山東大學(xué)工程流體力學(xué)（杜廣生）課件第8章 粘性流體繞物體的流動

1、工程流體力學(xué)第8章 粘性流體繞物體的流動實際流動都是有粘流動，目前對粘性流動研究方法主要有：1、基于N-S方程的紊 流模擬2、流體實驗流動分類 根據(jù)工程的實際情況，流動可分為： 內(nèi)流和外流。 內(nèi)流 ：如右上圖。 外流： 如右下圖。本章的主要內(nèi)容 本章主要討論繞流問題，即外流問題。首先將介紹粘性流體的運(yùn)動微分方程，然后將給出邊界層的概念及其控制方程，最后針對繞流流動現(xiàn)象的一些具體問題進(jìn)行了討論。 空間流動三維問題，NS方程及其求解 擾流阻力及其計算 附面層的問題 第一節(jié) 不可壓縮粘性流體的運(yùn)動微分方程 以流體微元為分析對象，流體的運(yùn)動方程可寫為如下的矢量形式： 這里 ： 是流體微團(tuán)的加速度，微分

2、符號： 稱為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)，它表示流體微團(tuán)的某性質(zhì) 時間的變化率。 (8-1)(8-2)(8-3)一、微元體的受力分析和運(yùn)動微分方程的推導(dǎo) 如圖所示，控制體的各邊長分別為dx,dy,dz，微元體的體積為： （ 84） 作用在微元體上的質(zhì)量力為 ，其可用 三個分量 表示為： （85）這里： （86）如果的三個分量是 ，則： （87）作用在微元體上的表面力 將微元體六個面上的應(yīng)力分別投影到三個坐標(biāo)方向上如圖作用于微元體個面上的x軸方向的應(yīng)力 把作用于控制體上x方向的力疊加起來，得到作用在微元體上的表面力在x方向的分量為： 作用于微元體個面上的Y、Z軸方向的應(yīng)力 同理，表面力在y方向的分量為：表

3、面力在z方向的分量為： 作用在微元體上的表面力 如果用 , 和 表示單位體積的表面力，則： （ 88） 作用在微元體上的表面力 將上式和式（87）代入式（81）則得： （89） 這就是微分形式的運(yùn)動方程。 二、本構(gòu)方程本構(gòu)方程是確立應(yīng)力和應(yīng)變率之間關(guān)系的方程式。斯托克斯通過將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到了粘性流體的任意流動中，建立了牛頓流體的本構(gòu)方程： （810） 上式也稱為廣義牛頓定律 三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）將式（810）代入式（89）可得： （ 811） 上式稱納維斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流體運(yùn)動微分方程的又一種形式。對于不可壓流體，其連續(xù)方程為：對于不可壓縮

4、粘性流體，粘性體膨脹應(yīng)力為零，其運(yùn)動方程為： （812）三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程） 并考慮到拉普拉斯算子： 不可壓縮粘性流體的運(yùn)動方程還可寫為： （813） 三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）如果質(zhì)量力只有重力作用，用 代表重力加速度，不可壓縮粘性流體的運(yùn)動方程的矢量形式為： (8-14) 右端第一項表示單位質(zhì)量的質(zhì)量力；第二項代表作用于單位質(zhì)量流體的壓強(qiáng)梯度力；第三項代表黏性變形應(yīng)力。三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）對理想流動，認(rèn)為流體無粘性， ，這時運(yùn)動方程簡化為歐拉方程： （815） 或矢量形式 （816） 三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）當(dāng)流體靜止不動時， ，則運(yùn)動

