從銀行貸款問題看非光滑分析理論的應(yīng)用

1、從銀行貸款問題 看非光滑分析理論的應(yīng)用2022/8/191大背景時至今日，我國進(jìn)入世界貿(mào)易組織WTO已經(jīng)五周年，我國金融業(yè)與國際接軌的寬限期已經(jīng)結(jié)束，溫家寶總理最近簽署了有關(guān)開放外資銀行經(jīng)營人民幣業(yè)務(wù)的法令。由于我國長期實(shí)行計劃經(jīng)濟(jì)，在很長的時期里，銀行的功能實(shí)際上充當(dāng)了財政的出納，而自身的經(jīng)濟(jì)效益反而放到次要地位。銀行在信貸業(yè)務(wù)方面長期積累的的呆帳、壞帳比例曾一度達(dá)到國際上公認(rèn)的“技術(shù)性破產(chǎn)”水平。自從改革開放以來，銀行系統(tǒng)的體制改革至少是在形式上，已經(jīng)步入了商業(yè)化軌道。經(jīng)過最近幾年的試點(diǎn)，2005年1月6日，國務(wù)院公布了中國建設(shè)銀行和中國銀行實(shí)施股份制改造試點(diǎn)，并注資450億美元，集中消化

2、了兩行財務(wù)上的歷史包袱，邁開了股份制改造、將兩行辦成現(xiàn)代商業(yè)銀行改革的實(shí)質(zhì)性步伐。此后，工行和建行也陸續(xù)跟進(jìn)。2022/8/192問題的提出無庸諱言，商業(yè)銀行的所有經(jīng)營活動都是以經(jīng)濟(jì)效益為第一優(yōu)先考慮的。銀行的經(jīng)濟(jì)效益的主體部分是通過存、貸利率差實(shí)現(xiàn)的。因此，如何向客戶(企業(yè)和個人)發(fā)放貸款，使之獲得最大收益就成為一個熱點(diǎn)研究課題。我們在這里提出一條思路：使用最優(yōu)化方法。這里介紹的方法，有可能制作成軟件包，成為投資決策系統(tǒng)的一部分。問題：某銀行有一筆總額為a的資金，將其貸給n個客戶，假設(shè)第i個客戶獲得的貸款金額為 xi。如何安排這些 xi，可以使銀行獲得最大經(jīng)濟(jì)效益？2022/8/193建立數(shù)

3、學(xué)模型如果第i個客戶用貸款xi去從事生產(chǎn)、經(jīng)營活動，所獲收益為Ri(xi)，則銀行的決策者面臨如下的非線性最優(yōu)化問題： 2022/8/194目標(biāo)函數(shù)的凹性假設(shè)在模型(P)中，可行集顯然是凸集；然而，要求目標(biāo)函數(shù)是凹函數(shù)，我們需要一個合理的假設(shè)。假設(shè)：客戶的收益與貸 款金額成正比，或者客 戶的收益與貸款金額間 存在某種飽和趨勢（分 別如右圖的半直線和曲 線）。這兩種情況都決定了函 數(shù)Ri(xi)是凹的。xiRi(xi)O2022/8/195凸規(guī)劃這樣一來，我們的非線性規(guī)劃模型(P)是一個凸規(guī)劃問題（可行集為凸集，極大化一個凹目標(biāo)函數(shù)）。理論上，我們的銀行放款問題已經(jīng)完滿解決：求解一個非線性凸規(guī)劃

4、問題！然而，在實(shí)踐中，我們面臨兩大難題：一方面，每個客戶的收益函數(shù)Ri(xi)銀行方很難掌握；另一方面，當(dāng)客戶數(shù)量 n 較大時，計算量是難以忍受的。2022/8/196分散化銀行的決策者使用利率杠桿，將“權(quán)力”下放，實(shí)現(xiàn)“分散化”處理的目的。設(shè)銀行貸款利率為* ，對于每個客戶，他們只需按自己的效益最大化原則來決定自己的貸款金額。這樣，剛才的問題分散化為 n 個獨(dú)立的最優(yōu)化問題(模型中的* 實(shí)際上是 (1+ *)：2022/8/197困 難這些問題的個數(shù)雖多，但都是單變量凸規(guī)劃問題，且每個問題都由一個企業(yè)來解。因此，實(shí)際上問題已經(jīng)大大簡化?，F(xiàn)在的新問題在于：提出怎樣的利率*，使得這筆資金仍能達(dá)到

