（離散型隨機變量的方差）人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3教學(xué)課件（第2.3.2課時）

1、講解人：精品課件 時間：2020.6.1PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 2.3.2離散型隨機變量的方差第2章 隨機變量及其分布人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3第一頁，共三十四頁。1 .離散型隨機變量 X 的均值 均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平.2 . 兩種特殊分布的均值 （1）若隨機變量X服從兩點分布，則EX=p. （2）若XB(n，p) ，則EX=np.課前導(dǎo)入第二頁，共三十四頁。數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示了隨機變量在隨機實驗中取值的平均值，所以又常

2、稱為隨機變量的平均數(shù)、均值.今天，我們將對隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進行研究.課前導(dǎo)入第三頁，共三十四頁。思考 要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級參加射擊比賽. 根據(jù)以往的成績記錄， 第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為X15678910P0.030.090.200.310.270.10新知探究第四頁，共三十四頁。 第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為X256789P0.010.050.200.410.33根據(jù)已學(xué)知識，可以從平均中靶環(huán)數(shù)來比較兩名同學(xué)射擊水平的高低，即通過比較X1和X2的均值來比較兩名同學(xué)射擊水平的高低. 通過計算新知探究第五頁，共三十四頁。 E(X1

3、)=8，E(X2)=8， 發(fā)現(xiàn)兩個均值相等，因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.思考 除平均中靶環(huán)數(shù)外，還有其他刻畫兩名同學(xué)各自射擊特點的指標(biāo)嗎？新知探究第六頁，共三十四頁。圖(1)(2)分別表示X1和X2的分布列圖. 比較兩個圖形，可以發(fā)現(xiàn)，第二名同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即第二名同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定.O5671098P0.10.20.30.40.5O56798P0.10.20.30.40.5(1)(2) 怎樣定量刻畫隨機變量的穩(wěn)定性?新知探究第七頁，共三十四頁。1.方差 設(shè)離散型隨機變量X的分布列為 知識要點Xx1x2xixnPp1p2pipn 則(xi-E(X)2描述了xi(i

4、=1，2，n)相對于均值E(X)的偏離程度.新知探究第八頁，共三十四頁。為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量 X 與其均值 EX 的平均偏離程度.我們稱 DX為隨機變量 X 的方差(variance). 其算術(shù)平方根 為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation). 記為隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小.新知探究第九頁，共三十四頁。說明：隨機變量集中的位置是隨機變量的均值；方差或標(biāo)準(zhǔn)差這種度量指標(biāo)是一種加權(quán)平均的度量指標(biāo).思考隨機變量的方差與樣本的方差有何聯(lián)系與區(qū)別?新知探究隨機變量的方差是常

5、數(shù)，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機變量.對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近總體方差，因此常用樣本方差來估計總體方差.第十頁，共三十四頁?，F(xiàn)在，可以用兩名同學(xué)射擊成績的方差來刻畫他們各自的特點，為選派選手提供依據(jù).由前面的計算結(jié)果及方差的定義，得因此第一名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較差，第二名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較好，穩(wěn)定于8環(huán)左右.新知探究第十一頁，共三十四頁。知識要點2.幾點重要性質(zhì) （1）若X服從兩點分布，則D(X)=p(1-p); （2）若XB(n，p)，則D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).新知探究第十二頁，共三十

6、四頁。 例題1A、B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示：次品數(shù)10123概率P0.70.20.060.04次品數(shù)10123概率P0.80.060.040.10問哪一臺機床加工質(zhì)量較好？新知探究第十三頁，共三十四頁。 解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 它們的期望相同，再比較它們的方差 D1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2 0.06+(3-0.44)20.04=0.6064, D2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)

7、20.06+(2-0.44)2 0.04+(3-0.44)20.10=0.9264. D1 D2 故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好. 新知探究第十四頁，共三十四頁。 例題2 有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？新知探究第十五頁，共三十四頁。解：根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得新知探究第十六頁，共三十四頁。 分析：因為 ，所以兩家單

8、位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散.這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位.新知探究第十七頁，共三十四頁。 例題3有同寢室的四位同學(xué)分別寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人去拿一張，記自己拿自己寫的賀年卡的人數(shù)為X. （1）求隨機變量的概率分布； （2）求X的數(shù)學(xué)期望和方差.新知探究第十八頁，共三十四頁。解：（1）因此X的分布列為 （2）X01234P9/248/246/2401/24新知探究第十九頁，共三十四頁。 例題3有一莊家為吸引顧客玩擲骰子游戲，以便自己輕松獲利，以海報形式貼出游