5、方程簡化為： （817） 三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）第二節(jié) 蠕動流動蠕動流動：雷諾數(shù)很低的流動。特點(diǎn)：流動的尺度和流動的速度均很小如：熱電廠鍋爐爐膛氣流中繞煤粉顆粒、 油滴等的流動；滑動軸承間隙中的流 動等等。 一、蠕動流動的微分方程對于定常流動，忽略慣性力和質(zhì)量力，在直角坐標(biāo)系下，可把納維爾斯托克斯方程（814）組簡化成 ： （818）一、蠕動流動的微分方程如果流動是不可壓縮流體，則連續(xù)性方程為： （819） 將式（818）依次求 、 、 ，然后相加，并結(jié)合連續(xù)性方程，即得： 即蠕動流動的壓力場滿足拉普拉斯方程。(8- 20)二、繞球的蠕動流動 對如圖所示的無窮遠(yuǎn)來流以速度 均勻平

6、行流沿 軸繞半徑為 的靜止圓球流動，得速度與壓 強(qiáng)分布為： （821） 二、繞球的蠕動流動 式中 為無窮遠(yuǎn)處來流的壓力。 圓球以很小的速度在靜止流體中作等速運(yùn)動時，在流場中通過x軸的平面上的流譜如圖所示。 二、繞球的蠕動流動在圓球的前后兩駐點(diǎn)A和B處的壓強(qiáng)是壓強(qiáng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，分別為：在前駐點(diǎn)A（ 180 ） （822） 在后駐點(diǎn)B（ 0）： （823）而切應(yīng)力的最大值，發(fā)生在C（ 90）為： （824） 等于A、B點(diǎn)處的壓強(qiáng)與無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)之差的絕對值。二、繞球的蠕動流動球面上的壓強(qiáng)和剪切應(yīng)力也可根據(jù)速度分布公式算出，為： （8-25） 對上述兩式積分，可分別得到作用在球面上的壓強(qiáng)和切應(yīng)力

7、的合力。將這兩個合力在流動方向的分量相加，可得到流體作用在圓球上的阻力為： （8-26） 這就是圓球的斯托克斯阻力公式。式中d=2 為圓球的直徑。 第三節(jié) 邊界層的概念 邊界層：物體壁面附近存在大的速度梯度的薄層。 我們可以用如圖所示的繞平板的流動情況說明邊界層的概念。邊界層的定義粘性流體繞流物體時，由于粘性的作用，在物體的表面附近，存在一速度急劇變化的薄層邊界層。 例如：來流 的流體繞流平板時，在平板表面形成邊界層。邊界層的定義在平板的前部邊界層呈層流狀態(tài)，隨著流程的增加，邊界層的厚度也在增加，層流變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，流體的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動變得不規(guī)則，最終發(fā)展為紊流，這一變化發(fā)生在一段很短的長度范圍，稱

8、之為轉(zhuǎn)捩區(qū)，轉(zhuǎn)類區(qū)的開始點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)捩點(diǎn)。轉(zhuǎn)類區(qū)下游邊界層內(nèi)的流動為紊流狀態(tài)。在轉(zhuǎn)捩區(qū)和紊流區(qū)的壁面附近，由于流體的質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)脈動受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的區(qū)域內(nèi)，流動仍保持為層流狀態(tài)，稱為層流底層和粘性底層。 邊界層的特點(diǎn)邊界層內(nèi)速度梯度很大，旋渦強(qiáng)度大，有旋流動慣性力和粘性具有相同的數(shù)量級，同時考慮。邊界層外部速度梯度很小，可以作為理想流體的勢流處理。邊界層厚度隨 的增大而增大，隨 的增大而減小。由于邊界層很薄，因而可以近似認(rèn)為，邊界層任一截面上各點(diǎn)壓強(qiáng)相等。邊界層的分類按流動狀態(tài)，可分為層流邊界層和紊流邊界層。判別準(zhǔn)則雷諾準(zhǔn)則： 平板上的臨界雷諾數(shù) = 邊界層的構(gòu)成： 1.層

