小學(xué)數(shù)學(xué)新課程教材分析 - PowerPoint Presentation

1、1小教大專部湖南第一師范學(xué)院 謝立紅小學(xué)數(shù)學(xué)新課程教材分析數(shù)學(xué)教材分析的意義、目的和依據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的內(nèi)容和要求小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的基本步驟和方法我們應(yīng)該如何面對教材中美數(shù)學(xué)教學(xué)差異一瞥什么是教材教材分析的意義 教材分析的目的 小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的依據(jù) 一、數(shù)學(xué)教材分析的意義、目的及依據(jù)廣義的教材：具有特定結(jié)構(gòu)，供學(xué)生和教師閱 讀、視聽或借以操作的材料，是 幫助教師和學(xué)生認(rèn)識世界、獲得 發(fā)展的一種媒體。它包括教科書 （含電子教科書）、教學(xué)掛圖、 圖冊，以及配套的音像制品、計 算機(jī)輔助教學(xué)軟件、教學(xué)參考和 教學(xué)輔導(dǎo)信息。狹義的教材：教科書，即課本。什么是教材是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計、編寫教案、制定教學(xué)

2、計劃的基礎(chǔ)。是教師備好課、上好課、達(dá)到預(yù)期教學(xué)目的的前提。是改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、發(fā)展學(xué)生智力的關(guān)鍵。教材分析的意義是教師不斷提高業(yè)務(wù)素質(zhì)、加深對教育理論理解的必由之路。是教師熟悉教材、把握教材、逐步達(dá)到駕馭教材的重要途徑。 教材分析的意義教材分析的目的深入理解教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，進(jìn)行知識的信息轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)知識由靜態(tài)結(jié)果向動態(tài)過程的轉(zhuǎn)變。將教學(xué)知識點(diǎn)放到教材乃至數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中去認(rèn)識，進(jìn)行全方位、多角度的分析研究，認(rèn)清各類知識的來龍去脈與縱橫聯(lián)系，以達(dá)到教學(xué)系統(tǒng)整體優(yōu)化。教材分析的目的挖掘教材中的思想、方法和能力等隱蔽因素，以便在教學(xué)設(shè)計時進(jìn)行充分考慮，并在教學(xué)過程中能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展、培養(yǎng)學(xué)生的能力

3、。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識體系 小學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和認(rèn)識規(guī)律 小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的依據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的內(nèi)容小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的要求二、小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的內(nèi)容和要求分析教材的編排體系和知識間的內(nèi)在聯(lián)系分析教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵分析教材中的習(xí)題分析教材如何體現(xiàn)課程目標(biāo)分析教材中滲透的數(shù)學(xué)思想方法分析教材的德育、美育等教育因素 小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的內(nèi)容從整體上把握各類知識在小學(xué)教材中的分布，認(rèn)清各類知識的來龍去脈與縱橫聯(lián)系，以及它們在整個小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位作用。對同一類知識來說，要充分認(rèn)識到所要教的那部分內(nèi)容，其知識基礎(chǔ)是什么，為哪些后續(xù)知識學(xué)習(xí)作鋪墊。通常以知識結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)分析的結(jié)果。 分析教材的編排

4、體系和知識間的內(nèi)在聯(lián)系分析教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵分析教材的重點(diǎn)重點(diǎn)是指貫穿全局，帶動全部，承上啟下，在教材體系或課題結(jié)構(gòu)中處于重要地位的內(nèi)容；對學(xué)生終身發(fā)展有基礎(chǔ)作用或有廣泛運(yùn)用的內(nèi)容；有較高教育價值的內(nèi)容。通常教材中的定義、定理、公式、法則、數(shù)學(xué)思想方法、基本技能訓(xùn)練等，都是教學(xué)重點(diǎn)。分析教材的難點(diǎn)難點(diǎn)是指學(xué)生接受起來比較困難的知識或難于形成的技能，往往是由于學(xué)生的認(rèn)知能力、接受水平與新舊知識之間的矛盾造成的，也可能是學(xué)習(xí)新知識時對舊知識掌握不牢固造成的。難點(diǎn)的產(chǎn)生有多方面的因素，一般地，知識過于抽象，知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，概念的本質(zhì)屬性比較隱蔽等都是產(chǎn)生難點(diǎn)的因素。分析教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)和

