統(tǒng)，有： 1. 上升時間tr 按式(3.20)，令c(tr)=1，就可求得 因此 (3.35) 式中 (3

11、.36) 由式(3.35)可見，要使系統(tǒng)反應快，必須減小tr。因此當z一定，wn必須加大；若wn為固定值，則z越小，tr也越小。 2. 峰值時間tp 按式(3.20)，對c(t)求一階導數，并令其為零，可得到 到達第一個峰值時 wd tp = p 所以 (3.37) 上式表明，峰值時間tp與有阻尼振蕩頻率wd成反比。當wn一定, z越小，tp也越小。 3. 最大超調量sp 以t= tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超調量 (3.38) 由上式可見，最大百分比超調量完全由z決定，z越小，超調量越大。當z =時，sp %= 100%，當z =時，sp % =。sp與z的關系曲線見圖3-16。圖3-16 sp與z的關系 4. 調節(jié)時間ts 根據定義可以求出調節(jié)時間ts，如圖3-17所示。圖中T=1/zwn