《線性代數(shù)》(陳維新)習題答案(第5章)

1、第五章特征值和特征向量矩陣對角化習題511.解：（A丿設(shè)1Q,B=2,因為秩（4）二秩（）所以人與B等價，但是由02nt1-_04于trA與trB不相等，所以A與B不相似.因此（A）不正確.4與3相似，即冇在可逆矩陣P使得P-1AP=B,所以秩（4）二秩（），因此4與3等價.（E丿是正確的.ri010（C）與（A丿一樣，設(shè)4=,B=2，秩（4）二秩（B）,但是由于世4與tL02,ain=(2-an)(2-a21)-(A-ann),002d“證因為A的主對角線上元素互異，所以4有門個互異的特征值.因此A能與對角矩陣相似.4設(shè)A為“階方陣，證明M與人7有相同的特征多項式。證A7的特征多項式為AE-

2、Ar|=|（征廠-A）T=（AE-A）T=AE-A,而AE-A是A的特征多項式，所以A與A有相同的特征多項式.*5.設(shè)盤,金分別是方陣A的屬于琉，入的特征向量，若琉工入，證明：奇+長不可能是A的特征向屋.證（反證）假設(shè)玄+菟是A的屬于特征值兄的特征向量，則有4（盤+竟）=2（盤+益），又因為盤屋分別是A的屬于&,入的特征向量，所以有A=l9A=2.又因為+，由此可知話嚴入7=站嚴人,即有（2-琉）血+（2-入疋2=0,因為入M，所以-入）和億一入）不全為零，這表明盤g線性和關(guān)，這與屬J：不同特征值的特征向最必線性無關(guān)矛盾！所以假設(shè)不成立，即有玄+&不是A的特征向量.6*.已知3階矩陣A的特征值

3、為1,2,2,且A不能與對角矩陣相似，則秩（民4尸；秩（2E-A尸,并說明理由.解因為1是A的一重根，所以（E-A丿X的基礎(chǔ)解系含有1個向量，因此3-秩（E-A尸1,從而可知秩（E-A尸2.又因為2是A的二重根，所以（2&4必二0的基礎(chǔ)解系含有向量的個數(shù)為1或2,由J：A不能與對角矩陣相似，則可知A的線性無關(guān)的特征值個數(shù)小于3,所以（2E-A）X=0的基礎(chǔ)解系含有向龜?shù)膫€數(shù)只能為1,故有3-秩（2E-A尸1,所以秩（2E-A尸2.0D17.已知4=X12x-3能與對角矩陣相似,求兒10020-1A-1-1A解|征-A|=-XA-l3-2x=U-1)=（乂一1）2+1）,4的特征值為-102-1

4、,1,1.因為A與對角矩陣相似，所以耍求特征根的重數(shù)厲與（E-A）X=0的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)3相等.-1是一重根所以一定滿足，要2重特征值1滿足，也就是要（E-A）X=0的基礎(chǔ)解系含有2個向量,由此可知秩（EA尸2,因此秩（E_A尸1.10-110-1E-A=X0-2x+3R尹叭00-3x+3R、F一101000(E-A尸1,從而所求x=l.所以當且僅當x=l時秩習題5.3200_20O-1.設(shè)矩陣A=001與矩陣B=0y1相似.01xOO-l求x9y解因為矩陣4與矩陣3相似，所以trA=trB,2+x=2+y+1,得x=O=l2設(shè)iiir100011110000,B=11110000iii

5、i00004=則卜述結(jié)論正確的是(),且說明理由.(A)A與B等價，且A與B相似.(E)A與B等價，但人與B不相似.(C丿A與B不等價，且A與B不相似.(D/A與B不等價，但A與B相似.解因為秩二1二秩(B),所以A與B等價.又因為WA二4衛(wèi)3=1,即有trA/trB，所以A與B不相似.綜上可知(E)是正確的，故應選填E.3.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,求(1)矩陣A2+A-2E的特征值；IA2+A-2EI.解(1)取f(x)=x2+x-2t則斤+4-2E=/(A),所以/(A)=A2+A-2E的特征值為/(-I)=2J(1)=0J(2)=2.(2)IA2+A-2El=/(-l)/(