5、關(guān)鍵分析教材的關(guān)鍵關(guān)鍵是指那些對學(xué)生順利理解知識、掌握技能起著決定性作用的內(nèi)容。關(guān)鍵在攻克難點(diǎn)、突出重點(diǎn)過程中往往具有突破口的功能。分析教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵分析習(xí)題配備的目的性、層次性 弄清每道習(xí)題的安排意圖和作用，以及相關(guān)習(xí)題之間由易到難、由淺入深的“序”。分析哪些是鞏固概念和法則的基本題，哪些是促進(jìn)理解、應(yīng)用的變式題，哪些是復(fù)習(xí)已學(xué)內(nèi)容的鞏固題，哪些是需要用到幾方面知識的綜合題，哪些是引申、深化知識的思考題。 分析習(xí)題蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法及其拓展空間。分析習(xí)題形式特點(diǎn)與學(xué)生解題特點(diǎn)。分析教材中的習(xí)題人教版四下位置與方向練習(xí)人教版四下位置與方向練習(xí)人教版四下位置與方向練習(xí)分析從習(xí)題配備的目的

6、性、層次性分析： 對照教材容易看出，前兩題是配合例1的練習(xí)，后兩題是配合例2的練習(xí)； 第1題只要學(xué)生在地圖上確定方向（可適當(dāng)進(jìn)行愛國主義教育）； 第2題則要求學(xué)生利用方向和距離描述建筑物的位置。 第3、4題都是根據(jù)方向和距離在圖上繪出位置，其中第3題只要標(biāo)出一口油井的位置，第4題要在一幅圖上標(biāo)出四個場所的位置。 人教版四下位置與方向練習(xí)分析從習(xí)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法分析： 用有序數(shù)對和用方向、距離兩個條件確定物體在平面上的位置都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，但用方向和距離確定位置滲透的是平面極坐標(biāo)思想方法。 在極坐標(biāo)系中，用兩個坐標(biāo)參數(shù)（，）也可以表示平面上任意一點(diǎn) M 的位置。 另外，在畫線段長表示距

7、離時，還滲透了比例尺知識。 人教版四下位置與方向練習(xí)分析從習(xí)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)拓展空間分析： 第1題可以讓學(xué)生量一量、說一說北京、上海等地在本省省會（或直轄市）的什么方向上； 第2題也可以改變觀測點(diǎn)； 第3題可以改變油井的方向和距離再標(biāo)出位置； 第4題可以補(bǔ)充：學(xué)校在電視塔的南偏東45方向1千米處；文化廣場在學(xué)校的什么方向上？你發(fā)現(xiàn)了什么？（文化廣場在學(xué)校的正北方向上，文化廣場與學(xué)校在一條直線上，它們到電視塔正東方向線的距離相等） 人教版四下位置與方向練習(xí)分析從習(xí)題形式特點(diǎn)和學(xué)生解題特點(diǎn)分析： 4道習(xí)題都要動手操作，使用量角器量角或畫角。由于圖上距離較短，常常需要引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)延長方向線，以便從量角器

8、上讀出刻度。 可以設(shè)計問題啟發(fā)學(xué)生思考，為什么兩邊可以延長？ （由角的兩邊規(guī)定為射線的合理性，在初次出現(xiàn)角的定義時，是很難解釋的） 當(dāng)量角或畫角需要延長時，就容易體會了，從中還能幫助學(xué)生理解角的大小與邊的長短無關(guān)。分析教材如何體現(xiàn)課程目標(biāo)分析本節(jié)內(nèi)容是通過學(xué)生經(jīng)歷哪些數(shù)學(xué)活動，獲得怎樣的經(jīng)驗，重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的是數(shù)感、符號意識、空間觀念、統(tǒng)計觀念、應(yīng)用意識還是推理能力。滲透是把思想方法融入到有關(guān)的教材內(nèi)容中去，它是一種高水平的深入淺出?，F(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材滲透了集合思想、對應(yīng)思想、函數(shù)思想、統(tǒng)計思想和極限思想等。分析教材一定要推敲在什么地方滲透了什么數(shù)學(xué)思想方法。分析教材中滲透的數(shù)學(xué)思想方法整套人教版

9、教材中“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)內(nèi)容整理學(xué)段冊數(shù)單元內(nèi)容數(shù)學(xué)思想方法第一學(xué) 段一年級上冊第五單元分類比較和分類思想方法一年級下冊第八單元找規(guī)律符號化思想方法二年級上冊第八單元簡單的排列組合邏輯推理排列組合思想方法邏輯推理思想方法二年級下冊第九單元找規(guī)律排列、推理三年級上冊第九單元排列組合排列組合思想方法三年級下冊第九單元重疊問題 等量代換集合的思想方法等量代換思想第二學(xué)段四年級上冊第七單元烙餅問題排隊論田忌賽馬運(yùn)籌思想、對策方論、優(yōu)化思想四年級下冊第八單元植樹問題植樹問題的思想方法化歸的思想方法五年級上冊第七單元數(shù)字編碼數(shù)字編碼思想五年級下冊第七單元找次品優(yōu)化思想方法六年級上冊第七單元雞兔同籠問題假設(shè)法

