新北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)（全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)梳理、重點(diǎn)題型分類鞏固練習(xí)）（提高版）（家教、補(bǔ)習(xí)、復(fù)習(xí)用）

1、新北師大版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)菱形（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形. 要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件. 要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特

2、殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分. （2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題. 要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上

3、四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)1、如圖所示，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，BEAF60，BAE18求CEF的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】由已知B60，BAE18，則AEC78欲求CEF的度數(shù)，只要求出AEF的度數(shù)即可，由EAF60，結(jié)合已知條件易證AEF為等邊三角形，從而AEF60【答案與解析】 解：連接AC 四邊形ABCD是菱形， ABBC，ACBACF 又 B60， ABC是等邊三角形 BACACB60，ABAC ACFB60 又 EAFBAC60 BAECAF ABEACF AEAF AEF為等邊三角形 AEF60 又 AEFCEFBBAE，BAE18， CEF18【總結(jié)

4、升華】當(dāng)菱形有一個(gè)內(nèi)角為60時(shí)，連接菱形較短的對(duì)角線得到兩個(gè)等邊三角形，有助于求相關(guān)角的度數(shù)在求角的度數(shù)時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系2、（2016龍巖）如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為（）A1B2C3D4【思路點(diǎn)撥】作F點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F，則PF=PF，由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)E、P、F在一條直線上時(shí)，EP+FP有最小值，然后求得EF的長度即可【答案】C【解析】解：作F點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F，則PF=PF，連接EF交BD于點(diǎn)PEP+FP=EP+FP由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F在一條直線上時(shí)，EP+FP的值

5、最小，此時(shí)EP+FP=EP+FP=EF四邊形ABCD為菱形，周長為12，AB=BC=CD=DA=3，ABCD，AF=2，AE=1，DF=AE=1，四邊形AEFD是平行四邊形，EF=AD=3EP+FP的最小值為3故選：C【總結(jié)升華】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱路徑最短問題，明確當(dāng)E、P、F在一條直線上時(shí)EP+FP有最小值是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】（2015春濰坊期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)，如果EO=2，求四邊形ABCD的周長【答案】解：四邊形ABCD為菱形，BO=DO，即O為BD的中點(diǎn)，又E是AB的中點(diǎn)，EO是ABD的中位線，AD=2EO=

6、22=4，菱形ABCD的周長=4AD=44=16 類型二、菱形的判定3、（2014春鄭州校級(jí)月考）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AGBC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿線射BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：ADECDF；（2）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形ACFE是菱形【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，利用AAS即可得證；（2）若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可【答案與解析】（

7、1）證明：AGBC，EAD=DCF，AED=DFC，D為AC的中點(diǎn)，AD=CD，在ADE和CDF中，ADECDF（AAS）；（2）解：若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，則此時(shí)的時(shí)間t=61=6（s）故答案為：6s【總結(jié)升華】此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知，在ABC中，ABAC，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q.求四邊形AQMP的周長；M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由.【答案】解：（1）MQAP，MPAQ，四邊形AQMP是平行四邊形 QMAP又

8、ABAC，MPAQ，2C，PMC是等腰三角形，PMPCQMPMAPPCAC 四邊形AQMP的周長為2（2）M位于BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AQMP為菱形.M位于BC的中點(diǎn)時(shí),易證QBM與PCM全等,QMPM, 四邊形AQMP為菱形類型三、菱形的綜合應(yīng)用4、如圖所示，菱形ABCD中，AB4，ABC60，EAF60，EAF的兩邊分別交BC、CD于E、F (1)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上時(shí)，求CECF的值(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CB、DC的延長線時(shí)，CE、CF又存在怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論【思路點(diǎn)撥】(1)由菱形的性質(zhì)可知ABBC，而ABC60，即聯(lián)想到ABC為等邊三角形，BAC60，又EAF60，所

9、以BAECAF，可證BAECAF，得到BECF，所以CE+CFBC(2)思路基本與(1)相同但結(jié)果有些變化【答案與解析】 解：(1)連接AC 在菱形ABCD中，BCAB4，ABCD ABC60， ABACBC，BACACB60 ACF60，即ACFB EAF60，BAC60， BAECAF ABEACF(ASA)， BECF CECFCEBEBC4(2)CECF4連接AC如圖所示 BACEAF60， EABFAC ABCACD60， ABEACF120 ABAC， ABEACF(ASA)， BECF CECFCEBEBC4【總結(jié)升華】(1)菱形的性質(zhì)的主要應(yīng)用是證明角相等、線段相等、兩直線平行