5、最優(yōu)分配，即仍能達(dá)到總收益最大這一目標(biāo)？從直觀上可以看出，如果*定得過高，企業(yè)都不大愿意貸款，資金得不到充分利用；但如果定得過低，又會使企業(yè)貸款欲望膨脹，對于單個客戶，他們不會考慮銀行資金總額的限制，因此，有可能突破總金額a的上限。2022/8/198分散化參數(shù)：Lagrange乘子不過，銀行方可以動用利率杠桿，既控制客戶的貸款欲望，又使資金充分利用。下面我們斷言：滿足要求的（最優(yōu)）利率*，正是不等式約束 等價地 的Lagrange乘子。2022/8/199問題(P)的部分無約束化撇開一些簡單的變換，可以看出如果*是對應(yīng)于約束條件 的Lagrange乘子* ，則問題(P)等價于下面的問題(PL

6、)： 這里的L(x, *)是問題(P)的部分Lagrange函數(shù)(注意：問題(P)是極大化目標(biāo)函數(shù)，因此，L(x, *)的后一項(xiàng)是減號)。2022/8/1910資金的“影子價格”(PL)的目標(biāo)函數(shù)： 正是將約束條件 取消后對原問題(P)的目標(biāo)函數(shù)的懲罰(也就是罰函數(shù))。事實(shí)上，破壞約束條件后， 是正項(xiàng)，*越大， (PL)的最優(yōu)目標(biāo)值越小。而Lagrange乘子* 則是因?yàn)槠茐募s束條件應(yīng)付出的單位代價（這就是資金的“影子價格”）。2022/8/1911如何求最優(yōu)利率 * ？因?yàn)?PL)(P)，所以不要指望通過(PL)來求*。我們將模型(PL)中的*看成變量0，則對任意固定的, (PL)的解是：這

7、個解實(shí)際上是懲罰單位為時，原問題(PL)的近似解(此時的不一定是問題(PL)的*)。2022/8/1912如何求最優(yōu)利率 * ？續(xù)1要使約束條件 全部起作用，應(yīng) 該使懲罰項(xiàng)達(dá)到最大(相當(dāng)于違反交 通規(guī)則的罰款，你罰到他傾家蕩產(chǎn)) ！觀察 的表達(dá)式，要使懲罰項(xiàng) 就應(yīng)該使2022/8/1913如何求最優(yōu)利率 * ？續(xù)2綜上分析，求*的問題，歸結(jié)為求解關(guān)于決策變量的一個帶非負(fù)約束的極小化問題：2022/8/1914如何求最優(yōu)利率 * ？續(xù)3注意到 是凹函數(shù)， 是仿射函數(shù)，因而 仍然是凹函數(shù)。于是上確界 存在，且是關(guān)于變量的仿射函數(shù)。因而，問題(P)是一個單變量凸規(guī)劃問題，理論上是容易求解出*的。 2

8、022/8/1915還有困難細(xì)心的聽眾一定可以看出，問題 依然含有銀行方很難掌握的每個客戶的收益函數(shù)Ri(xi)。進(jìn)一步的簡化，需要用到不可微優(yōu)化和數(shù)學(xué)規(guī)劃擾動問題理論方面的知識。2022/8/1916凸規(guī)劃問題的擾動問題考慮凸規(guī)劃問題(P)：記 a=(a 1, a p)T ，b=(b 1, b q)T，稱為問題(P)的擾動問題，記為(pa,b)。2022/8/1917擾動問題解函數(shù)的凸性對于擾動問題(pa,b)，我們記它的(最優(yōu)目標(biāo))值為V=V(a,b)。顯然，可以將其看成是擾動向量 (a,b) 的函數(shù)。我們有如下的重要定理 定理：設(shè) f，g1 , , gp為線性空間X上的凸函數(shù),h1 ,

9、, hq為X上的仿射函數(shù),V=V(a,b) 為問題(pa,b)的值，那么V是RpRq上的凸函數(shù)。證明1.doc2022/8/1918函數(shù)V=V(a,b)的獲得注意到函數(shù)V=V(a,b)是擾動問題(pa,b)的(最優(yōu)目標(biāo))值，而問題(pa,b)實(shí)際上是參數(shù)規(guī)劃，參數(shù)為(a,b)RpRq。由此可見，獲得V(a,b)的解析表達(dá)式并非易事。操作性較強(qiáng)的辦法是取足夠多的參數(shù)(a,b)，求解相應(yīng)的(Pa,b)。用數(shù)理統(tǒng)計中的非線性回歸分析(曲線擬合)獲得V=V(a,b)的估計 。 2022/8/1919凸函數(shù)的次微分設(shè)X為Hausdorff 拓?fù)湎蛄靠臻g，X *為X 的拓?fù)鋵ε伎臻g，f : XR為X上的凸