9、戲規(guī)則：顧客免費擲兩枚骰子，把擲出的點數(shù)相加，如果得2或12，顧客中將30元；如果得3或11，顧客中將20元；如果得4或10，顧客中將10元；如果得5或9，顧客應(yīng)付莊家10元；如果得6或8，顧客應(yīng)付莊家20元；如果得7，顧客應(yīng)付莊家30元試用數(shù)學(xué)知識解釋其中的道理.新知探究解:設(shè)莊家獲利的數(shù)額為隨機變量，根據(jù)兩枚骰子的點數(shù)之和可能的結(jié)果以及游戲規(guī)則可得隨機變量的概率分布為：X-30-20-10102030P2/364/366/368/3610/366/36因此，顧客每玩36人次，莊家可獲利約260元，但不確定顧客每玩36人次一定會有些利潤；長期而言，莊家獲利的均值是這一常數(shù)，也就是說莊家一定是

10、贏家.第二十頁，共三十四頁。1. 某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果： 則該公司一年后估計可獲收益的期望是_（元）.投資成功投資失敗192次8次課堂練習(xí)第二十一頁，共三十四頁。 答案4760提示：分布列為0.6-2.5P192/2008/192故課堂練習(xí)第二十二頁，共三十四頁。2.甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：5t/hm2）表所示： 則其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是_答案甲種品種第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410

11、.310.89.79.8課堂練習(xí)第二十三頁，共三十四頁。3.某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用，單獨采用甲、乙預(yù)防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85，若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨采用，聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費用最少.（總費用=采取預(yù)防措施的費用發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值）課堂練習(xí)解析 不采用預(yù)防措施時，總費用即損失期望值為4000.3=120（萬元）；若單獨采取措施甲，則預(yù)防措施費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概

12、率為10.9=0.1，損失期望值為4000.l=40（萬元），所以總費用為4540=85（萬元）；若單獨采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.85=0.15，損失期望值為4000.15=60（萬元），所以總費用為3060=90（萬元）；第二十四頁，共三十四頁。 若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費用為4530=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為(10.9)(10.85)=0.015，損失期望值為4000.015=6（萬元），所以總費用為756=81（萬元）綜合、，比較其總費用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費用最少繼續(xù)答題課堂練習(xí)第二十五頁，共

13、三十四頁。1.填空 （1）已知xB(100,0.5),則 Ex=_,Dx=_,sx=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, s(2x-1)=_.502559910010課堂練習(xí)第二十六頁，共三十四頁。 （1）已知隨機變量x的分布列如上表,則E x與D x的值為( ) A. 0.6和0.7 B. 1.7和0.3 C. 0.3和0.7 D. 1.7和0.21 （2）已知xB(n，p)，E x =8，D x =1.6，則n， p的值分別是（ ） A100和0.08； B20和0.4； C10和0.2； D10和0.8 2.選擇x12P0.30.7課堂練習(xí)第二十七頁，共三十四頁。3.解答題（

14、1） 一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望. 分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨立的如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件.課堂練習(xí)第二十八頁，共三十四頁。解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為，顯然 所有可能取的值為0，1，2，3 當(dāng)=0時，即第一次取得正品，試驗停止，則 P（=0）= 當(dāng)=1時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則 P（=1）= 課堂練習(xí)第

15、二十九頁，共三十四頁。 當(dāng)=2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則 P（=2）= 當(dāng)=3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則 P（=3）= 所以，E= 繼續(xù)答題課堂練習(xí)第三十頁，共三十四頁。（2）有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為，求E，D分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題課堂練習(xí)解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨立重復(fù)試驗，即B（200，1%），從而可用公式：E=np，D=npq(這里q=1-p)直接進行計算.由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨立的解：因為商品數(shù)量相當(dāng)大，抽200件商品可以看作200次獨立重復(fù)試驗，所以 B（200，1%） 因為E=np，D=npq，這里n=200，p=1%，q=99%， 所以, E=2001%=2,D=2001%99%=1.98.第三十一頁，共三十四頁。1.熟記方差計算公式2. 三個重要的方差公式（1）若 X 服從兩點分布，則（2）若 ，則課堂小結(jié)第