10、、兩線段互相垂直、互相平分等(2)注意菱形中的60角的特殊性，它讓菱形這個(gè)特殊的平行四邊形變得更加特殊，常與等邊三角形發(fā)生聯(lián)系新北師大版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.下列命題中，正確的是( ) A.兩鄰邊相等的四邊形是菱形B.一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形C.對(duì)角線垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形D.對(duì)角線垂直的四邊形是菱形2. 菱形的周長為高的8倍，則它的一組鄰角是（ ） A.30和150 B.45和135 C.60和120 D.80和1003已知菱形的周長為40，兩條對(duì)角線的長度比為3：4，那么兩條對(duì)角線的長分別為（ ） A6，

11、8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324. （2015青神縣一模）如圖，在菱形ABCD中，ADC=72，AD的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)P，垂足為E，連接CP，則CPB的度數(shù)是（）A.108 B.72 C.90 D.1005. （2016棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，則DH等于（）ABC5D46. 如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，A120，則圖中陰影部分的面積是（）A. B.2 C.3 D.二.填空題7. （2015江西三模）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF若AB=3，則BC的長為 8如圖，已知菱形

12、ABCD，其頂點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為4和1，則BC_.9如圖，菱形ABCD的邊長是2，E是AB中點(diǎn)， 且DEAB，則菱形ABCD的面積為_. 10已知菱形ABCD的周長為20，且相鄰兩內(nèi)角之比是12，則菱形的兩條對(duì)角線的長和面積分別是 11. 如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC8，BD6，過點(diǎn)O作OHAB，垂足為H，則點(diǎn)O到邊AB的距離OH 12.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC12，BD16，E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，小明同學(xué)寫出了兩個(gè)使POE為等腰三角形的P點(diǎn)坐標(biāo)（5，0）和（5，0）請(qǐng)你寫出其余所有符合這個(gè)條件的P點(diǎn)坐標(biāo)_.三.解答

13、題13. （2015建湖縣一模）如圖，ABC中，ACB=60，分別以ABC的兩邊向形外作等邊BCE、等邊ACF，過A作AMFC交BC于點(diǎn)M，連接EM求證：（1）四邊形AMCF是菱形； （2）ACBMCE14. （2016安順）如圖，在ABCD中，BC=2AB=4，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)（1）求證：ABECDF；（2）當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，求出該菱形的面積15如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且滿足AECF2(1)求證：BDEBCF；(2)判斷BEF的形狀，并說明理由；(3)設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍【答案與解析】一.

14、選擇題1.【答案】B；2.【答案】A； 【解析】由題意可知邊長是高的2倍，所以一個(gè)內(nèi)角為30，另一個(gè)內(nèi)角為150.3.【答案】C；【解析】設(shè)兩條對(duì)角線的長為.所以有，所以兩條對(duì)角線的長為12 ，16. 4.【答案】B；【解析】連接PA，如圖所示：四邊形ABCD是菱形，ADP=CDP=ADC=36，BD所在直線是菱形的對(duì)稱軸，PA=PC，AD的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)P，PA=PD，PD=PC，PCD=CDP=36，CPB=PCD+CDP=72；故選：B5.【答案】A.【解析】四邊形ABCD是菱形，AO=OC，BO=OD，ACBD，AC=8，DB=6，AO=4，OB=3，AOB=90，由勾股定

15、理得：AB=5，S菱形ABCD=，DH=，故選A6.【答案】A； 【解析】菱形的高分別是和，陰影部分面積兩個(gè)菱形面積ABD面積DEF面積BGF面積.二.填空題7.【答案】 ； 【解析】AECF為菱形，F(xiàn)CO=ECO，由折疊的性質(zhì)可知，ECO=BCE，又FCO+ECO+BCE=90，F(xiàn)CO=ECO=BCE=30，在RtEBC中，EC=2EB，又EC=AE，AB=AE+EB=3，EB=1，EC=2，BC=.8.【答案】5； 【解析】菱形四條邊相等.9.【答案】； 【解析】由題意A60，DE.10.【答案】5； 【解析】菱形一個(gè)內(nèi)角為60，邊長為5，所以兩條對(duì)角線長為5和，面積為.11.【答案】；

