非機(jī)理模型在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用

1、關(guān)于非機(jī)理模型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用第一張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)人們對(duì)研究對(duì)象的內(nèi)在特性和各因素間的關(guān)系有比較充分的認(rèn)識(shí)時(shí)，一般用機(jī)理分析方法建立數(shù)學(xué)模型，但如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識(shí)程度的限制，無(wú)法分析實(shí)際對(duì)象的內(nèi)在的因果關(guān)系、建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么通常的辦法是搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析去建立模型。本部分將介紹概率統(tǒng)計(jì)的基本應(yīng)用描述與分析，以及用途最為廣泛的兩類數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)模型統(tǒng)計(jì)回歸模型和馬氏鏈模型。概率與統(tǒng)計(jì)思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第二張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1. 報(bào)童的訣竅問(wèn)題報(bào)童售報(bào)： a (

2、零售價(jià)) b(購(gòu)進(jìn)價(jià)) c(退回價(jià))售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c 每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？分析購(gòu)進(jìn)太多賣不完退回賠錢購(gòu)進(jìn)太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量.存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量一、 概率論在建模中的應(yīng)用第三張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的等于每天收入的期望第四張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月建模 設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份，日平均收入為 G(n)求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2準(zhǔn)備第五

3、張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求解將r視為連續(xù)變量第六張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)果解釋nP1P2取n使 a-b 售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢Orp第七張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述與分析 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是以概率論為基礎(chǔ)，從實(shí)際觀測(cè)資料出發(fā)，研究如何合理的搜集資料（數(shù)據(jù)）來(lái)對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù)、數(shù)字特征等進(jìn)行估計(jì)、分析和推斷。更具體地說(shuō)：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究從一定總體中隨機(jī)抽出一部分（稱為樣本）的某些性質(zhì)，以此對(duì)所研究總體的性質(zhì)作出推測(cè)性的判斷。具體包括：參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析及馬爾可夫鏈等。沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第八

4、張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差。進(jìn)行成批生產(chǎn)時(shí)，標(biāo)定值表示一批零件參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望，在生產(chǎn)部門無(wú)特別要求時(shí)，容差通常規(guī)定為均方差的3倍。例2. 零件的參數(shù)設(shè)計(jì)沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院背景介紹第九張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 某粒子分離器某參數(shù)由7個(gè)零件的參數(shù)決定，經(jīng)驗(yàn)公式為 y的目標(biāo)值為y0=1.5。當(dāng)y偏離y00.1時(shí)，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失1000元；當(dāng)y偏離y00.3時(shí)，產(chǎn)品為廢品，質(zhì)量損失9

5、000元。沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月表1 零件參數(shù)標(biāo)定值容許范圍及其成本標(biāo)準(zhǔn)值容許范圍C等B等A等x10.075, 0.125/25/x20.225, 0.3752050/x30.075, 0.1252050200X40.075, 0.12550100500X51.125, 1.87550/X612, 201025100 x70.5625, 0.9375/25100 零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定容許變化范圍，容差分A、 B、C三個(gè)等級(jí)，用與標(biāo)定值的相對(duì)值表示，A等為1%，B等為5%，C等為10%。7個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定的容許范圍及不同容差等級(jí)的成本見(jiàn)表1（符號(hào)“/”

6、表示無(wú)此等級(jí)的零件）。沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十一張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 考慮當(dāng)成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1000個(gè)時(shí)，如原設(shè)計(jì)7個(gè)零件參數(shù)的標(biāo)定值：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，容差均取便宜的等級(jí)。 請(qǐng)綜合考慮y偏離y0的損失和零件成本，重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差），并與原設(shè)計(jì)比較，總費(fèi)用降低多少？沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十二張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 目標(biāo)函數(shù)為總費(fèi)用，它由兩部分組成：一是零件的成本；二是由于產(chǎn)品的參數(shù)y偏離目標(biāo)值y0造成的損失。因此，原問(wèn)題可歸結(jié)為在一定約束條件下的非線性規(guī)

7、劃問(wèn)題。1、問(wèn)題的分析 由于零件在加工制造過(guò)程中存在多種隨機(jī)因素，如零件安裝的誤差，刀具的磨損，測(cè)量的誤差等等，因此，由中心極限定理知零件的參數(shù)可以看成是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。設(shè)七個(gè)零件的加工是獨(dú)立的，則七個(gè)零件的參數(shù)可視作相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，即設(shè)2、關(guān)于零件參數(shù)的假設(shè)沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十三張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3、模型的初步建立 由于產(chǎn)品的參數(shù)y為零件參數(shù)的函數(shù)，也是隨機(jī)變量，記l(y)為生產(chǎn)一件產(chǎn)品造成的損失，則l(y)是隨機(jī)函數(shù)，且可表達(dá)為： (1) 其中生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均損失費(fèi)用 (2) 沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十四張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月

8、4、模型中變量的分布及參數(shù)的求解（1） 首先估計(jì)y的分布 需要解決下面兩個(gè)問(wèn)題： 用什么分布描述y？ 估計(jì)出分布后，如何計(jì)算相應(yīng)的參數(shù)？ 可采用模擬的辦法產(chǎn)生一批X=(X1,X2,X7)的樣本，這樣就得到了y的模擬樣本，由此可以對(duì)y的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十五張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 這里采用MATLAB軟件編程進(jìn)行試驗(yàn)，然后使用histfit(y)指令根據(jù)模擬y的樣本畫出的直方圖及其正態(tài)密度的擬合。 用上面的程序計(jì)算的結(jié)果，看來(lái)本問(wèn)題將y視為正態(tài)分布是合理的。沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十六張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（2） 對(duì)所提出的y為正態(tài)分布