6、l)/(2)=2x0 x2=0.4.設(shè)3階方陣4的行列式丨AI=-2,A*有一個特征值為6,則人一1必有一個特征值為_；4必有一個特征值為；5A-1-3A*必有一個特征值為；A(E+A)必有一個特征值為:5/T1-34必有一個特征值為以上各項均要求寫出計算過程.解由AA=AE可得Al=-AA*有一個特征值為6,所以必有一個特征值為x6=_3.2(2)A=(Ai)-,所以4必有一個特征值為-=335A-1-3A*=5x(-1A*)-3A*=-yA*,所以必有一個特征值為11*x6=332(4丿取f(X)=X1+x,則A(E+A)=A1+A=f(A),因A有一個特征值為一壬，所以1119f(A)必

7、有一個特征值為/(-)=(-)2-=-(5)5獷_34=5宀3(獷尸,所以必有_個特征值為5x(-3)-3x(-3)-1=-14.1-225.設(shè)心-2-2424-2(1)計算Ak(kl)；(2)求A3+3A2-24A+2SE.2-12-2解AE-A=22+2-4=才+3才一242+28=(22)1+7),所以-2-4久+2特征值為2,2,-7.1-22求解方程組(2E-2-24)X=0,得到屬J：2的線性無關(guān)的特征向量為24-2治2,0,lf,=-2,1,Of.-22求解方程組(-1E-2-24)X=0,得到屬于-7的線性無關(guān)的特征向量4-2為鉀匕，-1，1玄,盤，靈線性無關(guān)，故4能對角化.取

8、P=盒則卩為可逆矩陣，且2PlAP=2仝A.求得A=P3,從而/V=(PAPT)“=PApT-72-2r22-2r2Ak=01-12k01-1101(-7)1012州3+(_7嚴一2“+2(-7)2曲一2(7)*=-2a+1+2(-7)a5-2;+1+4(-7/2曲一4(7)*.2”1一2(-7)A2k+1-4(7)*5-2I+1+4(7)*(2)取/(x)=x3+3x2-24x+28,則中+3A2-24A+2SE=f(A)的特征值為/(2=)0,/(2=)0,/(-7)=0,所以A3+3A2-24A+28E=POP-1=0.6.設(shè)階方陣A的n個特征值為1,2,，n,求IA+EI.解方陣A的個

9、特征值為1,2,，所以A+E的特征值為2,3,M,/2+l.所以IA+El=(n+1)!.8.已知3階方陣A的特征值為0,1,2,所對應的特征向量分別為1,1,1,1,of,1,o,or求(1)A*，其中R為任意正整數(shù)；(2)卜+4，44+2沖；(3丿人+4,-44+2E.分析本題與第5題類似，故解法相同，卜而僅列出簡要解答.解(1)由方陣A的特征值為0,1,2,所對應的特征向量分別為1,1,if,-11,1,1，0,0可知4=-i-i取f(x)=x0101A的特征值為0,為1001-2-11-100-i11111f(A)=A5+A2-4A+2E的特征值/(0)=2J(l)=0J(2)=6Cl

10、51-c-1b0-aI牛-1A*有一個特征值入，屬于入的特征向量為一1,if,求Me和入的優(yōu)W+，一羽+2E|=f(0)f(l)f(2)=011r-1，2111r6-621100110=002100100002(3)A3+A2-4A+2E=解由題設(shè)知，4?=入,兩邊左乘4,利用AA9.設(shè)矩陣=AE=-E可得：始=一丄？即有A)a5l-c-1b03-1,-1,I7=-1,-1,if.由此可得4-a-a+l+c=丄,-5-b+3=丄,入.1c-l-a=.入，利用和可知2=2丄，從而得到入=1,由此可得c=a；再根據(jù)|A|=-1,可得A=a-3=-l,即有o=2.綜上可得a=2，b=3,c=2，兔=

