新高考高考數(shù)學一輪復習鞏固練習7.1第56練《基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積》（解析版）

1、專題7立體幾何與空間向量第56練基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積考點一基本立體圖形1(多選)給出下列命題正確的是()A用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺B圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形C一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺D圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的答案BD解析只有在平面平行于圓錐底面時，才能將圓錐截為一個圓錐和一個圓臺，所以A錯；由圓錐的性質(zhì)可知B正確；直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示，所以C錯；由圓柱的定義可知D正確2(多選)

2、已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積可能為()A16 B64C32 D無法確定答案AB解析根據(jù)題意，正方形的直觀圖如圖所示， 若直觀圖中平行四邊形的邊AB4，則原正方形的邊長為ABAB4，所以該正方形的面積S4416；若直觀圖中平行四邊形的邊AD4，則原正方形的邊長為AD2AD8，所以該正方形的面積S8864.3(2022上海市徐匯區(qū)模擬)在四面體ABCD中，ABBCCA1，DA與直線AB，CA均垂直，且DAeq r(3)，一只螞蟻從ABC的中心沿表面爬至點D，則其爬過的路程最小值為()A.eq f(r(39),3) B.eq f(r(15),2)eq f

3、(r(3),6)C.eq f(4r(3),3) D.eq f(r(37),3)答案A解析因為DAAB，DAAC，ABACA，AB，AC平面ABC，所以DA平面ABC，又DA平面DAC，所以平面DAC平面ABC，將底面ABC以AC為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至平面DAC與平面ABC共面，且平面DAC與平面ABC位于AC的異側(cè)，如圖，點O為ABC的中心，此時OD的直線距離即為最短距離，設(shè)O到直線AC的距離為d，則deq f(1,3)eq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(3),6)，所以O(shè)Deq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs

4、4alco1(r(3)f(r(3),6)2)eq f(r(39),3).考點二表面積與體積4正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為2eq r(5)，則它的表面積為()A4(3eq r(3)4) B12(eq r(3)2)C12(2eq r(3)1) D3(eq r(3)8)答案B解析正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為2eq r(5)，則高為BB1eq r(2r(5)2222)2，它的表面積為S底6S矩形26eq f(1,2)22sin eq f(,3)62212eq r(3)2412(eq r(3)2)5.(2022蘇州模擬)陀螺指的是繞一個支點高速轉(zhuǎn)動的幾何體，是中國民間最早

5、的娛樂工具之一傳統(tǒng)陀螺大致是木或鐵制的倒圓錐形，玩法是用鞭子抽中國是陀螺的老家，從中國山西夏縣新石器時代的遺址中就發(fā)掘了石制的陀螺如圖，一個正放的陀螺，下半部分為圓錐，上半部分為同底圓柱其總高度為8 cm，圓柱部分高度為6 cm，已知該陀螺由密度為0.7 g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70 g，則最接近此陀螺圓柱底面半徑的長度為() A2.0 cm B2.2 cmC2.4 cm D2.6 cm答案B解析由題意知該陀螺由密度為0.7 g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70 g，可得該陀螺的總體積為eq f(70,0.7)100(cm3)，設(shè)底面半徑為r，則r26eq f(1,3)r2(8

6、6)100，解得req r(f(15,)2.2(cm)6某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓，正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)接于這個圓錐的內(nèi)切球，則該圓錐的體積與正方體ABCDA1B1C1D1的體積的比值為()A4 B.eq f(9r(3),8) C4eq r(3) D24eq r(3)答案B解析根據(jù)題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2r4，得r2，圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，其內(nèi)切圓半徑為4eq f(r(3),2)eq f(1,3)eq f(2r(3),3)，設(shè)正方體的棱長為a，則eq f(2r(3),3)2eq r(3)a，得aeq f(4,3)，正方體的體積為eq f(64,27

7、)，又圓錐的高heq r(4222)2eq r(3)，則體積為eq f(8r(3),3)，圓錐的體積與正方體ABCDA1B1C1D1的體積的比值為eq f(9r(3),8).7(多選)(2022濟南一中模擬)下列說法正確的是()A若球的表面積為36 cm2，則其體積為36 cm3B正三棱柱底面邊長為2，側(cè)棱長為3，則其表面積為18C正六棱臺的上、下底面邊長分別是2 cm和6 cm，側(cè)棱長是5 cm，則其表面積為(60eq r(3)24eq r(21) cm2D正四棱錐的底面邊長為3eq r(2)，側(cè)棱長為5，則其體積為24答案ACD解析對于A，設(shè)球的半徑為R，因為球的表面積為36 cm2，可得

8、4R236，解得R3 cm，所以球的體積Veq f(4,3)R3eq f(4,3)3336(cm3)，所以A正確；對于B，因為正三棱柱底面邊長為2，側(cè)棱長為3，可得其表面積SS底S側(cè)2eq f(r(3),4)223232eq r(3)18，所以B不正確；對于C，正六棱臺的上、下底面邊長分別是2 cm和6 cm，側(cè)棱長是5 cm，可得正六棱臺的斜高heq r(21) cm，則上底面面積為S16eq f(r(3),4)226eq r(3) (cm2)，下底面面積為S26eq f(r(3),4)6254eq r(3) (cm2)，側(cè)面積為S36eq f(1,2)(26)eq r(21)24eq r(

9、21) (cm2)，所以六棱臺的表面積SS1S2S3(60eq r(3)24eq r(21) cm2，所以C正確；對于D，由正四棱錐的底面邊長為3eq r(2)，可得對角線長為6，又由側(cè)棱長為5，所以正四棱錐的高heq r(5232)4，所以體積Veq f(1,3)Sheq f(1,3)3eq r(2)3eq r(2)424，所以D正確8已知正四棱臺兩底面邊長分別為4 cm,8 cm，側(cè)棱長為8 cm，則它的側(cè)面積為_ cm2.答案48eq r(15)解析作出正四棱臺的一個側(cè)面，如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，過D作DGBC于點G.由題知AD4 cm，BC8 cm，CD8 cm，得DE2