16、【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC12，BD16，E為AD中點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，易求得OE的長，然后分別從當(dāng)OPOE時(shí)，當(dāng)OEPE時(shí)，當(dāng)OPEP時(shí)去分析求解即可求得答案三.解答題13.【解析】證明：（1）ACF是等邊三角形，F(xiàn)AC=ACF=60，AC=CF=AF，ACB=60，ACB=FAC，AFBC，AMFC，四邊形AMCF是平行四邊形，AMFC，ACB=ACF=60，AMC=60，又ACB=60，AMC是等邊三角形，AM=MC，四邊形AMCF是菱形；（2）BCE是等邊三角形，BC=EC，在ABC和MEC中，ABCMEC（SAS）14.【解析】（1）

17、證明：在ABCD中，AB=CD，BC=AD，ABC=CDA又BE=EC=BC，AF=DF=AD，BE=DFABECDF（2）解：四邊形AECF為菱形時(shí)，AE=EC又點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，BE=EC，即BE=AE又BC=2AB=4，AB=BC=BE，AB=BE=AE，即ABE為等邊三角形，ABCD的BC邊上的高可由勾股定理算得為，菱形AECF的面積為215【解析】解：（1）AECF2CDDFCF AEDF，DECF， ABBD AADB60 在BDE與BCF中BDEBCF（2）由（1）得BEBF，EBDCBFEBFEBDDBFDBFCBFCBD60 BEF是等邊三角形 (3)BEF的邊長2新北師大

18、版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)矩形（提高） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點(diǎn)詮釋：矩形定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形；有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件. 要點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸. 要點(diǎn)詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部

19、分.（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.要點(diǎn)三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形. 要點(diǎn)四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三

20、角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.推論：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對(duì)一般三角形不可使用.（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：直角三角形兩銳角互余；直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；直角三角形中30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.【典型例題】類型一、矩形的性質(zhì)1、如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)求證：(1)PBAPCQ30；(2)PAPQ【思路點(diǎn)撥】(1)矩形的四

21、個(gè)內(nèi)角都等于90，利用條件PBC和QCD都是等邊三角形，容易求得PBA和PCQ度數(shù)；(2)利用(1)的結(jié)論以及矩形的性質(zhì)進(jìn)一步證明PABPQC(SAS)，從而證得PAPQ【答案與解析】證明：(1) 四邊形ABCD是矩形， ABCBCD90 PBC和QCD是等邊三角形， PBCPCBQCD60， PBAABCPBC30，PCDBCDPCB30PCQQCDPCD30，故PBAPCQ30(2) 四邊形ABCD是矩形， ABDC PBC和QCD是等邊三角形， PBPC，QCDCAB ABQC，PBAPCQ，PBPC PABPQC， PAPQ【總結(jié)升華】利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時(shí)，針對(duì)

22、問題列出有用的結(jié)論作論據(jù)即可 舉一反三：【變式】如圖所示，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)處，點(diǎn)A落在點(diǎn)處(1)求證：；(2)設(shè)AE，AB，BF，試猜想之間有何等量關(guān)系，并給予證明【答案】證明：(1)由折疊可得 ADBC， ， ， (2)猜想理由：由題意，得，由(1)知在中， ， 2、如圖所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分BAD交BC于E，CAE15，求BOE的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】BOE在BOE中，易知OBE30，直接求BOE有困難，轉(zhuǎn)為考慮證BOBE由AE平分BAD可求BAE45得到ABBE，進(jìn)一步可得等邊AOB有ABOB證得BOBE【答案與解析】解： 四邊形

23、ABCD是矩形， DABABC90，AOAC，BOBD，ACBD AOBO AE平分BAD， BAE45 AEB904545BAE BEAB CAE15， BAO60 ABO是等邊三角形 BOAB，ABO60 BEBO，OBE30 BOE【總結(jié)升華】矩形被每條對(duì)角線分成兩個(gè)直角三角形，被兩條對(duì)角線分成四個(gè)等腰三角形，因此矩形中的計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中去解決類型二、矩形的判定3、（2016濠江區(qū)一模）如圖，在ABCD中，ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F，連接BD（1）求證：ABECDF；（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形【思路點(diǎn)撥】（

