《變量與函數(shù)》教案 精華版

1、變量與函數(shù)教案一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容變量與常量的概念，函數(shù)的概念，函數(shù)解析式的概念2內(nèi)容解析函數(shù)是研究運動變化的重要數(shù)學模型，它來源于客觀實際，又服務于客觀實際本節(jié)課是函數(shù)的起始課，在這里學生初步接觸了變量的概念，函數(shù)的定義，也為以后學習一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的內(nèi)容打下基礎本節(jié)課內(nèi)容不但對培養(yǎng)學生比較、分析、概括的思維能力有作用，而且對培養(yǎng)學生運動變化等辨證唯物主義觀點和形成良好的個性品質(zhì)也有一定的幫助本節(jié)課首先從幾個實際問題情境入手，引導學生通過填表和列式表示問題中相關的量，從中認識常量和變量的主要特征，學會區(qū)別它們；接著，教科書通過“歸納”欄目總結(jié)出這些問題中變量之間關系的共同特

2、點，即“問題中的兩個變量互相聯(lián)系，當其中一個變量取定一個值時，另一變量就有唯一確定的值與其對應”教科書又繼續(xù)用心電圖、人口統(tǒng)計表等問題對這種變化與對應關系進行了補充和強化，這也為后面歸納多種函數(shù)表示法埋下伏筆在此基礎上，教科書第一次給出了函數(shù)的一般概念以及自變量、函數(shù)值等概念，從而初步建立函數(shù)的概念，并給出函數(shù)的解析式的意義所以，本節(jié)課的重點是了解變量與常量的意義，概括并理解函數(shù)概念中的單值對應關系，用解析法和列表法表示函數(shù)關系，確定簡單實際問題的自變量取值范圍和函數(shù)值二、目標和目標解析1目標（1）了解變量與常量的意義（2）概括并理解函數(shù)概念中的單值對應關系（3）用解析法和列表法表示函數(shù)關系，

3、確定簡單實際問題的自變量取值范圍和函數(shù)值2目標解析達成目標（1）的標志是：在充分體會運動變化過程中數(shù)量變化的基礎上，領會變量與常量的含義達成目標（2）的標志是：探究在一個運動變化過程中變量之間的對應關系，在觀察具體問題中變量之間對應關系的基礎上，抽象出函數(shù)的概念達成目標（3）的標志是：在學習函數(shù)概念的基礎上，進一步討論函數(shù)的自變量取值范圍，用解析法和列表法表示函數(shù)關系，初步體會用函數(shù)描述和分析運動變化規(guī)律三、教學問題診斷分析本節(jié)課中函數(shù)概念的表述比較抽象，含義深刻，學生往往不能一下子就能從其定義的文字真正地理解它的內(nèi)涵，因而把握不準函數(shù)的本質(zhì)教學時不要急于給出定義，而需要讓學生經(jīng)歷分析具體問題

4、中變量之間存在什么樣的具體對應關系的過程，并引導學生發(fā)現(xiàn)這些關系的共同之處都是單值對應通過對多個問題的分析，歸納出各問題中都具有相關的兩個變量，這兩個變量間都具有一個變量隨另一個變量而變，而且是單值對應關系在具體積累到一定程度上，再給出函數(shù)的定義有了定義后，還需要適當?shù)卦儆镁唧w的例子對定義加以解釋所以本節(jié)課的難點是探究在一個運動變化過程中變量之間的對應關系，在觀察具體問題中變量之間對應關系的基礎上，抽象出函數(shù)的概念四、教學過程設計（一）變量與常量的概念1出示問題，創(chuàng)設情境（1）汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛路程為s km，行駛時間為t h填寫下表，s的值隨t的值的變化而變化嗎？（2）

5、電影票的售價為10元/張，第一場售出150張票，第二場售出205張票，第三場售出310張票，三場電影的票房收入各多少元設一場電影售出x張票，票房收入為y元，y的值隨x的值的變化而變化嗎？（3）你見過水中漣漪嗎？圓形水波慢慢擴大，在這一過程中，當圓的半徑r分別為10 cm，20 cm，30 cm時，圓的面積S分別為多少？S的值隨r的值的變化而變化嗎？（4）用10 m長的繩子圍一個矩形，當矩形的一邊長x分別為3 m，3.5 m，4 m，4.5 m時，它的鄰邊長y分別為多少？y的值隨x的值的變化而變化嗎？2解決問題，形成概念針對上述問題，教師可以進行問題分解，學生以小組合作的形式完成問題1：分別指出