10、思想方法六年級下冊第五單元抽屜原理抽屜原理小學(xué)階段主要的可滲透數(shù)學(xué)思想方法分布表冊數(shù)單元內(nèi)容可滲透的數(shù)學(xué)思想方法五 年級上冊一、小數(shù)乘法例1例2例3例4例7例8轉(zhuǎn)化、對應(yīng)、對比、有序、比較、函數(shù)思想二、小數(shù)除法例1例4例7例9例11轉(zhuǎn)化、極限、對比、有序、化歸、函數(shù)思想三、觀察物體正面、側(cè)面、上面、練習(xí)有序、對應(yīng)四、簡易方程例題量一量、找規(guī)律符號化、等量代換、函數(shù)思想統(tǒng)計、歸納、函數(shù)、極限五、多邊行的面積平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、 組合圖形的面積轉(zhuǎn)化、符號化、對應(yīng)六、統(tǒng)計與可能性統(tǒng)計可能性分類、統(tǒng)計概率思想、排列組合七、數(shù)學(xué)廣角例1例4數(shù)字編碼思想 五 年 級 下冊一、圖形的

11、變換軸對稱圖形、旋轉(zhuǎn)有序、對應(yīng)、建模二、因數(shù)與倍數(shù)因數(shù)與倍數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)建模、比較、數(shù)形結(jié)合符號化、極限、分類三、長方體和正方體特征認(rèn)識、表面積和體積建模、比較、數(shù)形結(jié)合、符號化四、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)分?jǐn)?shù)的意義真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù) 約分和通分分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)建模、集合、整體建模、集合、比較、數(shù)形結(jié)合化歸五、分?jǐn)?shù)的加法和減法加法和減法建模、轉(zhuǎn)化六、統(tǒng)計打電話例1例2分類、統(tǒng)計優(yōu)化數(shù)學(xué)思想七、數(shù)學(xué)廣角找次品例1例2歸納優(yōu)化數(shù)學(xué)思想認(rèn)真分析充分挖掘分析教材的德育、美育等教育因素小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的基本步驟小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的方法三、小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的基本步驟和方法小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的基本步驟教材結(jié)構(gòu)分析基本步驟借鑒參

12、考資料分析教材內(nèi)容研讀課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)內(nèi)容分析教材習(xí)題分析研讀課程標(biāo)準(zhǔn)領(lǐng)會數(shù)學(xué)課程改革的基本理念和課程實(shí)施建議的主要精神。 了解課程總目標(biāo)和每一學(xué)段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，特別要理解描述學(xué)習(xí)結(jié)果、過程各用語的含義。 明確課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于某一知識的學(xué)習(xí)目標(biāo)。 教材結(jié)構(gòu)分析數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵 數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu) “認(rèn)識時間” 感性材料引入 主題圖（情景圖） 概念 認(rèn)識鐘面刻度（時、分的概念） 定理、公式或法則 時與分的關(guān)系 應(yīng)用 讀鐘面上所表示的時刻、記時 認(rèn)識時間課例分析數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu) “認(rèn)識時間” 觀察(操作) 觀察鐘面，一共有幾個大格？ 每個大格分成幾個小格？ 歸納 分針走1小格的時間是1分， 時

13、針走1大格的時間是1時 應(yīng)用 若干例應(yīng)用 認(rèn)識時間課例分析 數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu) “比例的意義” 舊知引入 復(fù)習(xí)什么是比？求比值 例題 例題 結(jié)論(概念、性質(zhì)或法則) 比例的概念 應(yīng)用 判斷兩個比能否組成比例 比例的意義課例分析 數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu) “比例的意義” 復(fù)習(xí) 什么是比？求比值 思考與探索 這兩個比的比值各是多少？ 它們之間有何關(guān)系？ 引出結(jié)論(概念或法則) 比例的意義 應(yīng)用 判斷兩個比能否組成比例 比例的意義課例分析教學(xué)內(nèi)容分析（包含概念、法則、公式、性質(zhì)等）教學(xué)內(nèi)容 隱形的數(shù)學(xué)思想方法線索（蘊(yùn)涵、滲透在知識體系中）有形的知識線索 線明暗 線教學(xué)內(nèi)容分析的方法以某一知識為起點(diǎn)，順向往后，有如“綜