9、流邊界層，當(dāng) 較小時，邊界層內(nèi)全為層流，稱為層流邊界層。 2.混合邊界層：除前部起始部分有一小片層流區(qū)，其余大部分為紊流區(qū)，稱為混合邊界層。邊界層的厚度兩個流動區(qū)域之間并沒有明顯的分界線。邊界層的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法線上速度達(dá)到勢流區(qū)速度的99處的距離作為邊界層的厚度，以表示，這一厚度也稱邊界層的名義厚度。邊界層的厚度取決于慣性和粘性作用之間的關(guān)系，即取決于雷諾數(shù)的大小。雷諾數(shù)越大，邊界層就越薄；反之，隨著粘性作用的增長，邊界層就變厚。沿著流動方向由繞流物體的前緣點(diǎn)開始，邊界層逐漸變厚。 第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程在這一節(jié)里，將利用邊界層流動的特點(diǎn)如流體的粘度大小、速度與溫度梯

10、度大和邊界層的厚度與物體的特征長度相比為一小量等對N-S方程進(jìn)行簡化從而導(dǎo)出層流邊界層微分方程。在簡化過程中，假定流動為二維不可壓定常流，不考慮質(zhì)量力，則流動的控制方程N(yùn)-S方程為： （8-27）第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程將上述方程組無量綱化。為此考慮如圖所示的一半無窮繞流平板，假定無窮遠(yuǎn)來流 的速度 ，流動繞過平板時在平板附近形成邊界層，其厚度為 ，平板前緣至某點(diǎn)的距離為 。取 和 為特征量，可定義如下 的無量綱量： / / / / /（ ）代入方程組（827），整理后得： （8-28）式中雷諾數(shù) 第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程 與 相比較是很小的 ，即 或 / 1，同時注意到， 與

11、 、 與 、 與 具有同一數(shù)量級，于是 、 、 和 的量級均為1，并可以得到： 1 1 1 為了估計其他各量的數(shù)量級，由連續(xù)性方程可得： 1第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程因此 ，于是又得到： 1 通過分析方程組（828）各項的數(shù)量級，方程組（828）中第二式中各慣性項可以忽略掉 ，同時可以略 去 、 、 。于是在方程組（828）的粘性 項中只剩第一式中的一項 。 如果僅保留數(shù)量級為1的項，而將數(shù)量級比1小的各項全部略去，再恢復(fù)到有量綱的形式，便可以得到層流邊界層的微分方程組為： （8-29） 沿邊界層上緣由伯努利可知： 常數(shù) 上式對 求導(dǎo)，得： 第四節(jié) 平面層

12、流邊界層的微分方程這樣，層流邊界層的微分方程又可寫為： （8-30） 方程組（830） 即為在物體壁面為平面的假設(shè)下得到的邊界層微分方程 。 第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程第五節(jié) 邊界層的動量積分關(guān)系式邊界層的動量積分方程是對邊界層內(nèi)流動的再簡化。其推導(dǎo)過程有兩種方法：一種是沿邊界層厚度方向積分邊界層的方程組，一種是在邊界層內(nèi)直 接應(yīng)用動量守恒原理。下面的推導(dǎo)采用第二種方法。邊界層動量積分方程的推導(dǎo)如圖所示為不可壓縮流體的定常二維邊界層流動 ，設(shè)物體表面型線的曲率很小。 取一個單位厚度的微小控制體，它的投影面ABDC 。用動量定理來建立該控制體內(nèi)的流體在單位時間內(nèi)沿x方向的動量變化和外力之間

13、的關(guān)系。 邊界層動量積分方程的推導(dǎo)設(shè)壁面上的摩擦應(yīng)力為 根據(jù)邊界層的控制方程組，邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)僅近似地依賴于 而與 無關(guān)，設(shè)AB面上的壓強(qiáng)為 ，DC上的壓強(qiáng)為 控制面AC為邊界層的外邊界 其外部為理想流體的勢流 ，只有與之垂直的壓力 ，設(shè)AC上的壓強(qiáng)為A，C兩點(diǎn)壓強(qiáng)的平均值 。作用在控制體上的表面力沿方向的合力為： 邊界層動量積分方程的推導(dǎo)式中為邊界層外邊界AC與方向的夾角，由幾何關(guān)系可知： ，上式經(jīng)整理并略去高階小量，得：單位時間內(nèi)沿方向經(jīng)過AB流入控制體的質(zhì)量和動量分別為：經(jīng)過CD面流出的質(zhì)量和動量分別為：定常流動條件下，可知從控制面AC流入控制體中的流量為：由此引起流入的動量為： 邊界層