6、問題（1）（4）的變化過程中所涉及的量，在這些量中哪些量是發(fā)生了變化的？哪些量是始終不變的？（1）涉及的量有：速度、時間和路程，其中時間和路程發(fā)生了變化，速度始終不變；（2）涉及的量有：票價、張數(shù)和票房收入，其中張數(shù)和票房收入發(fā)生了變化，票價始終不變；（3）涉及的量有：圓周率、半徑和面積，其中半徑和面積發(fā)生了變化，圓周率始終不變；（4）涉及的量有：矩形的周長、邊長和鄰邊長，其中邊長和鄰邊長發(fā)生了變化，矩形的周長始終不變問題2：在問題（1）（4）的變化過程中，發(fā)生變化的量有限制條件嗎？如何限制？變化過程中，發(fā)生變化的量要符合實際問題的意義如（1）中的時間t就不能為負數(shù)，（2）中票的張數(shù)x就只能為

7、自然數(shù)問題3：請給上述問題（1）（4）中發(fā)生了變化的量和始終不變的量起一個恰當?shù)拿Q在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量問題4：在一個變化過程中，理解變量、常量的關鍵詞是什么？在同一個變化過程中，理解變量與常量的關鍵詞分別是：發(fā)生了變化和始終不變3鞏固應用，掌握概念指出下列變化過程中的變量和常量：（1）汽油的價格是7.4元/升，加油x升，車主加油付油費y元；（2）小明看一本200頁的小說，看完這本小說需要t天，平均每天所看的頁數(shù)為n；（3）用長為30 cm的繩子圍矩形，圍成的矩形一邊長為x cm，其面積為S 答案：（1）變量x，y；常量7.4（2）變量t，n；

8、常量200（3）變量x，S；常量30設計意圖：從幾個實際問題情境入手，引導學生通過填表和列式表示問題中相關的量，從中認識常量和變量的主要特征，并學會區(qū)別它們，也為后面學習函數(shù)的概念做準備（二）函數(shù)的概念1繼續(xù)探究上面（一）中出示的問題（1）（4）中是否各有兩個變量？同一問題中的變量之間有什么聯(lián)系？也就是說當其中一個變量確定一個值時，另一個變量是否隨之確定一個值呢？首先，師生一起分析變化過程（1）中變量之間的關系問題（1）中有兩個變量t、ss是怎樣隨t的具體變化而變化呢？用數(shù)值進行說明當t的值取定后，s的值有一個并且只有一個也就是說，當t取定一個值時，s有唯一確定的值與其對應然后，教師引導學生類

9、比問題（1）中變量之間的關系的分析，對問題（2）（3）（4）進行分析，并得出結(jié)論：變化過程（1）有兩個變量t、s，當t取定一個值時，s有唯一確定的值與其對應變化過程（2）有兩個變量x、y，當x取定一個值時，y有唯一確定的值與其對應變化過程（3）有兩個變量r、S，當t取定一個值時，S有唯一確定的值與其對應變化過程（4）有兩個變量x、y，當x取定一個值時，y有唯一確定的值與其對應2歸納小結(jié)由以上探究我們可以歸納這樣的結(jié)論：上面每個問題中的兩個變量互相聯(lián)系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應3再次討論其實，在一些用圖或表格表達的問題中，也能看到兩個變量間的關系我們來看下面

10、兩個問題，通過觀察、思考、討論后回答：（1）下圖是體檢時的心電圖其中橫坐標x表示時間，縱坐標y表示心臟部位的生物電流，它們是兩個變量在心電圖中，對于x的每個確定的值，y都有唯一確定的對應值嗎？（2）在下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份與人口數(shù)可以記作兩個變量x與y對于表中每個確定的年份x，都對應著一個確定的人口數(shù)y嗎？通過觀察不難發(fā)現(xiàn)在問題（1）的心電圖中，對于x的每個確定值，y都有唯一確定的值與其對應；在問題（2）中，對于表中每個確定的年份x，都對應著一個確定的人口數(shù)y4形成概念一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x

11、是自變量，y是x的函數(shù)如果當xa時，yb，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值據(jù)此可以認為：上面問題（1）中時間t是自變量，路程s是t的函數(shù)當t1時的函數(shù)值s60；當t2時的函數(shù)值s120；當t2.5時的函數(shù)值s150；同樣地，在以上心電圖問題中，時間x是自變量，心臟部位的生物電流y是x的函數(shù)；在人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份x是自變量，人口數(shù)y是x的函數(shù)當x2 010時，函數(shù)值y13.71億從上面的學習中可知許多問題中的變量之間都存在函數(shù)關系5鞏固概念下圖是一只螞蟻在豎直的墻面上的爬行圖，請問：螞蟻離地高度h是離起點的水平距離t的函數(shù)嗎？為什么？螞蟻離起點的水平距離t是離地高度h的函數(shù)嗎？為什么？學生

12、獨立思考后，小組討論，師生共同得出答案：螞蟻離地高度h不是離起點的水平距離t的函數(shù)，因為在螞蟻爬行過程中雖有兩個變量t、h，但當t取定一個值時，h有多個值與其對應螞蟻離起點的水平距離t是離地高度h的函數(shù)，因為在螞蟻爬行過程中有兩個變量t、h，當h取定一個值時，t有唯一確定的值與其對應設計意圖：通過具體問題，探究在一個運動變化過程中變量之間的對應關系，在觀察具體問題中變量之間對應關系的基礎上，抽象出函數(shù)的概念（三）例題解析例汽車油箱中有汽油50 L如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km（1）寫出表示y與x的函數(shù)關系的式子；