14、合法”，明確“啟后”。即理清由此往后相關(guān)知識的頭緒。以某一知識為終點(diǎn)，逆向往前，有如“分析法”，找出前面相關(guān)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系。 課例-表內(nèi)乘法承前知識：100以內(nèi)的加法、減法啟后知識：表內(nèi)除法、有余數(shù)除法 四、我們應(yīng)該如何面對教材以對應(yīng)思想理解教材以集合思想研究教材以質(zhì)疑思想審視教材以轉(zhuǎn)化思想處理教材 數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)活動數(shù)學(xué)目標(biāo) 以對應(yīng)思想理解教材理解教學(xué)目標(biāo)理解呈現(xiàn)方式理解情景創(chuàng)設(shè)理解素材選取 以對應(yīng)思想理解教材都需要和課標(biāo)相對應(yīng) 案例-可能性歸入某類數(shù)學(xué)思想方法的集合歸入某類知識版塊的集合歸入某類活動方式的集合歸入某類學(xué)習(xí)形式的集合歸入某類能力培養(yǎng)的集合以集合思想研究教

15、材課例-圓柱的體積 歸入數(shù)學(xué)思想方法集合： 類比；轉(zhuǎn)化；極限。 歸入知識版塊集合： 規(guī)則；圖形與幾何；體積； 立體圖形 歸入活動方式集合： 動手操作、合作交流 歸入學(xué)習(xí)形式集合： 并列學(xué)習(xí)；發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí) 歸入能力培養(yǎng)集合 空間觀念；推理能力質(zhì)疑教材促使我們改進(jìn)教學(xué)設(shè)計質(zhì)疑教材促使我們領(lǐng)悟課標(biāo)理念質(zhì)疑教材促使我們開闊研究視野質(zhì)疑教材促使我們反思數(shù)學(xué)本質(zhì)以質(zhì)疑思想審視教材質(zhì)疑教材促使我們改進(jìn)教學(xué)設(shè)計質(zhì)疑教材促使我們領(lǐng)悟課標(biāo)理念質(zhì)疑教材促使我們開闊研究視野質(zhì)疑教材促使我們反思數(shù)學(xué)本質(zhì)“方程”讓我百思不得其解！“左右”讓我左右為難！“左右”讓我左右為難！ 1如何把握左右的相對性的教學(xué)要求？ 考慮到左右的相

16、對性認(rèn)識的難度，教材只是通過游戲和活動讓學(xué)生初步 感知體會，沒有安排脫離操作判斷左右相對性的習(xí)題。教學(xué)時，也應(yīng)該 根據(jù)一年級學(xué)生的年齡特點(diǎn)，組織適宜的活動。如兩個同學(xué)面對面，老 師發(fā)口令：拍拍自己的左（右）肩，拍拍對面同學(xué)的左（右）肩學(xué) 生按口令活動，讓學(xué)生在活動中體會左右的相對性。所以這部分內(nèi)容不 宜作書面考試。 據(jù)了解，學(xué)生剛?cè)胄W(xué)就要學(xué)習(xí)做操，而讓小朋友分清左右的相對性是體育老師的首要任務(wù)?！白笥摇弊屛易笥覟殡y！ 當(dāng)問及的問題涉及到人或動物身體的左右時，一般以人或動物為標(biāo)準(zhǔn) 1.在練習(xí)中如何判斷左右的相對性？ （1）觀察的對象是無生命的物體，一般確定左右的標(biāo)準(zhǔn)是觀察者。（2）觀察的對象是

17、人或動物，有兩種情況。 他（右）手拿著計算器。 小貓?zhí)У氖牵ㄗ螅┳Α?當(dāng)問及的問題不涉及到人或動物身體的左右時，以誰為標(biāo)準(zhǔn)皆可。 女孩的左邊是誰？ 小狗的右邊是誰？ 以上左圖為例：若以觀察者為標(biāo)準(zhǔn)，女孩的左邊就是奶奶； 若以女孩為標(biāo)準(zhǔn)，女孩的左邊就是爺爺?！胺匠獭弊屛野偎疾坏闷浣?！課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗稿）： 理解等式的性質(zhì)，會用等式的性質(zhì)解簡單的方程（如 ， )課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗修訂稿）： 能解簡單的方程（如 ， )教學(xué)方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化類比思想學(xué)習(xí)方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化逆向思維以轉(zhuǎn)化思想處理教材 案例-角的度量 用活動角比較兩個角的大小 大多少用小角來量用小角來量將小角聯(lián)起來得半圓形 將小角分得更小，引出10的概念刻