10、函數(shù)，集合 稱為 f 在 xX處的次微分， 稱為 f 在 xX處的次梯度。特別，當(dāng) f 是可微函數(shù)時，次梯度就是通常的梯度或?qū)?shù)，次微分就是這個梯度或?qū)?shù)組成的單元集。2022/8/1920凸規(guī)劃擾動問題最優(yōu)解V=V(a,b)的凸性和次可微性定理進(jìn)一步，我們還有： 定理：設(shè)問題 的Lagrange乘子存在，且 為 的Lagrange乘子的全體（注意： 不一定是單元集）。那么V=V(a,b)是RpRq上的真凸函數(shù)，且它在 處次可微，其次微分為： 證明2.doc2022/8/1921方向可導(dǎo)設(shè)X為拓?fù)湎蛄靠臻g，f : XR+為X上的真凸函數(shù)。方向?qū)?shù)：如果極限存在，則稱 f 在 x 處沿方向 h

11、是方向可導(dǎo)的，且稱 為 f 在 x 處沿方向 h 的方向?qū)?shù) 。2022/8/1922Gteaux可導(dǎo)設(shè) f : XR+為X上的任意函數(shù)。如果對于xint(dom f)，剛才定義的 對任何方向h都存在，且存在 x*X* ，滿足 則稱 f 在 x 處 Gteaux 可導(dǎo)，x* 稱為其Gteaux 導(dǎo)數(shù)，并記作x*=f(x)。2022/8/1923Gteaux可導(dǎo)的條件充分條件：設(shè) f 是拓?fù)湎蛄靠臻g X 上的真凸函數(shù)，且 f 在 xdom f 處連續(xù)。如果 對任何方向 hX 都存在，則 f 在 x 處是 Gteaux 可導(dǎo)的。充要條件：設(shè) f 是拓?fù)湎蛄靠臻g X 上的真凸函數(shù)，且 f 在 xdo

12、m f 處連續(xù)。則f 在 x 處Gteaux可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng) 為單元集。顯然，對于(多元)實(shí)值可微函數(shù)f(x)，總是Gteaux 可導(dǎo)的。2022/8/1924V=V(a,b)的Gteaux可導(dǎo)性凸規(guī)劃擾動問題最優(yōu)解V=V(a,b)的凸性和次可微性定理對于解決我們的問題特別重要，因?yàn)橛伤虶teaux可導(dǎo)的充要條件可以得到如下的(證明3.doc) 推論：如果問題 有唯一的Lagrange乘子 ，那么V在 處Gteaux可導(dǎo)，即 2022/8/1925回到問題(P)的求解(1)令 如果各個企業(yè)的總收益 與資金總量 的關(guān)系是已知的，則函數(shù)f ()是關(guān)于變量的已知（凸）函數(shù)。于是，我們想求解的問題(P)

13、化為求解單變量凸規(guī)劃問題 (P) 推導(dǎo)4.doc 2022/8/1926說 明對于地區(qū)或行業(yè)，各個企業(yè)的總收益與貸出資金總量的關(guān)系通常是由金融專家們按金融學(xué)和統(tǒng)計數(shù)據(jù)測算出來的。在數(shù)學(xué)上，使用的方法多為數(shù)理統(tǒng)計中的非線性回歸分析(曲線擬合)。2022/8/1927回到問題(P)的求解(2)利用剛才討論的結(jié)果，我們要求解擾動問題(Pa)： 設(shè)(Pa)的最優(yōu)解為V=V(a)。使用前面提到的推論：當(dāng)問題(Pa)有唯一的Lagrange乘子 時，我們要求的最優(yōu)利率 可以按 來計算。2022/8/1928結(jié) 論由剛才的討論我們知道，問題(P)的求解竟然轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈹_動問題(Pa)，在獲得最優(yōu)解的表達(dá)式V=V(a)后，再利用剛才的極限式，可以獲得最優(yōu)利率 。綜上，我們最終知道：最優(yōu)利率*的計算是容易的；而且所需的信息量比求解原問題，包括最原始的大規(guī)模非線性規(guī)劃問題(P)和后來的分散化問題(Pi)以及關(guān)于決策變量的一個帶非負(fù)約束的極小化問題(P)，都要少得多。2022/8/1929多目標(biāo)的情形標(biāo)量a可以推廣到向量a = (a1, a2, , ap)T。這樣，可供投入的不僅有資金，還有各類生產(chǎn)資料，其總量分別為： a1, a2, , ap 。單目標(biāo)非線性規(guī)