13、（2）指出自變量x的取值范圍；（3）汽車行駛200 km時，油箱中還有多少汽油？解：（1）行駛路程x是自變量，油箱中的油量y是x的函數(shù)行駛路程為x時耗油為：0.1x油箱中的油量為：500.1x所以函數(shù)關系式為：y500.1x（2）僅從式子y500.1x看，x可以取任意實數(shù)，但是考慮到x代表的實際意義是行駛路程，所以不能取負數(shù)，并且行駛中耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現(xiàn)有汽油50 L，即0.1x50，x500因此自變量x的取值范圍是：0 x500（3）汽車行駛200 km時，油箱中的汽油量是函數(shù)y500.1x在x200時的函數(shù)值將x200代入y500.1x，得y500.120030即汽車行駛

14、200 km時，油箱中還有30 L汽油像y500.1x這樣，用關于自變量的數(shù)學式子表示函數(shù)與自變量之間的關系的式子，叫做函數(shù)的解析式，它是描述函數(shù)的常用方法設計意圖：通過例題的講解，讓學生學會用解析法表示函數(shù)關系，使學生在探索、歸納求函數(shù)自變量取值范圍的過程中，增強數(shù)學建模意識；聯(lián)系求代數(shù)式的值的知識，探索求函數(shù)值的方法（四）課堂練習1下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？試寫出函數(shù)的解析式（1）改變正方形的邊長x，正方形的面積S隨之改變（2）秀水村的耕地面積是，這個村人均占有耕地面積y（單位：m2）隨這個村人數(shù)n的變化而變化2求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍（1）y3x1；（2）；（

15、3）；（4）學生獨立完成答案：1（1）正方形的邊長x是自變量，正方形的面積S是x的函數(shù)函數(shù)關系式：（2）這個村人口數(shù)n是自變量，人均占有耕地面積y是n的函數(shù)函數(shù)關系式：2（1）x取任意實數(shù)；（2）x取任意實數(shù)；（3）x2；（4）x2點撥：一般來說，自變量的取值范圍是使式子有意義的值，對于上述的第（1）（2）兩題，x取任意實數(shù)，這兩個式子都有意義，而對于第（3）題，(x2)必須不等于0式子才有意義，對于第（4）題，(x2)必須是非負數(shù)式子才有意義設計意圖：通過練習，加強對自變量、函數(shù)等概念的理解，掌握用解析式法表示變量間的單值對應以及函數(shù)自變量取值范圍的確定（五）課堂小結(jié)（1）在一個變化過程中，

16、什么是變量？什么是常量？舉一個運動變化的例子并指出其變量和常量（2）在一個變化過程中，對于變量x和y而言，滿足什么對應關系時，y才是x的函數(shù)？兩個變量滿足“一對多”的關系是函數(shù)嗎？并舉例說明對函數(shù)概念中“對于x的每個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應”的認識（3）函數(shù)的表示方法有哪些？自變量的取值范圍如何確定？受哪些因素的限制？如何確定函數(shù)值？設計意圖：通過小結(jié)，使學生梳理本節(jié)所學內(nèi)容，加深對函數(shù)等概念的理解（六）布置作業(yè)1每個同學購買一支鋼筆，每支筆5元，求總金額y（元）與學生人數(shù)n（個）的函數(shù)關系，并指出關系式中的函數(shù)與自變量，寫出自變量的取值范圍設計意圖：考查函數(shù)的概念和表示以及求自變

17、量的取值范圍2列出下列問題的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍：（1）如圖，在直角三角形ABC中，C90，銳角A的度數(shù)y與另一銳角B的度數(shù)x的關系；（2）某20層高的大廈底層高4.8米，以上各層高3.2米，第n層樓頂?shù)母叨萮（米）與n的函數(shù)關系設計意圖：考查函數(shù)的概念和表示以及求自變量的取值范圍3一水管以均勻的速度向容積為100立方米的空水池中注水，注水的時間t與注入的水量Q如下表：請從表中找出t與Q之間的函數(shù)關系式，且求當t5分15秒時，水池中的水量Q的值設計意圖：考查函數(shù)的概念和表示以及求函數(shù)值作業(yè)答案：1y5n，n是自變量，y是n的函數(shù)自變量n的取值范圍是：n為自然數(shù)2（1）y90 x，0 x90（2）h3.2（n1）4.8，n是不大于20的正整數(shù)3解：水管是勻速流出水于池中，速度是(42)2，即每分鐘2立方米，函數(shù)解析式為Q2t，自變量t為非負數(shù)又水池容積為100立方米，時間不能超過100250(分鐘)，0t50當t5分15秒時，Q2，即當t為5分15秒時，水量為立方米五、目標檢測設計1在ABC