非機理模型在數(shù)學建模中應用

1、關(guān)于非機理模型在數(shù)學建模中的應用第一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 當人們對研究對象的內(nèi)在特性和各因素間的關(guān)系有比較充分的認識時，一般用機理分析方法建立數(shù)學模型，但如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復雜性及人們認識程度的限制，無法分析實際對象的內(nèi)在的因果關(guān)系、建立合乎機理規(guī)律的數(shù)學模型，那么通常的辦法是搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析去建立模型。本部分將介紹概率統(tǒng)計的基本應用描述與分析，以及用途最為廣泛的兩類數(shù)理統(tǒng)計隨機模型統(tǒng)計回歸模型和馬氏鏈模型。概率與統(tǒng)計思想在數(shù)學建模中的應用沈陽建筑大學 理學院第二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例1. 報童的訣竅問題報童售報： a (

2、零售價) b(購進價) c(退回價)售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c 每天購進多少份可使收入最大？分析購進太多賣不完退回賠錢購進太少不夠銷售賺錢少應根據(jù)需求確定購進量.存在一個合適的購進量一、 概率論在建模中的應用第三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月每天需求量是隨機的優(yōu)化問題的目標函數(shù)應是長期的日平均收入每天收入是隨機的等于每天收入的期望第四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月建模 設每天購進 n 份，日平均收入為 G(n)求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c調(diào)查需求量的隨機規(guī)律每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2準備第五

3、張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月求解將r視為連續(xù)變量第六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)果解釋nP1P2取n使 a-b 售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢Orp第七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月二、 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述與分析 數(shù)理統(tǒng)計學是以概率論為基礎(chǔ)，從實際觀測資料出發(fā)，研究如何合理的搜集資料（數(shù)據(jù)）來對隨機變量的分布函數(shù)、數(shù)字特征等進行估計、分析和推斷。更具體地說：數(shù)理統(tǒng)計學是研究從一定總體中隨機抽出一部分（稱為樣本）的某些性質(zhì)，以此對所研究總體的性質(zhì)作出推測性的判斷。具體包括：參數(shù)估計、假設檢驗、方差分析、回歸分析及馬爾可夫鏈等。沈陽建筑大學 理學院第八

4、張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標定值和容差。進行成批生產(chǎn)時，標定值表示一批零件參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機變量，則標定值代表期望，在生產(chǎn)部門無特別要求時，容差通常規(guī)定為均方差的3倍。例2. 零件的參數(shù)設計沈陽建筑大學 理學院背景介紹第九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 某粒子分離器某參數(shù)由7個零件的參數(shù)決定，經(jīng)驗公式為 y的目標值為y0=1.5。當y偏離y00.1時，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失1000元；當y偏離y00.3時，產(chǎn)品為廢品，質(zhì)量損失9

5、000元。沈陽建筑大學 理學院第十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月表1 零件參數(shù)標定值容許范圍及其成本標準值容許范圍C等B等A等x10.075, 0.125/25/x20.225, 0.3752050/x30.075, 0.1252050200X40.075, 0.12550100500X51.125, 1.87550/X612, 201025100 x70.5625, 0.9375/25100 零件參數(shù)的標定值有一定容許變化范圍，容差分A、 B、C三個等級，用與標定值的相對值表示，A等為1%，B等為5%，C等為10%。7個零件參數(shù)標定的容許范圍及不同容差等級的成本見表1（符號“/”

6、表示無此等級的零件）。沈陽建筑大學 理學院第十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 考慮當成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1000個時，如原設計7個零件參數(shù)的標定值：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，容差均取便宜的等級。 請綜合考慮y偏離y0的損失和零件成本，重新設計零件參數(shù)（包括標定值和容差），并與原設計比較，總費用降低多少？沈陽建筑大學 理學院第十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 目標函數(shù)為總費用，它由兩部分組成：一是零件的成本；二是由于產(chǎn)品的參數(shù)y偏離目標值y0造成的損失。因此，原問題可歸結(jié)為在一定約束條件下的非線性規(guī)

7、劃問題。1、問題的分析 由于零件在加工制造過程中存在多種隨機因素，如零件安裝的誤差，刀具的磨損，測量的誤差等等，因此，由中心極限定理知零件的參數(shù)可以看成是服從正態(tài)分布的隨機變量。設七個零件的加工是獨立的，則七個零件的參數(shù)可視作相互獨立的正態(tài)隨機變量，即設2、關(guān)于零件參數(shù)的假設沈陽建筑大學 理學院第十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月3、模型的初步建立 由于產(chǎn)品的參數(shù)y為零件參數(shù)的函數(shù)，也是隨機變量，記l(y)為生產(chǎn)一件產(chǎn)品造成的損失，則l(y)是隨機函數(shù)，且可表達為： (1) 其中生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均損失費用 (2) 沈陽建筑大學 理學院第十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月