14、動量積分方程的推導(dǎo)式中V為邊界層外邊界上的速度。這樣，可得單位時間內(nèi)該控制體內(nèi)沿x方向的動量 變化為 根據(jù)動量定理， ，則可得邊界層的動量積分方程為： （8-51） 上式也稱為卡門動量積分關(guān)系式。該式是針對邊界層流動在二維定常流動條件下導(dǎo)出的，并沒有涉及邊界層的流態(tài)，所以其對層流和紊流邊界層都能適用。 積分方程的求解實際上可以把 、 和 看作已知數(shù)，而未知數(shù)只有 、 和 三個。 再補(bǔ)充兩個關(guān)系式： 一、沿邊界層厚度的速度分布 = (y) 二、切向應(yīng)力與邊界層厚度的關(guān)系式 一般在應(yīng)用邊界層的動量積分關(guān)系式（851）來求解邊界層問題時，邊界層內(nèi)的速度分布是按照已有的經(jīng)驗來假定的。假定的 愈接近實際

15、，則所得到的結(jié)果愈正確。所以選擇邊界層內(nèi)的速度分布函數(shù) 是求解邊界層問題的重要關(guān)鍵。 第六節(jié)邊界層的位移厚度和動量損失厚度 邊界層的厚度 ，表示粘性影響的范圍。 位移厚度 動量損失厚度根據(jù)伯努力方程可知：又由于：帶入（8-51）得 或 （8-52）邊界層厚度計算式的推導(dǎo)因此在邊界層內(nèi)由于粘性影響使體積流量的減小量 ，即上式中第一項積分。 位移厚度或排擠厚度 可表示成： （8-53）同理動量損失厚度 可表示為： （8-54） 將 和 代入式（851）, 得 （8-55）邊界層厚度計算式的推導(dǎo)式（8-55）是另一種形式的平面不可壓縮粘性流體邊界層動量積分關(guān)系式 。 、 和 都是未知數(shù)，它們決定于邊

16、界層內(nèi)速度的分布規(guī)律。 將式（855）化為無因次形式，統(tǒng)除以 ，得 （856） 或式中H 。計算曲面邊界層時，用上式較為方便。 第七節(jié) 平板邊界層流動的近似計算 平板層流邊界層的近似計算 對于式（851），如果邊界層外部的壓強(qiáng)梯度為零，方程變?yōu)椋?(8-57） 假定平板非常薄，對流動沒有影響。邊界層外層流動： 則上式可變?yōu)椋?(8-58） 兩個補(bǔ)充關(guān)系式:一、馮卡門假定，二、牛頓內(nèi)摩擦定律。平板紊流邊界層的近似計算 采用將邊界層內(nèi)的速度分布與圓管內(nèi)充分發(fā)展紊流的速度分布規(guī) 律進(jìn)行類比的方法。平板層流邊界層的近似計算選擇一三次項式速度分布： (8-59) 根據(jù)下列邊界條件來確定待定系數(shù) 和 .

17、(1)在平板壁面上的速度為零，即在 處 (2)在邊界層外邊界上的速度等于來流速度 ,即在 處 ， (3)在邊界層外邊界上，摩擦切應(yīng)力 為零，即在 處 ， (4)由于在平板壁面上的速度為零，即 ，由方程組（850）的第一式得 平板層流邊界層的近似計算速度分布的四個系數(shù)可確定為： 于是，層流邊界層中速度的分布規(guī)律為 (8-60) 第二個補(bǔ)充關(guān)系式：利用牛頓內(nèi)摩擦定律和式（860）得出 (8-61)式中為動力粘性系數(shù)。將速度分布方程（860）帶入方程（861）并積分得：分離變量，并積分得： (8-62)平板層流邊界層的近似計算式中為 運(yùn)動粘性系數(shù)，為基于長度的雷諾數(shù) 。合并方程（862）和(861)

