（二項(xiàng)式定理）人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3教學(xué)課件（第1.3.1課時(shí)）

1、講解人：精品課件 時(shí)間：2020.6.1PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 1.3.1 二項(xiàng)式定理第1章 計(jì)數(shù)原理人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3第一頁，共二十五頁。先看下面的問題 若今天是星期一，再過810天后的那一天是星期幾？課前導(dǎo)入第二頁，共二十五頁。在初中，我們已經(jīng)學(xué)過了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3觀察 對(duì)于(a+b)4，(a+b)5 如何展開?課前導(dǎo)入(a+b)100又怎么辦？ (a+b)n (nN+)呢？我們知道，事物之間或多或少存在

2、著規(guī)律. 這節(jié)課，我們就來研究(a+b)n的二項(xiàng)展開式的規(guī)律性.第三頁，共二十五頁。規(guī)律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4新知探究第四頁，共二十五頁。 如何從組合知識(shí)得到(a+b)4展開式中各項(xiàng)的系數(shù)? (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每個(gè)括號(hào)都不取b，只有一種取法

3、得到a4；(2)若只有一個(gè)括號(hào)取b，共有種取法得到a3b；(3)若只有兩個(gè)括號(hào)取b，共有種取法得到a2b2；(4)若只有三個(gè)括號(hào)取b，共有種取法得到ab3；(5)若每個(gè)括號(hào)都取b，共有種取法得b4.新知探究第五頁，共二十五頁。1 二項(xiàng)式定理 新知探究知識(shí)要點(diǎn)第六頁，共二十五頁。 如何證明上述猜想呢？證明：由于(a+b)n是（a+b）相乘，每個(gè)（a+b）在相乘時(shí)有兩種選擇，選a或b，而且每個(gè)（a+b）中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項(xiàng).因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，在合并同類項(xiàng)之前， (a+b)n的展開式共有2n項(xiàng)，其中每一項(xiàng)都是an-kbk（k=0，1，n）的形式.新知探究對(duì)于某個(gè)k（

4、），對(duì)應(yīng)的項(xiàng)an-kbk是由n-k個(gè)（a+b）中選a，k個(gè)（a+b）中選b得到的. 由于b選定后，a的選法也隨之確定. 因此， an-kbk出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)(a+b)中取k個(gè)b的組合數(shù) . 這樣，(a+b)n的展開式中， an-kbk共有 個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得到二項(xiàng)展開式：第七頁，共二十五頁。對(duì)二項(xiàng)式定理的理解 （1）它有n+1項(xiàng); （2）各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的次數(shù)n; （3）字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0;字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.新知探究第八頁，共二十五頁。2 二項(xiàng)式系數(shù) 我們看到的二項(xiàng)展開式共有n+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù) ( )叫做二項(xiàng)式系數(shù)（binomia

5、l coefficient）.新知探究知識(shí)要點(diǎn)3 通項(xiàng) 式中的 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用 Tk+1 表示，即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng)：第九頁，共二十五頁。對(duì)通項(xiàng)的理解 （1）它是(a+b)n的展開式的第k+1項(xiàng)，這里k=0，1，2，n; （2）字母a，b是一種“符號(hào)”，實(shí)際上它們可以是數(shù)、式及其它什么的，只要具備二項(xiàng)式的形式就可以用定理寫出展開式; （3）展開式是對(duì)(a+b)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式而言的，還可以對(duì)等式進(jìn)行變形.新知探究第十頁，共二十五頁。例題1用二項(xiàng)式定理展開下列各式：思考（1）如何求展開式中的第三項(xiàng)？ （2）如何求展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)？方法（1）用定理展開，再找指定項(xiàng)； （2）用通項(xiàng)

