2022-2023學(xué)年人教A版必修第一冊 第一章 1.4 第2課時充要條件 學(xué)案

1、第一章 集合與常用邏輯用語14充分條件與必要條件第2課時充要條件素養(yǎng)導(dǎo)引1.結(jié)合具體實例，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握必要條件、充分條件和充要條件的綜合判斷(邏輯推理)3.能對充要條件進行證明(邏輯推理)4.能通過充要條件解決簡單的問題(邏輯推理)充要條件命題真假“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題推出關(guān)系既有pq，又有qp，記作pq條件關(guān)系p既是q的充分條件，也是q的必要條件名稱p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件【批注】正確理解充要條件(1)“”具有傳遞性：若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即pq，qs，則有ps，即p是s的充要條件

2、(2)“p是q的充要條件”可以說成“p與q是等價的”“q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立”“q成立必須且只需p成立”診斷1設(shè)xR，則“2x0”是“1x11”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【解析】選B.由1x11，得0 x2，因為0 x2x2，x20 x2，故“2x0”是“1x11”的必要不充分條件2(教材P21例3改編)下列各題中，p是q的充要條件的是_(填序號)(1)p：3x25，q：2x35；(2)p：a2，b2，q：ab；(3)p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形；(4)p：a0，q：關(guān)于x的方程ax1有唯一解【解析】對于(1)，p：x1，q：

3、x1，pq，所以p是q的充要條件；對于(2)，pq，但qp，所以p是q的充分不必要條件；對于(3)，pq，但qp，所以p是q的必要不充分條件；對于(4)，顯然pq，所以p是q的充要條件答案：(1)(4)學(xué)習(xí)任務(wù)一充分、必要條件的綜合判斷(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例】1.(2022南京高一檢測)已知集合Ax|x3k，kN，Bx|x6z，zN，“xA”是“xB”的_條件()A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【解析】選B.因為Ax|x3k，kN，Bx|x6z，zNx|x32z，zN，所以BA，所以“xA”是“xB”的必要不充分條件2(2022滁州高一檢測)下列說法正確的是()A已知a，

4、bR，則“ab1”是“|a|b1”的必要不充分條件B設(shè)p：1x2，q：2x1，則p是q成立的必要不充分條件C“a0”是“a10”的充分不必要條件D若“x1”是“xa”的必要不充分條件，則實數(shù)a的最大值為1【解析】選C.對于A，因為|a|a，所以若ab1，則|a|b1，充分性成立，故A錯誤；對于B，因為x|1x2x|2x1，所以p是q成立的充分不必要條件，故B錯誤；對于C，因為a|a0a|a10，所以“a0”是“a10”的充分不必要條件，故C正確；對于D，若“x1”是“xa”的必要不充分條件，則x|xa1，則不存在這樣的a，故D錯誤判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法(1)定義法：直接判斷

5、“若p，則q”以及“若q，則p”的真假(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要條件也有傳遞性指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”).(1)p：a是自然數(shù)，q：a是正數(shù)；(2)p：0 x3，q：1x3；(3)p：四邊形為矩形，q：四邊形的兩條對角線相等；(4)p：四邊形的對角互補，q：四邊形是圓內(nèi)接四邊形【解析】(1)0是自然數(shù)，但0不是正數(shù)，故pq；又 eq f(1,2) 是正數(shù)，但 eq f(1,2) 不是自然數(shù)，故qp.故p是q的既不充分又

6、不必要條件(2)令A(yù)x|0 x3，Bx|1x3易得AB，所以p是q的充分不必要條件(3)由矩形的性質(zhì)可知，pq，反之，兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，即qp，所以p是q的充分不必要條件(4)由圓內(nèi)接四邊形的判定定理和性質(zhì)可知，pq，所以p是q的充要條件學(xué)習(xí)任務(wù)二充要條件的證明(邏輯推理)【典例】(2022菏澤高一檢測)已知a，b，c均為實數(shù)，證明“ac0”是“關(guān)于x的方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根”的充要條件【解題思維】觀察關(guān)于x的方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根聯(lián)想判別式和根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化先判斷出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要條件的定義得到結(jié)論【證明

7、】設(shè)p：ac0，q：關(guān)于x的方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根(1)充分性(pq)：若ac0成立，則關(guān)于x的方程ax2bxc0的判別式b24ac0，且兩根之積 eq f(c,a) 0，所以關(guān)于x的方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根成立，即充分性成立，(2)必要性(qp)：若關(guān)于x的方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根成立，則兩根之積 eq f(c,a) 0，所以ac0成立，即必要性成立，由(1)(2)可得，“ac0”是“關(guān)于x的方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根”的充要條件充要條件的證明思路(1)根據(jù)充要條件的定義，證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明：充分性：把p當(dāng)作已知條件，結(jié)合

8、命題的前提條件，推出q；必要性：把q當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p.(2)在證明過程中，若能保證每一步推理都有等價性()，也可以直接證明充要性閃問“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？提示：(1)p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論(2)p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論求證：一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點的充要條件是b0.【證明】充分性：如果b0，那么ykx(k0).當(dāng)x0時，y0，所以一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點必要性：因為一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以當(dāng)x0時，y0，即0kb0，所以b0.綜上，一次函數(shù)ykxb

9、(k0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點的充要條件是b0.學(xué)習(xí)任務(wù)三充分、必要條件的綜合應(yīng)用(邏輯推理)【典例】(2022泰州高一檢測)已知p：x20，q：ax40，其中aR且a0.(1)若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍【解題思維】觀察(1)p是q的充分不必要條件(2)p是q的必要不充分條件聯(lián)想用集合的觀點研究充分、必要條件轉(zhuǎn)化(1)p對應(yīng)的集合是q的對應(yīng)的集合的真子集(2)q對應(yīng)的集合是p的對應(yīng)的集合的真子集【解析】設(shè)p對應(yīng)的集合為Ax|x20，即Ax|x2q對應(yīng)的集合為Bx|ax40(1)因為p是q的充分不必要條件，所以AB，即 eq bl

10、c(avs4alco1(a0，,f(4,a)2，) 解得a2，故實數(shù)a的取值范圍為a|a2；(2)因為p是q的必要不充分條件，所以BA.當(dāng)a0時，由BA，得 eq f(4,a) 2，解得0a2；當(dāng)a0時，顯然不滿足題意綜上，實數(shù)a的取值范圍為a|0a2根據(jù)充分條件與必要條件求參數(shù)取值范圍(1)記集合Ax|p(x)，Bx|q(x)；(2)根據(jù)p與q的關(guān)系確定集合A與B的包含關(guān)系；(3)根據(jù)集合A與B的包含關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)；(4)解不等式(組)求出參數(shù)的取值范圍(2022荊州高一檢測)已知集合Ax|2ax2a，Bx|x1或x4(1)當(dāng)a3時，求AB；(2)若“xA”是“xRB”的充分不必要條件，且A，求實數(shù)a的取值范圍【解析】(1