24、1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=CD，A=C求出ABD=CDB推出ABE=CDF，根據(jù)ASA推出全等即可；（2）根據(jù)全等得出AE=CF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出ADBC，AD=BC，推出DEBF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出DEB=90，根據(jù)矩形的判定推出即可【答案與解析】證明：（1）在ABCD中，AB=CD，A=CABCD，ABD=CDBBE平分ABD，DF平分CDB，ABE=ABD，CDF=CDBABE=CDF在ABE和CDF中，ABECDF（ASA）（2）ABECDF，AE=CF，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AD=BC，DEBF，DE=BF，

25、四邊形DFBE是平行四邊形，AB=DB，BE平分ABD，BEAD，即DEB=90平行四邊形DFBE是矩形【總結(jié)升華】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力舉一反三：【變式】 （2015春邗江區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AO=CO，BO=DO中，且ABC+ADC=180（1）求證：四邊形ABCD是矩形（2）若ADF：FDC=3：2，DFAC，則BDF的度數(shù)是多少？【答案】（1）證明：A0=C0，B0=D0四邊形ABCD是平行四邊形，ABC=ADC，ABC

26、+ADC=180，ABC=ADC=90，四邊形ABCD是矩形；（2）解：ADC=90，ADF：FDC=3：2，F(xiàn)DC=36，DFAC，DCO=9036=54，四邊形ABCD是矩形，OC=OD，ODC=54BDF=ODCFDC=18類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)4、如圖所示，BD、CE是ABC兩邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點(diǎn) 求證：FGDE【答案與解析】證明：連接EG、DG， CE是高， CEAB 在RtCEB中，G是BC的中點(diǎn)， EGBC，同理DGBC EGDG 又 F是ED的中點(diǎn)， FGDE【總結(jié)升華】直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是依據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等推出來的根據(jù)這個(gè)性質(zhì)

27、又可以推出直角三角形的斜邊上的中線把直角三角形分成了兩個(gè)等腰三角形溫馨提示：若題目中給出直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，常設(shè)法用此性質(zhì)解決問題 舉一反三：【變式】如圖，MON90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB2，BC1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為（）A. B. C. D. 【答案】A；解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD， ODOEDE，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，AB2，BC1，OEAEAB1，DE，OD的最大值為：.新北師大版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)

28、梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. （2015臨沂）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（） AAB=BE BDEDC CADB=90 DCEDE2. 矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1和3兩部分，則它的面積為（ ）A.3B. 4C. 12D. 4或123. 如圖，矩形ABCG(ABBC)與矩形CDEF全等，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，APE的頂點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)，使APE為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( )A.0 B.1 C.2 D.34. 把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊,EM、FM為折

29、痕,折疊后的C點(diǎn)落在BM或BM的延長線上,那么EMF的度數(shù)是( )A.85 B.90 C.95 D.1005如圖，四邊形ABCD中，ABBC，ABCCDA90，BEAD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE( )A.2B.3 C. D.6. （2016荊門）如圖，在矩形ABCD中（ADAB），點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且DE=DA，AFDE，垂足為點(diǎn)F，在下列結(jié)論中，不一定正確的是（）AAFDDCEBAF=ADCAB=AFDBE=ADDF二.填空題7（2016黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ，使四邊形DBCE是矩形8如圖，矩

30、形ABCD中，AB2，BC3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E、F，連結(jié)CE，則CE的長_ 9. 如圖所示，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AOD120，AB4，則矩形對(duì)角線AC長為_10.如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，折痕為AE，且EF3，則AB的長為_. 11.如圖，矩形ABCD中，AB3，BC4，P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，PEAC于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F，則PEPF的值為_. 12.（2015南漳縣模擬）矩形ABCD的A的平分線AE分BC成兩部分的比為1：3，若矩形ABCD的面積為36，則其周長為三.解答題13（2015

31、杭州模擬）已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)G位于對(duì)角線BD上，EG的延長線交邊BC于點(diǎn)F（1）求證：AEED；（2）求證：BEF是等腰三角形；（3）若BEF是正三角形，且AB=1，求EF的長14.已知：如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BEAC于E，DFAC于F，點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，又是EF的中點(diǎn)（1）求證：BOEDOF；（2）若OABD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？說明理由15.已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EFED，EFED求證：AE平分BAD【答案與解析】一.選擇題1.【答案】B；【解析】四邊形ABCD為