11、110設(shè)A為階方陣，證明：|A|=0O零是A的一個特征值.證二|A|=0所以|0-A|=0,因此零是A的一個特征值.U零是A的一個特征值,所以|0E-A|=0即有|A|=0.11設(shè)階上三角矩陣a23ClCl000若AaE,則A不能與對角矩陣相似.證AE-A=3aLn_。23amA-CI一6”0久一d0=所以。是人的“重根.如果A能與對角矩陣和似，則必有(aE-A)X=O的皋礎(chǔ)解系含有個向量，即川秩(aE-A尸兒也就是秩(aE-A尸0,從而得到此時aE-A=O,即A=aE，這與條件AaE矛盾！所以A不能與燉角矩陣相似.12.設(shè)畀階方陣A滿足A1+4A+4E=O,證明M的特征值僅為2證設(shè)兄為A的任

12、意一個特征值，？是A的屬于2的特征向量，則有A=,所以(中+44+4)=2甘+4/+4?=0=0,由g工O可得尤+42+4=(2+2)，=0,即得幾二一2,所以A的特征值僅為2的特征向最為1,1,1,-if.值為0,4,9習題54*1.證明：設(shè)丸是反對稱矩陣4的一個特征值，OHg二q,a29，是4的屬于兄的特征向量，則有A=(1)令呂二兀，石，石丁，其中N表示q的共扼復數(shù)，心1,2,/.對式兩邊同取共扼得鬲=冠因為4是實矩陣，所以有A=A,因此有心孫(2)對式兩邊轉(zhuǎn)置得AT=Tf因為4是反對稱矩陣，所以=-A從而fA=-Af.(3)對(2)式兩邊同左乘孑,對(3)式兩邊同右乘乙分別得從而得石它

13、二-昭它，移項得&+2)yg=0,因為柴工0,所以(刁+2)=0,所以2為零或者純虛數(shù).2.求可逆矩陣P使PAP為對角陣,且寫出這對角陣:5-13-15一3；(2)A=31130-1-f00-131-10133-33-121-1-112-11-1-122-51-3AE-A1久-53一332-321(3)4=解=才一13才+362=2(24)(29),所以特征5解線性方程組（OE-13-135-3）X=O,得屬于特征值0的線性無關(guān)的一個33特征向量為-1,1,才5解線性方程組（4-13-135-3）X=0,得屬于特征值4的線性無關(guān)的一個特一33征向量為1,1,of.5解線性方程組（9E-13-1

14、35-3）X=0,得屬J：特征值9的線性無關(guān)的一個特一33征向量為1,1,if-1110所以p=11-1,對角矩陣為420192-3-101的特征向最為1,1,1,-if.值為0,4,9的特征向最為1,1,1,-if.值為0,4,9-1012-31012-3-10-123=才-12才+50才一84Q+45的特征向最為1,1,1,-if.值為0,4,9的特征向最為1,1,1,-if.值為0,4,9=（2一1）（2一3）2一5）,所以特征值為1,3,3331解線性方程組(3E-*:-100-1-10i）X=0,得屬于特征值3的兩個線性無關(guān)13的特征向最為1,0,1,00,1,0,if.31013-

15、1解線性方程組(5E-0-13-101-10）X=0,得屬于特征值5的一個線性無關(guān)3值為0,4,9解線性方程組（E-10-13-10-103113的特征向量為1,-1,-1,1011_011-1所以P=,對角矩陣為10-1-101-11乂-211-1122-11AE-A=久-21_-111A-2_2-1-11-121-1解線性方程組（E-112-11-1-1231013351）X=O,得屬丁特征值1的一個線性無關(guān)（%1）3仇5）,所以特征值為1,1丄5.）X=O,得屬J：特征值1的三個線性無關(guān)的特征向量為1,I,0,，1，0,1,2-1-11_-121-1解線性方程組（5E-2-11-11-1