9、進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)及參數(shù) 的相應(yīng)估計(jì)擬合檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)y是否服從正態(tài)分布方法：皮爾遜 N(, 2)，這里和2可以由y的樣本進(jìn)行矩估計(jì)或極大似然估計(jì)， 對(duì)均值得檢驗(yàn)可直接調(diào)用ztest、ttest指令來(lái)完成，其調(diào)用格式如下：h,p,ci=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)：均方差sigma 為已知。h,p,ci=ttest(x,mu,alpha,tail)：均方差sigma為未知。沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十七張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 從結(jié)果看：p=0.8387，并不是小概率事件，且h=0，因此所提原假設(shè)（即H0: =0）成立，結(jié)果表明：Y仍為正態(tài)分布，即： 其概率密

10、度函數(shù)為： 因此，大批生產(chǎn)時(shí)平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失費(fèi)用為： (3) 沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十八張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5、模型解析表達(dá)式最終的確定產(chǎn)品總費(fèi)用零件總成本質(zhì)量損失費(fèi)用。 生產(chǎn)一批1000件產(chǎn)品總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)可寫成 設(shè)cij為第i個(gè)參數(shù)取第j個(gè)容差等級(jí)時(shí)所需成本，第1，2，3容差等級(jí)分別表示A，B，C等級(jí)。 設(shè)dij為0-1變量，如果第i個(gè)參數(shù)取第j個(gè)容差等級(jí)則取值為1，否則取值為0。 (4) 沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第十九張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月最終數(shù)學(xué)模型如下： (5) 沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第二十張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月回歸模型

11、是用統(tǒng)計(jì)分析方法建立的最常用的一類模型.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型. 不涉及回歸分析的數(shù)學(xué)原理和方法 . 通過(guò)實(shí)例討論如何選擇不同類型的模型 . 對(duì)軟件得到的結(jié)果進(jìn)行分析，對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn). 由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識(shí)程度的限制,無(wú)法分析實(shí)際對(duì)象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型. 三、 統(tǒng)計(jì)回歸模型沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第二十一張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3. 香皂的銷售量 問(wèn)題建立香皂銷售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型;預(yù)測(cè)在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的香皂銷售量. 收集了30個(gè)銷售周期本公司香皂銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其他廠家同類牙膏的平均

12、售價(jià) .9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬(wàn)塊)價(jià)格差（元）廣告費(fèi)用(百萬(wàn)元)其他廠家價(jià)格(元)本公司價(jià)格(元)銷售周期沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第二十二張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月基本模型y 公司香皂銷售量x1其他廠家與本公司價(jià)格差x2公司廣告費(fèi)用x2yx1yx1, x2解釋變量(回歸變量, 自變量) y被解釋變量（因變量） 0, 1 , 2 , 3 回歸系數(shù) 隨機(jī)誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量）沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第二十三張，PPT

13、共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月MATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱 模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 輸入 x= n4數(shù)據(jù)矩陣, 第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05) b的估計(jì)值 bintb的置信區(qū)間 r 殘差向量y-xb rintr的置信區(qū)間 Stats檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 R2,F, p,s2 yn維數(shù)據(jù)向量輸出 由數(shù)據(jù) y,x1,x2估計(jì)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F

14、=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0123沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第二十四張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定 參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0123F遠(yuǎn)超過(guò)F檢驗(yàn)的臨界值 p遠(yuǎn)小于=0.05 2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)(右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近) x2對(duì)因變量y 的影響不太顯著x22項(xiàng)顯著 可將x2保留在模型中 模型從

15、整體上看成立沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第二十五張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月銷售量預(yù)測(cè) 價(jià)格差x1=其他廠家價(jià)格x3-本公司價(jià)格x4估計(jì)x3調(diào)整x4控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬(wàn)元銷售量預(yù)測(cè)區(qū)間為 7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作庫(kù)存管理的目標(biāo)值 下限用來(lái)把握公司的現(xiàn)金流 若估計(jì)x3=3.9，設(shè)定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在 7.83203.7 29（百萬(wàn)元）以上控制x1通過(guò)x1, x2預(yù)測(cè)y(百萬(wàn)支)沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第二十六張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型改進(jìn)x1和x2對(duì)y的影響?yīng)毩?參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.

16、32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.04260123參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移

17、陣 沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第三十九張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型建立 狀態(tài)概率 馬氏鏈的基本方程正則鏈 穩(wěn)態(tài)概率分布 w 滿足 wP=w已知初始狀態(tài)，可預(yù)測(cè)第n周初庫(kù)存量Sn=i 的概率n, 狀態(tài)概率 正則鏈沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第四十張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第n周失去銷售機(jī)會(huì)的概率 n充分大時(shí) 模型求解 從長(zhǎng)期看，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性大約 10%。1. 估計(jì)失去銷售機(jī)會(huì)的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo)0.105沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院第四十一張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型求解 第n周平均售量從長(zhǎng)期看，每周的平均銷售量為 0.857(架) n充分大時(shí) 需求不超過(guò)存量,需求被售需求超過(guò)存量,存量被售思考：為什么每周的平均銷售量略小于平均需求量?2. 估計(jì)每周的平均銷售量存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo)每周平均