工程數(shù)學(xué)08分段低次插值

1、我們已經(jīng)知道插值有多種方法：Lagrange 插值法、Newton插值法、待定系數(shù)法等多種方式。插值的目的就是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近是為得到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠達(dá)到這個(gè)目的呢？現(xiàn)在我們來(lái)討論一下這個(gè)問(wèn)題。第五節(jié) 分段低次插值我們已經(jīng)知道：f(x)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,2, ,n) 上的n次插值多項(xiàng)式Pn (x) 的余項(xiàng) 設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)可知，當(dāng)f(x)充分光滑時(shí)，若余項(xiàng)隨n增大而趨于0時(shí)，這說(shuō)明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法達(dá)到這個(gè)目的，那么實(shí)際是這樣嗎？插值節(jié)點(diǎn)的增多,盡管使插值多項(xiàng)式在更多的插值節(jié)點(diǎn)上與

2、函數(shù) f(x) 的值相等,但在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x)，有時(shí)誤差會(huì)大得驚人,著名的龍格(Runge)現(xiàn)象證實(shí)了這個(gè)觀點(diǎn)。例:1901年龍格(Runge) 給出一個(gè)例子:龍格(Runge)現(xiàn)象插值多項(xiàng)式情況，見(jiàn)圖:取n=6和n=10。從圖中可見(jiàn)，P10(x)僅在區(qū)間-0.2,0.2內(nèi)能較好地逼近f(x),而在其于位置，P10(x)與f(x)的值相差很大,越靠近 端點(diǎn),近似的效果越差。對(duì)于等距節(jié)點(diǎn),高次多項(xiàng)式插值發(fā)生的這種現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象。 龍格(Runge)現(xiàn)象表明插值多項(xiàng)式序列不收斂，實(shí)際上，嚴(yán)格的理論分析可知插值多項(xiàng)式序列確是不收斂的，而且高階插值還是不穩(wěn)定的。節(jié)點(diǎn)

3、數(shù)增加后的數(shù)值穩(wěn)定性：從計(jì)算的數(shù)值運(yùn)算誤差看,對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)的差分形式,由于高階差分的誤差傳播,函數(shù)值的微小變化都將使插值產(chǎn)生很大的誤差。因此，實(shí)際應(yīng)用中常采用分段低次插值。（1）分段線性插值（2）分段二次插值與分段三次插值（略）（3）分段Hermite插值（略）（4）分段三次樣條插值因此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。那么如何提高插值精度呢？定義 設(shè)f(x)是定義在a,b上的函數(shù)，在節(jié)點(diǎn) a=x0 x1x2xn-1xn=b,的函數(shù)值為y0 , y1 , y2 ,yn-1 ,yn ,若函數(shù)(x)滿足條件(1)(x)在每個(gè)子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上

4、是線性插值多項(xiàng)式;(2)(xi )= yi , i=0,1,2,n;(3)(x)在區(qū)間a , b上連續(xù);則稱(x)是f(x)在a ,b上的分段線性插值多項(xiàng)式。1.問(wèn)題的提法分段線性插值問(wèn)題的解存在唯一.一、分段線性插值多項(xiàng)式2.分段線性插值函數(shù)的表達(dá)式由定義，(x)在每個(gè)子區(qū)間xi ,xi+1 (i=0,1,2,n-1)上是一次插值多項(xiàng)式;分段線性插值曲線圖：x0 x1 xi xi+1 , xnx0 xi-1 xi xi+1 xnx0 x1 xi xn-1 xn3.分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)注意: h隨分段增多而減少，因此用分段插值提高精度是很好的途徑。定理：設(shè)f(x)在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(

5、x) ，且| f(x)| m2, 記：h = max |xi+1-xi|,就有誤差估計(jì)： |R(x)| =|f(x)- (x) |m2h2/ 8 , xa, b。二.分段二次插值與分段三次插值例: 在-4,4上給出等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用分段二次插值計(jì)算ex的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過(guò)10-6,問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)h 應(yīng)為多少?解：設(shè)xi-1xxi+1, 則有xi-1=xi-h, xi+1=xi+h, x=xi+th (-1t1)過(guò)三點(diǎn)xi-1，xi，xi+1的二次插值誤差為：1.問(wèn)題的提法分段三次Hermite插值多項(xiàng)式存在唯一。三.分段三次Hermite插值2.分段三次Hermite插值的表達(dá)式3.分段三次Hermite插值的余項(xiàng)定理：設(shè)f(x)在a,b上有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(4)(x) ，且| f(4)(x) | m4, 記： h = max |xi+1-xi|,就有估計(jì)：四、分段低次插值的收斂性以上講解的分段低次插值，雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，從六