18、得到： (8-63)如果表面摩擦系數(shù) 為： (8-64) 那么 ，為： (8-65) 根據(jù)動量損失厚度的定義式（854），并考慮式（862），可得動量損失厚度為： (8-66) 同理，位移厚度為: (8-67)上述計算結(jié)果是依賴于所假設(shè)的速度分布規(guī)律的，不同階次的速度分布，可以得出不同的結(jié)果。表8.1 給出幾種不同的情況。表8.1不同階次的速度分布所得結(jié)果比較 548 1826 0730 0365464 1740 0646 0323584 1751 0685 0343 32123-ddyy二、平板紊流邊界層的近似計算如前所述由于流動的混參以及速度和壓力的波動，紊流邊界層的速度分布都采用一些模型

19、假定。普朗特建議，當(dāng)邊界層雷諾數(shù) 時，邊界層內(nèi)的速度分布可采用 次方規(guī)律，即： （8-68） 該式不能直接應(yīng)用于邊界層的內(nèi)邊界。通常認(rèn)為粘性底層內(nèi)的速度分布為線形分布。 雷諾數(shù)取 時的摩擦阻力系數(shù)為： 當(dāng)時 普朗特和施利希廷 （ H. Schlichting）采用對數(shù)速度分布，得到如下的半經(jīng)驗公式： 層流與紊流邊界層的近似計算公式匯總 平板的層流邊界層和紊流邊界層的重大差別有：紊流邊界層內(nèi)沿平板壁面發(fā)向截面上的速度比層流邊界層的速度增加得快 沿平板壁面紊流邊界層的厚度比層流邊界層的厚度增加得快 在其它條件相同的情況下，平板壁面上的切向應(yīng)力 沿著壁面的減小在紊流邊界層中要比層流邊界層減小得慢。在

20、同一 下，紊流邊界層得摩擦阻力系數(shù)比層流邊界層的大得多 實際情況下，邊界層是層流和紊流同時存在的混合邊界層 邊界 層 內(nèi) 的 流 態(tài)層 流紊 流邊界層的基本特性速度分布規(guī)律邊界層厚度位移厚度動量損失厚度切向應(yīng)力總摩擦力摩擦阻力系數(shù)層流與紊流邊界層的近似計算公式匯總 fC第八節(jié) 邊界層的分離與卡門渦街 一、邊界層的分離以如圖所示的圓柱繞流為例 在勢流流動中流體質(zhì)點(diǎn)從D到E是加速的，為順壓強(qiáng)梯度;從E到F則是減速的, 為逆壓強(qiáng)梯度流體質(zhì)點(diǎn)由D到E過程，由于流體壓能向動能的轉(zhuǎn)變，不發(fā)生邊界層分離E到F 段動能只存在損耗，速度減小很快，在S點(diǎn)處出現(xiàn)粘滯 ，由于壓力的升高產(chǎn)生回流導(dǎo)致邊界層分離，并形成尾渦。如圖為邊界層分離示意圖。從以上的分析中可得如下結(jié)論：粘性流體在壓力降低區(qū)內(nèi)流動（加速流動），決不會出現(xiàn)邊界層的分離，只有在壓力升高區(qū)內(nèi)流動（減速流動），才有可能出現(xiàn)分離，形成漩渦。尤其是在主流減速足夠大的情況下，邊界層的分離就一定會發(fā)生。 圖814 邊界層分離示意圖一、邊界層的分離 二、卡 門 渦 街 上圖表示 不同雷諾數(shù)條件下繞圓柱的流動圖譜 討論圓柱繞流問題：隨著雷諾數(shù)的增大邊界層首先出現(xiàn)分離，分離點(diǎn)并不斷的前移，當(dāng)雷諾數(shù)大到一定程度時，會形成兩列幾乎穩(wěn)定的、非對稱性的、交替脫落的、旋轉(zhuǎn)方向相反的旋渦，并隨