10、 cm，F(xiàn)C4 cm，解得GC2 cm，在RtDGC中，DGeq r(8222)2eq r(15)(cm)，即斜高為2eq r(15) cm，所以所求側(cè)面積為4eq f(1,2)(48)2eq r(15)48eq r(15)(cm2)9如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1和V2的兩部分，那么V1V2_.答案75解析設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的高為h，底面積為S，體積為V，則VV1V2Sh，因為E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以SAEFeq f(1,4)S，所以V1eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1

11、(Sf(1,4)Sr(Sf(1,4)S)heq f(7,12)Sh，V2VV1eq f(5,12)Sh，所以V1V275.10(2022連云港模擬)市面上出現(xiàn)某種如圖所示的冰激凌，它的下方可以看作一個圓臺，上方可以看作一個圓錐組成的組合圖形，經(jīng)過測量，圓臺上底面的半徑為4 cm，下底半徑為2 cm，深為6 cm，上方的圓錐高為9 cm，則此冰激凌的體積為_ cm3. 答案104解析設(shè)圓臺上底面半徑r14 cm，下底面半徑r22 cm，圓臺的體積V1eq f(1,3)(req oal(2,1)req oal(2,2)r1r2)h1eq f(1,3)(1648)656(cm3)，圓錐的體積V2eq

12、 f(1,3)req oal(2,1)h2eq f(1,3)16948(cm3)，所以冰激凌的體積V5648104(cm3)11(多選)某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，ABADBC2 cm，且CD2AB，下列說法正確的有()A該圓臺軸截面ABCD的面積為3eq r(3) cm2B該圓臺的體積為eq f(7r(3),3) cm3C該圓臺的母線AD與下底面所成的角為30D沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5 cm答案ABD解析由ABADBC2 cm，且CD2AB，可得CD4 cm，高O1O2eq r(4blc(rc)(avs4alco1(

13、f(42,2)2)eq r(3) cm，則圓臺軸截面ABCD的面積為eq f(1,2)(24)eq r(3)3eq r(3)(cm2)，故A正確；圓臺的體積Veq f(1,3)(142)eq r(3)eq f(7r(3),3)(cm3)，故B正確；圓臺的母線AD與下底面所成的角為ADO1，其正弦值為eq f(r(3),2)，所以ADO160，故C錯誤；由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4 cm，底面半徑為2 cm，側(cè)面展開圖的圓心角為eq f(22,4)，設(shè)AD的中點為P，連接CP，可得COP90，OC4 cm，OP213(cm)，則CPeq r(4232)5(cm)，所以沿著該圓臺表面，從

14、點C到AD中點的最短距離為5 cm，故D正確12.(多選)(2022濟南模擬)如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA，CC的中點，過直線EF的平面分別與棱BB，DD交于點M，N，以下四個命題中正確的是() A.eq o(MN,sup6()eq o(EF,sup6()0B|eq o(ME,sup6()|eq o(NE,sup6()|C四邊形MENF的面積的最小值與最大值之比為23D四棱錐AMENF與多面體ABCDEMFN的體積之比為13答案ABD解析對于A選項，如圖，連接BD，BD，MN.由題意得EFBD，EFBB，BDBBB，所以EF平面BDDB，又MN平面BDDB，所

15、以EFMN，因此eq o(MN,sup6()eq o(EF,sup6()0，故A正確；對于B選項，由正方體性質(zhì)得，平面BCCB平面ADDA，平面BCCB平面EMFNMF，平面ADDA平面EMFNEN, 所以MFEN，同理得MENF，又EFMN，所以四邊形MENF為菱形，因此|eq o(ME,sup6()|eq o(NE,sup6()|，故B正確；對于C選項，由選項B易得四邊形MENF的面積Seq f(1,2)MNEF，所以當點M，N分別為BB，DD的中點時，四邊形MENF的面積S最小，此時MNEFeq r(2)，即面積S的最小值為1；當點M，N分別與點B(或點B)，D(或D)重合時，四邊形ME

16、NF的面積S最大，此時MNeq r(3)，即面積S的最大值為eq f(r(6),2)，所以四邊形MENF的面積最小值與最大值之比為2eq r(6)，故C不正確；對于D選項，四棱錐AMENF的體積為V1VMAEFVNAEFeq f(1,3)DBSAEFeq f(1,3)eq r(2)eq f(r(2),4)eq f(1,6)；因為E，F(xiàn)分別是AA，CC的中點，所以BMDN，DNBM，于是被截面MENF平分的兩個多面體是完全相同的，則它們的體積也是相同的，因此多面體ABCDEMFN的體積V2eq f(1,2)V正方體ABCDABCDeq f(1,2)，所以四棱錐AMENF與多面體ABCDEMFN的

17、體積之比為13，故D正確13.(2022衡水中學模擬)如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球?qū)佣?，在該封閉幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為_答案eq f(4 000,27)解析小圓柱的高分為上、下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等且為5，下部分深入底部半球內(nèi)設(shè)小圓柱下部分的高為h(0h5)，底面半徑為r(0r5)由于r，h和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即r2h252，所以小圓柱體積Vr2(h5)(25h2)(h5)(0h5)，V(3h5)(h5)當0h0，體積V單調(diào)遞增；當eq f(5,3)h5時，V0，體積V單調(diào)遞減所以當heq f(5,3)時，小圓柱的體積取得最大值，即Vmaxeq