18、度線太繁，看不清楚將刻度線簡化讀數(shù)不方便標(biāo)上刻度 隨著角的方向變化讀數(shù)變得不方便標(biāo)上另一圈刻度（量角器由學(xué)生創(chuàng)造完成）小角無法量出更精確大小小角分散不方便拿 在教材的設(shè)計中，長度面積體積都有先用基準(zhǔn)量來量進(jìn)行大小比較，然后再統(tǒng)一基準(zhǔn)單位的過程。 而在角的度量這一節(jié)的教材設(shè)計中，將統(tǒng)一基準(zhǔn)單位的過程省略了，而是直接出示了量角器。 當(dāng)江蘇的強(qiáng)震球老師通過類比發(fā)現(xiàn)了這個方面的不同之后，將這節(jié)課的設(shè)計直接進(jìn)行了轉(zhuǎn)化。案例分析 案例-平行四邊形的面積 求出所有這些平行四邊形的面積 學(xué)生有90%是用兩鄰邊的積來求平行四邊形面積 課堂“生成”問題老師通過拉動平行四邊形至極端情況，引導(dǎo)學(xué)生反思辨析學(xué)生感覺平行

19、四邊形的面積算大了 學(xué)生探索平行四邊形的面積公式判斷以上圖形哪些是平行四邊形案例分析 因為平行四邊形的面積公式處于長方形面積公式的上位，通常采用順應(yīng)的學(xué)習(xí)形式，所以書上采用了實(shí)驗歸納發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方法。 但是岳陽的高遠(yuǎn)望老師大膽進(jìn)行了創(chuàng)新，他通過逆向思考，讓學(xué)生先算長方形和正方形的面積，再算平行四邊形的面積，學(xué)生幾乎都采用了同化方式，結(jié)果當(dāng)然是錯誤的。老師緊緊抓住由于轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)方式而得到的課堂“生成”，逐步引導(dǎo)學(xué)生反思、辨析與探索。五、中美數(shù)學(xué)教學(xué)差異一瞥一個故事兩個設(shè)計幾個練習(xí)一道數(shù)學(xué)題 2007年第9期青年博覽刊登了王悅的一道數(shù)學(xué)題一文。文章介紹了作者在美國的一次經(jīng)歷。 一個周末上午，作者突然接

20、到一個陌生女孩打來的 。這個女孩名叫珍妮，正上小學(xué)五年級。原來是她的數(shù)學(xué)老師布置了一道周末作業(yè)：向三位陌生人講解一道數(shù)學(xué)題。作者開玩笑地對珍妮說：“好的，但我數(shù)學(xué)很糟糕，不一定能聽得懂啊?！闭淠輩s當(dāng)真了，誠懇地說：“請讓我試一試，如果第一次不行，我還可以嘗試別的講法。即使您最后還是不明白也沒關(guān)系，您就把這當(dāng)成一次有趣的經(jīng)歷好了！”看來她事先早就準(zhǔn)備好臺詞來應(yīng)對各種情況，這顯然也是作業(yè)的一部分。征得作者同意后，珍妮開始一板一眼地講起課來。這是一道類似“雞兔同籠”的應(yīng)用題，只是她用的是在超市買飲料的例子，聽起來跟日常生活更接近。在她講解的過程中，作者故作聽不懂，問了好幾個問題。珍妮非常耐心，回答得

21、也不錯，看樣子早有準(zhǔn)備。最后作者說聽懂了，問她怎么向老師證明作業(yè)完成了。她說：“我要寫一個報告，詳細(xì)記錄我給每個人打 的過程。結(jié)束之前，我還要問您一個問題，您對我的講解滿意嗎？您認(rèn)為我有哪些地方需要改進(jìn)？”描述邁克的錯誤之處，然后正確地解決這一問題。求解94=？思考:104=40， 40-9=31. 因此，94=31。美國三年級教材是將9、10的乘法放在一起學(xué)，因此在呈現(xiàn)9的乘法時，是與10的乘法相聯(lián)系的。教材首先提出了這樣一個問題：“林恩的班級制作了7張動物海報。學(xué)生們在每張海報上畫了9個動物。他們一共畫了幾個動物？79=？林恩和杰夫用不同的方法來求79的答案?！痹诮鉀Q這個問題時，教材以作業(yè)紙的形式分別呈現(xiàn)了林恩和杰夫的計算方法，林恩是利