32、平行四邊形，ADBC，且AD=BC，又AD=DE，BEBC，且BE=BC，四邊形BCED為平行四邊形，A、AB=BE，DE=AD，BDAE，DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、DEDC，EDB=90+CDB90，四邊形DBCE不能為矩形，故本選項(xiàng)正確；C、ADB=90，EDB=90，DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、CEDE，CED=90，DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選B2.【答案】D； 【解析】矩形的短邊可能是1，也可能是3，所以面積為41或43.3.【答案】C；【解析】當(dāng)BP=AB或BP=BC時(shí)，APE是直角.4.【答案】B；【解析】EMFEMBFMBBMCCMC18090.5【答案】C；

33、 【解析】過點(diǎn)C做BE垂線，垂足為F，易證BAECBF，所以BFAE，BECF，所以總面積AEBECFEF AEBEBE（BEAE），.6.【答案】B.【解析】（A）由矩形ABCD，AFDE可得C=AFD=90，ADBC，ADF=DEC又DE=AD，AFDDCE（AAS），故（A）正確；（B）ADF不一定等于30，直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）錯(cuò)誤；（C）由AFDDCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，AB=AF，故（C）正確；（D）由AFDDCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又BE=BCEC，BE=ADDF，故（D）正確；故選B二.

34、填空題7.【答案】EB=DC【解析】添加EB=DC理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，且AD=BC，DEBC，又DE=AD，DE=BC，四邊形DBCE為平行四邊形又EB=DC，四邊形DBCE是矩形故答案是：EB=DC8.【答案】； 【解析】設(shè)AECE，DE，.9.【答案】8；【解析】由矩形的性質(zhì)可知AOB是等邊三角形， AC2AO2AB810.【答案】6； 【解析】設(shè)ABAF，BEEF3，EC5，則CF4，解得.11.【答案】； 【解析】BD5，利用面積法，PEPFAOD中OD邊上的高.12.【答案】30或10； 【解析】AE平分DAB，DAE=EAB，四邊形ABCD是矩形，AD=

35、BC，DC=AB，ADBC，DEA=BEA，EAB=BEA，AB=BE，設(shè)BE=x，CE=3x，則AD=4x，AB=x，矩形ABCD的面積為36，x4x=36，解得：x=3（負(fù)舍），即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，矩形的周長為：AB+BC+CD+AD=2（3+12）=30；設(shè)BE=3x，CE=x，則AD=4x，AB=3x，矩形ABCD的面積為36，3x4x=36，解得：x=（負(fù)舍），即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，矩形的周長為：AB+BC+CD+AD=2（4+）=10；故答案為：30或10三.解答題13.【解析】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，BAD=90，點(diǎn)A與點(diǎn)G

36、關(guān)于BE對(duì)稱，BE垂直平分AG，BAD=BGE=90，AE=EG在RtEGD中，EDEG，EDAE，即AEED；（2）證明：由（1）知AEB=BEG，又ADBC，AEB=EBF，BEG=EBF，BEF是等腰三角形；（3）解：BEF是正三角形，則AEB=60，BD=2AB=2，ABE=EBG=30，DBC=30，BGEF，EG=GF，BG=GD，又BD=2，設(shè)EF=2x，則 BG=x2x=2，2x=，即EF=14.【解析】（1）證明：BEACDFAC，BEODFO90，點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)，OEOF，又DOFBOE，BOEDOF（ASA）；（2）解：四邊形ABCD是矩形理由如下：BOEDOF，OBO

37、D，又OAOC，四邊形ABCD是平行四邊形，OABD，OAAC，BDAC，ABCD是矩形15.【解析】證明：四邊形ABCD是矩形，BCBAD90，ABCD，BEFBFE90EFED，BEFCED90BFECED又EFED，EBFDCEBECDBEABBAEBEA45EAD45BAEEADAE平分BAD 新北師大版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)正方形（提高） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2掌握正方形的性質(zhì)及判定方法【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.要點(diǎn)詮釋：既是矩形

38、又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2.角四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.要點(diǎn)三、正方形的判定 正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)?/p>

39、線相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：要點(diǎn)五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.要點(diǎn)詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形. （2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.

