MATLAB編程基礎(chǔ)第7講數(shù)值微積分、多項(xiàng)式精選課件

1、MATLAB編程基礎(chǔ)之?dāng)?shù)值微積分、多項(xiàng)式第七講8/19/20221第1頁，共22頁。3.7 MATLAB數(shù)值積分與微分3.7.1 差分和偏導(dǎo)數(shù)1. 差分在MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計(jì)算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為：DX=diff(X)：計(jì)算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：計(jì)算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：計(jì)算矩陣A的n階差分，dim=1時(shí)(缺省狀態(tài))，按列計(jì)算差分；dim=2，按行計(jì)算差分。8/19/20222第2頁，共2

2、2頁。例1 差分運(yùn)算示例命令如下：A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;% 生成1維矩陣A1 = reshape(A,6,3)% 轉(zhuǎn)換為36維矩陣 A1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18B1 = diff(A1)% 求1維1階差分 B1 = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6B2 = diff(A1,1,2)% 求2維1階差分 B2 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1B3 = diff(A1,2)% 求1維2階差分 B3 = 0 0 0

3、 0 0 08/19/20223第3頁，共22頁。2. 梯度和偏導(dǎo)數(shù) 二元及多元函數(shù)F(x,y，)的求導(dǎo)FX=gradient(F)FX,FY=gradient(F)=gradient(F,h)8/19/20224第4頁，共22頁。例2求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)% 生成二元函數(shù)v = -2:0.2:2;x,y = meshgrid(v);z = x .* exp(-x.2 - y.2);% 繪制曲面，如圖3-4所示figure(1)mesh(x,y,z);px,py = gradient(z,.2,.2);% 求偏導(dǎo)數(shù)figure(2)contour(v,v,z)% 繪制等高線，如圖3-5所示hold

4、 onquiver(v,v,px,py)% 繪制矢量場圖，小箭頭表示梯度hold off 8/19/20225第5頁，共22頁。數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分基本原理 求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。 它們的基本思想都是將整個(gè)積分區(qū)間a,b分成n個(gè)子區(qū)間xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。8/19/20226第6頁，共22頁。3.7.2 一元函數(shù)的數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法1變步長辛普生（Simpson）法（精度較高，較常使用）基于變步長辛普生法，

5、MATLAB給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時(shí)取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。8/19/20227第7頁，共22頁。函數(shù)部分function f=quad1(x)f=1./(x.3-2*x-5);%編制函數(shù)m文件調(diào)用命令Q = quad(quad1,0,2)% 在同一目錄下，計(jì)算積分值Q = -0.46

6、05 8/19/20228第8頁，共22頁。求定積分。 (1) 建立被積函數(shù)文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S = 0.9008n = 778/19/20229第9頁，共22頁。2. 自適應(yīng)Lobatto法(精度較高，最常使用)q=quadl(fun,a,b)q=quadl(fun,a,b,tol) % 采用內(nèi)聯(lián)函數(shù)形式，第二個(gè)參數(shù)為變量例3-25求Q=sin2x+cosx從2*pi到0的定積分f = inline(sin(2*

7、x)+cos(x).2,x);Q = quadl(f,0,2*pi)% 求取積分值Q = 3.1416訓(xùn)練任務(wù)：請采用編制m函數(shù)求該函數(shù)積分 8/19/202210第10頁，共22頁。3.7.3 多重?cái)?shù)值積分使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)求f(x,y)在a,bc,d區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。8/19/202211第11頁，共22頁。計(jì)算二重定積分(1) 建立一個(gè)函數(shù)文件fxy.m：function f=fxy(x,y

8、)global ki;ki=ki+1; %ki用于統(tǒng)計(jì)被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2) 調(diào)用dblquad函數(shù)求解。global ki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)kiI = 1.57449318974494ki = 1038（3）匿名函數(shù)方法f = (x,y)y*sin(x)+x*cos(y);% 編寫匿名函數(shù)，將句柄賦給fS = dblquad(f,pi,2*pi,0,pi)% 計(jì)算二重積分8/19/202212第12頁，共22頁。3.8 多項(xiàng)式3.8.1 多項(xiàng)式的構(gòu)造 使用行向量表示多項(xiàng)式的系數(shù)，行向量中各元素按多