6、公式.新知探究第十一頁，共二十五頁。解:新知探究（2）先將原式化簡(jiǎn)，再展開，得第十二頁，共二十五頁。例題21. 的展開式中，第五項(xiàng)是（ ） A. B. C. D.2. 的展開式中，不含a的項(xiàng)是第（ ） A.7 項(xiàng) B.8 項(xiàng) C.9 項(xiàng) D.6項(xiàng) 新知探究答案： (1) B (2) A第十三頁，共二十五頁。例題3求近似值（精確到0.001）（1）(0.997)3 （2）(1.002)6分析：（1）(0.997)3=(1-0.003)3（2）(1.002)6=(1+0.002)6 類似這樣的近似計(jì)算轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理求展開式，按精確度展開到一定項(xiàng).新知探究第十四頁，共二十五頁。例題4 4.求二項(xiàng)式

7、 的展開式中的有理項(xiàng).分析：方法一用通項(xiàng)公式（適用于任意次冪） 方法二用定理展開（次數(shù)較小時(shí)使用）答案：新知探究第十五頁，共二十五頁。 1. 在 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_. A.14 B.14 C.42 D. 42 課堂練習(xí)解析： 則k=6，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)是,選答案A.令第十六頁，共二十五頁。 2.在(x-a)10的展開式中，x7的系數(shù)是15，則實(shí)數(shù)a的值為_.-1/2解析：課堂練習(xí)第十七頁，共二十五頁。1.填空 （1）(x+2)10(x2-1)的展開式中x10的系數(shù)為_. （2）在(x-1)11的展開式中，x的偶次冪的所有項(xiàng)的系數(shù)的和為_ .1.179-210課堂練習(xí)第十八頁，共二十五頁。

8、 2.選擇 （1）( i)12展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的和是( ) A.-1B.1 C.0 D.i （2） 數(shù)11100-1的末尾連續(xù)的零的個(gè)數(shù)是( ) A.0B.3 C.5 D.7課堂練習(xí)第十九頁，共二十五頁。)rC12r3.解答題（1）求( + )12展開式中所有的有理數(shù)項(xiàng).解： 通項(xiàng)為Tr+1C12r()12-r(r0,1,2，12)，為得有理數(shù)項(xiàng)，只需r是6的倍數(shù)，即r0,6,12，即有理數(shù)項(xiàng)為T1C1202416，T7C126223399792，T13C121236729.課堂練習(xí)第二十頁，共二十五頁。 （2）二項(xiàng)式 的展開式中第三項(xiàng)系數(shù)比第二項(xiàng)系數(shù)大44，求第4項(xiàng)的系數(shù). 分析：由第三項(xiàng)

9、系數(shù)比第二項(xiàng)系數(shù)大44先求n， 再由通項(xiàng)求第四項(xiàng)系數(shù).答案：165課堂練習(xí)第二十一頁，共二十五頁。(3) 某班有男、女學(xué)生各n人，現(xiàn)在按照男生至少一人，女生至多n人選法，將選出的學(xué)生編成社會(huì)實(shí)踐小組，試證明：這樣的小組的選法共有2n(2n-1)種.證：依題意，這些小組中女生人數(shù)分別是Cn0，Cn1,Cn2,Cnn個(gè).對(duì)于上述女生人數(shù)的每種情況，男生人數(shù)可以有Cn0，Cn1,Cn2,Cnn個(gè)。課堂練習(xí)第二十二頁，共二十五頁。根據(jù)乘法原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+Cn0Cnn+Cn1Cn1+Cn1Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+Cn2Cnn+CnnCn1+ Cnn Cn2+

10、Cnn Cnn Cn0(Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+Cnn)+Cnn(Cn1+Cn2+ Cnn) (Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+ Cnn) (2n-1)2n 依題意所編成的小組共有2n(2n-1)個(gè).課堂練習(xí)第二十三頁，共二十五頁。1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn是通過不完全歸納法，并結(jié)合組合的概念得到展開式的規(guī)律性，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. 課堂小結(jié)2.二項(xiàng)式定理的特點(diǎn) (1)項(xiàng)數(shù)：共n+1項(xiàng),是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式 (2)系數(shù) (3)指數(shù) ：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)遞減到0