40、【典型例題】類型一、正方形的性質(zhì)1、（2016哈爾濱）已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQBE于點(diǎn)Q，DPAQ于點(diǎn)P（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)線段，使每對(duì)中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，BAQ=ADP，再根據(jù)已知條件得到AQB=DPA，判定AQBDPA并得出結(jié)論；（2）根據(jù)AQAP=PQ和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷分析【答案與解析】解：（1）正方形ABCDAD=BA，BAD=90，即BAQ+DAP=90DPAQADP+DAP=90BAQ=ADPAQBE于點(diǎn)Q，DPAQ

41、于點(diǎn)PAQB=DPA=90AQBDPA（AAS）AP=BQ（2）AQAP=PQAQBQ=PQDPAP=PQDPBQ=PQ【總結(jié)升華】本題主要考查了正方形以及全等三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握：正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角解題時(shí)需要運(yùn)用：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，以及全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等舉一反三：【變式1】如圖四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長線上，且CEBKAG以線段DE、DG為邊作DEFG (1)求證：DEDG，且DEDG(2)連接KF，猜想四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想【答案】證明：(1) 四邊形ABCD是正方

42、形， DCDA，DCEDAG90 又 CEAG， DCEDAG， EDCGDA，DEDG又 ADEEDC90， ADEGDA90， DEDG (2)四邊形CEFK為平行四邊形證明：設(shè)CK，DE相交于M點(diǎn)， 四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形， ABCD，ABCD，EFDG，EFDG； BKAG， KGABCD 四邊形CKGD為平行四邊形 CKDGEF，CKDGEF 四邊形CEFK為平行四邊形【變式2】如圖，三個(gè)邊長均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是_ 【答案】2；提示：陰影部分面積等于正方形面積的一半.類型二、正方形的判定2、（2015閘北區(qū)模

43、擬）如圖，在RtABC中，BAC=90，AD=CD，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE，DE的延長線與邊BC相交于點(diǎn)F，AGBC，交DE于點(diǎn)G，連接AF、CG（1）求證：AF=BF；（2）如果AB=AC，求證：四邊形AFCG是正方形【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AF=CF，再根據(jù)等角的余角相等可得B=BAF，所以AF=BF（2）由AAS可證AEGCEF，所以AG=CF由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形AFCG是平行四邊形，進(jìn)而證得四邊形AFCG是菱形，最后根據(jù)有一個(gè)角為直角的菱形是正方形得證四邊形AFCG是正方形【答案與解析】證明：（1）AD=CD，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)

44、，DEAC即得DE是線段AC的垂直平分線AF=CFFAC=ACB在RtABC中，由BAC=90，得B+ACB=90，F(xiàn)AC+BAF=90B=BAFAF=BF（2）AGCF，AGE=CFE又點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AE=CE在AEG和CEF中，AEGCEF（AAS）AG=CF又AGCF，四邊形AFCG是平行四邊形AF=CF，四邊形AFCG是菱形在RtABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF即得點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)又AB=AC，AFBC即得AFC=90四邊形AFCG是正方形【總結(jié)升華】本題考查的是正方形的判定方法，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用，判別一個(gè)四

45、邊形是正方形主要是根據(jù)正方形的定義及其性質(zhì) 舉一反三：【變式】（2015春上城區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連結(jié)CF（1）若DG=2，求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若DG=6，求FCG的面積【答案】（1）證明：四邊形EFGH為菱形，HG=EH，AH=2，DG=2，DG=AH，在RtDHG和AEH中，RtDHGAEH，DHG=AEH，AEH+AHG=90，DHG+AHG=90，GHE=90，四邊形EFGH為菱形，四邊形EFGH為正方形；（2）解：作FQCD于Q，連結(jié)GE，如圖，四邊形AB

46、CD為矩形，ABCD，AEG=QGE，即AEH+HEG=QGF+FGE，四邊形EFGH為菱形，HE=GF，HEGF，HEG=FGE，AEH=QGF，在AEH和QGF中，AEHQGF，AH=QF=2，DG=6，CD=8，CG=2，F(xiàn)CG的面積=CGFQ=22=2類型三、正方形綜合應(yīng)用3、E、F分別是正方形ABCD的邊AD和CD上的點(diǎn)，若EBF45(1)求證：AECFEF(2)若E點(diǎn)、F點(diǎn)分別是邊DA、CD的延長線上的點(diǎn)，結(jié)論（1）仍成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并加以證明【答案與解析】證明：（1）延長DC，使CHAE，連接BH， 四邊形ABCD是正方形， ABCH90，又ABBC