16、-12的特征向量為1,-1,-1,_1111100-1所以010-1J角矢100-11池0,0,-1.1115）X=Oy得屬J特征值5的一個線性無關(guān)3求正交矩陣使UlAU為對角陣，且寫出這刈角陣,這里A即第2題中的A.把三個屬不同特征值的特征向最單位化.I,1,0,o7值為0,4,91,-1,17|1,-1,if由此得到=丄762苫丄V2丄V2O0對角矩陣為49（2丿因為四個線性無關(guān)的特征向起已經(jīng)兩兩正交了，所以只要對他們單位化即可.1,0,1,07丄卩“V|1，0,1,07|氣1,1,-1,-1”，1,-1,-if1,-1,-1,if_1I卜J,7叫扣0,I,Z0,11,0,1,0,1V1,

17、-1,-1,ifI,1,0,o7值為0,4,9V20113_001-13,對角矩陣為V20-1-1505/2-111由此得到T0,（3丿先對屬丁特征值1的三個特征向鼠進行正交化.=1,1,0,02=1,0,1,0丁屋=1,0,弘=占=山h0,of,久=送_色噢廠1，0,1,1,o,o7=$_（徐】）”_（二弘）=丄_1_1_3丫再対向鼠進行單位化，得到三個正交單位向竜，從而得到四個兩兩正交的單位向吊二1V2掙,-1,2,葉豐1,-1,-1,一3值為0,4,9寸1,-1,-hly.12術(shù)6V21屈2V6602-x/6_V3600由此得到U=221224.設(shè)兒B均為”階實對稱矩陣，證明：A與B相似

18、OA,B有相同的特征多項式.=顯然成立.U兒B有相同的特征多項式，則A顯必有相同的特征根(包括重數(shù)丿.不妨設(shè)這些根為九兔，因為人B均為階實対稱矩陣，所以存在可逆矩陣P、Q使得PlAP=NA,QlBQ=A_A由此可知廠蟲戸=QBQ,所以有力=(0PT)T創(chuàng)2廠蔦其中QpT是可逆的，因此A與B相似.已知1,1,J是3階實對稱矩陣A的3個特征值,向量=1,1,if,=2,2,if是A的屬于彳二入=1的特征向量.求A的屬特征值的特征向崑；求出矩陣A.解設(shè)4的屬于-1的特征向量為=a,b,c則免和=1,1,if,-.ra+b+c=0.r爲=2,2,1均正交，所以有匸，；從而得到=-1,0(t為任2a+2

19、b+c=0.意非零常數(shù)).(2)對=1,1,川屋=2,2,I?進行正交化得到值為0,4,91,15詁-(D5胡中值為0,4,9再對三個向龜進行單位化得到正交單位向起組:值為0,4,9值為0,4,97T1,-hof.lVT-ioV6一6/6一6/6一31_V31一/3丄館一一11-1因此A=UAW=1一V24OV6一6V66衛(wèi)3-oo1_1oO丄右丄餡丄右O1O-一厲一V6一6V6一6衛(wèi)31一館1_V3丄V3一_101*6.設(shè)矩陣A=020101解由AE-A=0-1矩陣B=(kE+A)S其中kwR,求一個対角矩陣A,使得0-1A-20=久(久一2)2知I,A的特征值為0,2,2.所以實對稱02-

20、10矩陣A與對角陣2相似.2記f(x)=x2+2kx+k2B=(kE+A)1=k2E+2kA+A2=f(A),所以B的特征值為/(0)=kf(2)=k2+4k+4J(2)=k2+4k+4.從而實對稱矩陣B與對角矩陣值為0,4,9V(o)k1A=幾2)=k+4k+4相似.兀2)T+4R+4習題55/7階方陣A有個互異的特征值是A能與対角矩陣和似的().(A丿充分必要條件.(B丿充分而非必要條件.(C八必要而非充分條件.(D)既非充分也非必要條件.122解A有”個互異的特征值，則A定能與對角矩陣相似.但實對稱矩陣4=212有221和同的特征值人=2,=5，但A能與刈角矩陣相似.綜上應該選(E)設(shè)為