9、項(xiàng)式次數(shù)從高到低排列。即多項(xiàng)式P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的系數(shù)向量P為an an-1a1 a0。P=poly(A):通過n階方陣A生成特征多項(xiàng)式p,A為特征多項(xiàng)式的根，滿足 P(A)=anAn+an-1An-1+a1A+a0P=poly(r):通過向量r= r1 r2 rn方陣A生成多項(xiàng)式,向量元素為多項(xiàng)式的根，即滿足(x-r1) (x-r2)(x-rn)= anxn+an-1xn-1+a1x+a0S=poly2str(P,s):將多項(xiàng)式系數(shù)行向量表達(dá)形式P轉(zhuǎn)換成變量為s的標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式形式S。8/19/202213第13頁，共22頁。例3-29求多項(xiàng)式r = 1 2 3;

10、% 生成向量rP1 = poly(r)% 計(jì)算根為r的多項(xiàng)式 P1 = 1 -6 11 -6S1 = poly2str(P1,x)% 轉(zhuǎn)換成變量為x的標(biāo)準(zhǔn)形式 S1 = x3 - 6 x2 + 11 x - 6A = magic(3)% 創(chuàng)建3階魔方矩陣 P2 = poly(A)% 計(jì)算方陣的特征多項(xiàng)式 P2 = 1.0000 -15.0000 -24.0000 360.0000S2 = poly2str(P2,s)% 轉(zhuǎn)換成變量為s的標(biāo)準(zhǔn)形式S2 = s3 - 15 s2 - 24 s + 3608/19/202214第14頁，共22頁。3.8.2多項(xiàng)式的運(yùn)算1.多項(xiàng)式的根R=roots(P

11、)：求多項(xiàng)式向量P的根p = 1 -6 -72 -27; % 多項(xiàng)式向量pr = roots(p)% 求多項(xiàng)式的根8/19/202215第15頁，共22頁。2.多項(xiàng)式的值y=polyval(p,x)：計(jì)算多項(xiàng)式向量為p變量為x時(shí)的數(shù)值y，x可以是向量也可以是矩陣?yán)?-31計(jì)算多項(xiàng)式的值p = 3 2 1;% 創(chuàng)建一個(gè)多項(xiàng)式向量x = 5,7,9;% 變量為向量形式y(tǒng)x = polyval(p,x)% 計(jì)算多項(xiàng)式的值 yx = 86 162 262A = pascal(4)% 變量為矩陣形式 A = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20ya = polyval(p

12、,A)% 計(jì)算多項(xiàng)式的值ya = 6 6 6 6 6 17 34 57 6 34 121 321 6 57 321 12418/19/202216第16頁，共22頁。3.多項(xiàng)式的乘法c=conv(u,v)：求向量為u的多項(xiàng)式與向量為v的多項(xiàng)式的乘積c。例3-32求（x2+2x+6）(x3+2)的乘積a = 1 2 6;b = 1 0 0 2;% 生成多項(xiàng)式向量c = conv(a,b)% 計(jì)算乘積 s = poly2str(c,x)% 標(biāo)準(zhǔn)形式表示c = 1 2 6 2 4 12s = x5 + 2 x4 + 6 x3 + 2 x2 + 4 x + 12訓(xùn)練任務(wù): （x4+2x+6）(x3+2

13、x+6)8/19/202217第17頁，共22頁。3.conv,convs多項(xiàng)式乘運(yùn)算例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b) or =conv(1 2 3,4 5 6)c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 188/19/202218第18頁，共22頁。4.多項(xiàng)式的除法c=deconv(v, u)：v為被除數(shù)，u為除數(shù)，q返回商，余數(shù)為r。例3-33求（

14、2x3+4x2+8x+3）(x2+2x+3)v = 2 4 8 3;u = 1 2 3;% 生成多項(xiàng)式向量c = conv(v,u)% 計(jì)算多項(xiàng)式乘積 c = 2 8 22 31 30 9q1,r1 = deconv(c,v)% 求商，整除r1為0，商多項(xiàng)式與u相同 q1 = 1 2 3r1 = 0 0 0 0 0 0q2,r2 = deconv(v,u)% 多項(xiàng)式求商，帶余數(shù)8/19/202219第19頁，共22頁。4.deconv多項(xiàng)式除運(yùn)算a=1 2 3; c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00d=deconv(c,a)d =4.00 5.00 6.00d,r=deconv(c,a)余數(shù)c除a后的整數(shù)8/19/202220第20頁，共22頁。5.多項(xiàng)式微分matlab提供了polyder函數(shù)多項(xiàng)式的微分。命令格式：polyder(p): 求p的微分polyder(a,b): 求多項(xiàng)式a,b乘積的微分p,q=polyder(a,b): 求多項(xiàng)式a,b商的微分例：a=1 2 3 4 5; poly2str(a,x)ans = x4 + 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 5b=polyder(a)b = 4 6 6 4poly2str(b,x)ans =4 x3 + 6 x2 + 6