8、4、模型中變量的分布及參數(shù)的求解（1） 首先估計y的分布 需要解決下面兩個問題： 用什么分布描述y？ 估計出分布后，如何計算相應的參數(shù)？ 可采用模擬的辦法產(chǎn)生一批X=(X1,X2,X7)的樣本，這樣就得到了y的模擬樣本，由此可以對y的分布進行統(tǒng)計分析。沈陽建筑大學 理學院第十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 這里采用MATLAB軟件編程進行試驗，然后使用histfit(y)指令根據(jù)模擬y的樣本畫出的直方圖及其正態(tài)密度的擬合。 用上面的程序計算的結(jié)果，看來本問題將y視為正態(tài)分布是合理的。沈陽建筑大學 理學院第十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月（2） 對所提出的y為正態(tài)分布

9、進行假設檢驗及參數(shù) 的相應估計擬合檢驗法來檢驗y是否服從正態(tài)分布方法：皮爾遜 N(, 2)，這里和2可以由y的樣本進行矩估計或極大似然估計， 對均值得檢驗可直接調(diào)用ztest、ttest指令來完成，其調(diào)用格式如下：h,p,ci=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)：均方差sigma 為已知。h,p,ci=ttest(x,mu,alpha,tail)：均方差sigma為未知。沈陽建筑大學 理學院第十七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 從結(jié)果看：p=0.8387，并不是小概率事件，且h=0，因此所提原假設（即H0: =0）成立，結(jié)果表明：Y仍為正態(tài)分布，即： 其概率密

10、度函數(shù)為： 因此，大批生產(chǎn)時平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失費用為： (3) 沈陽建筑大學 理學院第十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月5、模型解析表達式最終的確定產(chǎn)品總費用零件總成本質(zhì)量損失費用。 生產(chǎn)一批1000件產(chǎn)品總費用的目標函數(shù)可寫成 設cij為第i個參數(shù)取第j個容差等級時所需成本，第1，2，3容差等級分別表示A，B，C等級。 設dij為0-1變量，如果第i個參數(shù)取第j個容差等級則取值為1，否則取值為0。 (4) 沈陽建筑大學 理學院第十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月最終數(shù)學模型如下： (5) 沈陽建筑大學 理學院第二十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月回歸模型

11、是用統(tǒng)計分析方法建立的最常用的一類模型.通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型. 不涉及回歸分析的數(shù)學原理和方法 . 通過實例討論如何選擇不同類型的模型 . 對軟件得到的結(jié)果進行分析，對模型進行改進. 由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復雜及人們認識程度的限制,無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)律的數(shù)學模型. 三、 統(tǒng)計回歸模型沈陽建筑大學 理學院第二十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 香皂的銷售量 問題建立香皂銷售量與價格、廣告投入之間的模型;預測在不同價格和廣告費用下的香皂銷售量. 收集了30個銷售周期本公司香皂銷售量、價格、廣告費用，及同期其他廠家同類牙膏的平均

12、售價 .9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬塊)價格差（元）廣告費用(百萬元)其他廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期沈陽建筑大學 理學院第二十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月基本模型y 公司香皂銷售量x1其他廠家與本公司價格差x2公司廣告費用x2yx1yx1, x2解釋變量(回歸變量, 自變量) y被解釋變量（因變量） 0, 1 , 2 , 3 回歸系數(shù) 隨機誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機變量）沈陽建筑大學 理學院第二十三張，PPT

13、共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月MATLAB 統(tǒng)計工具箱 模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 輸入 x= n4數(shù)據(jù)矩陣, 第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05) b的估計值 bintb的置信區(qū)間 r 殘差向量y-xb rintr的置信區(qū)間 Stats檢驗統(tǒng)計量 R2,F, p,s2 yn維數(shù)據(jù)向量輸出 由數(shù)據(jù) y,x1,x2估計參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F

14、=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0123沈陽建筑大學 理學院第二十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定 參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0123F遠超過F檢驗的臨界值 p遠小于=0.05 2的置信區(qū)間包含零點(右端點距零點很近) x2對因變量y 的影響不太顯著x22項顯著 可將x2保留在模型中 模型從

15、整體上看成立沈陽建筑大學 理學院第二十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月銷售量預測 價格差x1=其他廠家價格x3-本公司價格x4估計x3調(diào)整x4控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=6.5百萬元銷售量預測區(qū)間為 7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作庫存管理的目標值 下限用來把握公司的現(xiàn)金流 若估計x3=3.9，設定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在 7.83203.7 29（百萬元）以上控制x1通過x1, x2預測y(百萬支)沈陽建筑大學 理學院第二十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月模型改進x1和x2對y的影響獨立 參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.

16、32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.04260123參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移

17、陣 沈陽建筑大學 理學院第三十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月模型建立 狀態(tài)概率 馬氏鏈的基本方程正則鏈 穩(wěn)態(tài)概率分布 w 滿足 wP=w已知初始狀態(tài)，可預測第n周初庫存量Sn=i 的概率n, 狀態(tài)概率 正則鏈沈陽建筑大學 理學院第四十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第n周失去銷售機會的概率 n充分大時 模型求解 從長期看，失去銷售機會的可能性大約 10%。1. 估計失去銷售機會的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019存貯策略的評價指標0.105沈陽建筑大學 理學院第四十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月模型求解 第n周平均售量從長期看，每周的平均銷售量為 0.857(架) n充分大時 需求不超過存量,需求被售需求超過存量,存量被售思考：為什么每周的平均銷售量略小于平均需求量?2. 估計每周的平均銷售量存貯策略的評價指標每周平均