21、11階方陣，且A與B相似，則下述結(jié)論正確的是(),且說明理由.(A)AEAAEB.(BM與B有相同的特征值和特征向最.A與B都能與一個對角矩陣相似.対任意常數(shù)R,kE-A與kE_B相似.解設(shè)4=0，取可逆矩陣P=(l,2),構(gòu)作101久一1-1B=PAP=E(1AE(1=,貝ij4與B和似但AE-A=與110212-101AE-B=不相等，故(A丿不正確.解(E-A)X=O可得人的屬J：1的特征1A1向量為R卩，0，其中k為任意非零常數(shù).解(E-B)X=O可得B的屬JT的特征向量為f0,if,其中f為任意常數(shù).這表明4,F屬J：1的特征向量不相同.故(功不正確.同時也說明人B的線性無關(guān)的特征向

22、鼠最多只有1個，所以人B不能對角化，故(C)不正確.卜證(D丿正確.因A與B相似，所以存在可逆矩陣P使得P-AP=B對任意常數(shù)k有P1(kE-4)P=P7(kE)P-PAP=kE-PAP=kEB，所以kE-A與kE_B和似.綜上所述應選填D3.卜列矩陣中不能對角化的矩陣是,且說明理由.值為0,4,9123123123123(A)204004(C)000(D)01434500500000161勺2耳30a給A=00ci解(A丿中矩陣為實對稱矩陣,所以能對角化(引中矩陣有3個相異特征值1,2,5所以能対角化,(C丿中矩陣有2重根0對應的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系由2個線性無關(guān)的特征向最組成,所以能對

23、角化根據(jù)習題63的第10題可知/(/11)階上三角矩a2n仏若AaE,則A不能與對角矩陣相似.選項(D)中的矩陣000a是一個對角線相同的非數(shù)杲矩陣的上三角矩陣，所以該矩陣不能對角化.因此選填123一000.0004.設(shè)100_000_4=200,B=100300023問久B中哪一個矩陣可以對角化。為什么?解兩個矩陣都有一個兩重特征根0,=的秩為1,即=/?-秩(-4)二2所以能對角化.而0E-B=B的秩為2,即=n-秩(-5)=1所以不能對角化.問矩陣0bbb0b4=bb0bbb5.b為任意實數(shù)時,bbb03.卜列矩陣中不能對角化的矩陣是,且說明理由.值為0,4,9能否對角化。為什么。若能對

24、角化，請寫出與A相似的對角矩陣.1,0,IF1,1,Of.1,0,IF1,1,Of.|AE-A|=2-(n-1)Z?(2+,所以A的特征值為一個一重特征值(n-)b和一個-b-b-b,根據(jù)例1.3.5可知該行列式的值為一1重特征值一A秩(l)bE4尸川一1,所以/21=/7-(/2-1)=1與重數(shù)相同.秩(一陋一幻尸1,所以n2=n-l與重數(shù)相同.所以A能對角化，與其相似的對角矩陣為(h-l)b-b一b設(shè)階方陣A適合A2=E,證明A的特征值或為1,或為證設(shè)兄為”階方陣A的任意一個特征值，？為A的屬于2的特征向量，則有術(shù)=站.所以即有才=1,因此A的特征值或為1,或為設(shè)矩陣A與B相似,其中1-1120OA=24-2,B=020一3-3a00b1求解方程組(6E-23-114-2)X=0,得到屬J：6的線性無關(guān)的特征向量為一35331-1所以p=011032I1已知矩陣00021006/1023c一232問。與c取何值時A能與對角矩陣相似?為什么。2-1000解AE-A=一a-22-1-30A-200=(2-1)2(/1-2)2,所以4有一個兩重特征一2一3一C22值1