47、，CHAE， RtBAERtBCH， 12，BEBH又 13490，445， 1345，2345，在EBF和HBF中， EBFHBF， EFFHFCCHAECF即AECFEF (2)如圖所示：不成立，正確結(jié)論：EFCFAE證明：在CF上截取CHAE，連接BH 四邊形ABCD是正方形， 在RtEAB和RtHCB中， RtEABRtHCB， BEBH，EBAHBC HBC ABH90， EBA ABH90又 EBF45， HBF45，即EBFHBF在EBF和HBF中 EBFHBF， EFFHCFCHCFAE，即EFCFAE 【總結(jié)升華】本題主要考察正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵在于用“

48、截長補(bǔ)短”的方法正確地作出輔助線.4、正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，如圖所示，AE平分BAC交BC于E，交OB于F，求證：EC2FO【思路點(diǎn)撥】在平面幾何中，要證明一條線段等于另一條線段的2倍或，通常采用折半法或加倍法而折半法又可分直接折半法和間接折半法；加倍又可分直接加倍法和間接加倍法這就需要學(xué)生仔細(xì)研究，找到解決問題的合適方法【答案與解析】 證法一：(間接折半法)如圖所示 314，526 而12，4645 35，BEBF 取AE的中點(diǎn)G，連接OG， AOOC， OGEC 由75，83， 78， FOGO EC2OG2FO 證法二：(直接折半法)如圖所示 由證法一得BEBF 取EC的中點(diǎn)H

49、，連接OH AOOC， OHAE BOHBFEBEFBHO BOBH， FOEH EC2EH2FO 證法三：(直接加倍法)如圖所示 由證法一得BEBF在OD上截取OMOF，連接MC易證RtAOFRtCOM OAFOCM， AEMC 由BMCBFEBEFBCM， FMEC ECFM2FO【總結(jié)升華】若題目中涉及線段的倍半關(guān)系和中點(diǎn)問題時(shí)，要聯(lián)想中位線定理，利用中點(diǎn)構(gòu)造中位線，要注意從不同的角度進(jìn)行思構(gòu)，構(gòu)造不同的輔助線來解決問題舉一反三：【變式】在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EFAB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖，易證EGCG，且EGCG (1)將BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針

50、旋轉(zhuǎn)90，如圖，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想(2)將BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，如圖，則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明【答案】解：(1)EGCG，且EGCG(2)EGCG，且EGCG 證明：延長FE交DC延長線于M，連MG，如圖， AEM90，EBC90，BCM90， 四邊形BEMC是矩形 BECM，EMC90， 又 BEEF， EFCM EMC90，F(xiàn)GDG， MGFDFG BCEM，BCCD， EMCD EFCM， FMDM， F45 又FGDG，CMGEMD45， FGMC， GFEGMC， EGCG，F(xiàn)GEMG

51、C， MGDF， FGEEGM90， MGCEGM90即EGC90， EGCG新北師大版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. 在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點(diǎn)E、F、G、H這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有（）A1個(gè) B2個(gè) C4個(gè) D無窮多個(gè)2.（2015南湖區(qū)一模）將四根長度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變當(dāng)B=90時(shí)（如圖甲），測得對(duì)角線BD的長為當(dāng)B=60時(shí)（如圖乙），則對(duì)角線BD的長為（）A. B. C. 2D. 3. 如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E在AB邊上

52、四邊形EFGB也為正方形，設(shè)AFC的面積為S，則 ( ) AS2 BS2.4 CS4 DS與BE長度有關(guān)4. （2016畢節(jié)市）如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（）A3B4C5D65. 如圖，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為，則的值為( ) A.16 B.17 C.18 D.196. 如圖，四邊形ABCD中，ADDC，ADCABC90，DEAB，若四邊形ABCD面積為16，則DE的長為（）A3 B2 C4 D8二.填空題7延長正方形ABCD的BC邊至點(diǎn)E，使CEAC，連結(jié)A

53、E，交CD于F，那么AFC的度數(shù)為_，若BC4，則ACE的面積等于_ 8 在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，EFAC，EGBD，垂足分別為F、G，如果，那么EFEG的長為_9已知：如圖，ABC中，ACB90，點(diǎn)O為ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC，OEAC，OFAB，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是垂足，且BC8，CA6，則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于_ 10.如圖所示，直線經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過頂點(diǎn)B、D作DE于點(diǎn)E、BF于點(diǎn)F，若DE4，BF3，則EF的長為_.11. （2016南京）如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為

54、cm12.（2015潮南區(qū)一模）如圖所示，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以AE為邊作第三個(gè)正方形AEGM，已知正方形ABCD的面積S1=1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3，Sn（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形面積S8=三.解答題13（2015西城區(qū)二模）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)？14.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，CDE是等邊三角形，連結(jié)EB、EA，延長BE交邊AD于點(diǎn)F（1）求證：ADEBCE； （2）求AFB的度數(shù) 15如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從

55、A向B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q(1)試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有ADQABQ；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ADQ的面積是正方形ABCD面積的；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ADQ恰為等腰三角形【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】在正方形四邊上任意取點(diǎn)E、F、G、H，AHDGCFBE，能證明四邊形EFGH為正方形，則說明可以得到無窮個(gè)正方形2.【答案】B； 【解析】解：如圖甲，AB=BC=CD=DA，B=90，四邊形ABCD是正方形，連接BD，則AB2+AD2=BD2，AB=AD=1，如圖乙，

56、B=60，連接BD，ABD為等腰三角形，AB=AD=1，BD=故選B3. 【答案】A；【解析】設(shè)正方形EFGB的邊長是，則S（2） 22（2）2.4.【答案】B【解析】由題意設(shè)CH=xcm，則DH=EH=（9x）cm，BE：EC=2：1，CE=BC=3cm在RtECH中，EH2=EC2+CH2，即（9x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm5.【答案】B； 【解析】設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC，AC2CD，CD.EC，的邊長為3，的面積為339，89176.【答案】C；【解析】如圖，過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長線于F，利用互余關(guān)系可得AFCD，又AEDF90，

57、ADDC，利用AAS可以判斷ADECDF，DEDF，16，DE4二.填空題7【答案】112.5，8； 【解析】AECCEA，AFC9022.5112.5，面積等于.8【答案】5； 【解析】ACBD，EFEGBD5.9【答案】2； 【解析】ODOEOF，可知四邊形ODCE是正方形，設(shè)CDCE，BDBF，AEAF，所以，解得，即O點(diǎn)到三邊的距離.10.【答案】7；【解析】因?yàn)锳BCD是正方形，所以ABAD，BA90，則有ABFDAE，又因?yàn)镈E、BF，根據(jù)AAS易證AFBAED，所以AFDE4，BFAE3，則EF的長7 11.【答案】13.【解析】因?yàn)檎叫蜛ECF的面積為50cm2，所以AC=c

58、m，因?yàn)榱庑蜛BCD的面積為120cm2，所以BD=cm，所以菱形的邊長=cm故答案為：1312.【答案】128； 【解析】根據(jù)題意可得：第n個(gè)正方形的邊長是第（n1）個(gè)的倍；故面積是第（n1）個(gè)的2倍，已知第一個(gè)面積為1；則那么第8個(gè)正方形面積S8=27=128故答案為128三.解答題13.【解析】解：作AD軸于D，作CEx軸于E，如圖所示：則ADO=OEC=90，1+2=90，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），OD=1，AD=，四邊形OABC是正方形，AOC=90，OC=AO，1+3=90，3=2，在OCE和AOD中，OCEAOD（AAS），OE=AD=，CE=OD=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，1）.14.【

59、解析】解：（1）四邊形ABCD是正方形，ADCBCD90，ADBCCDE是等邊三角形，CDEDCE60，DECE ADEBCE30ADBC，ADEBCE，DECE，ADEBCE（2）ADEBCE， AEBE，BAEABEBAEDAE90，ABEAFB90，BAEABE，DAEAFBADCDDE， DAEDEAADE30，DAE75， AFB7515【解析】(1)證明：四邊形ABCD是正方形， ADAB，DACBAC45，AQAQ ADQABQ（SAS）；(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)Q作QE軸于點(diǎn)E，QF軸于點(diǎn)FADQE QE點(diǎn)Q在正方形對(duì)角線AC上 Q點(diǎn)的坐標(biāo)為過點(diǎn)D(0，4

60、)，兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為：，當(dāng)0時(shí)，2，即P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，ADQ的面積是正方形ABCD面積的；(3)若ADQ是等腰三角形，則有QDQA或DADQ或AQAD當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知QDQA此時(shí)ADQ是等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DADQ，ADQ是等腰三角形；如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)到CP時(shí)，有ADAQADBC ADQCPQ又AQDCQP，ADQAQD，CQPCPQCQCPAC，AQAD4CQACAQ4即當(dāng)CP4時(shí)，ADQ是等腰三角形新北師大版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)特殊平行四邊形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講