2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)第十七講-集合與簡易邏輯-17.2簡易邏輯

1、邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門學(xué)科數(shù)學(xué)和邏輯的關(guān)系非常密切，在此，對(duì)邏輯知識(shí)做一些初步介紹1推出關(guān)系如果設(shè)A=xx是4的倍數(shù)，B=xx是2的倍數(shù)，則A中元素具有性質(zhì)4的倍數(shù)；B中元素具有性質(zhì)2的倍數(shù)我們知道：如果某元素x是4的倍數(shù)，那么x一定是2的倍數(shù)，即具有性質(zhì)一般地說，如果具有性質(zhì)的元素也具有性質(zhì)，我們便說由推下面再舉一個(gè)例子2命題和證明(1)命題和逆命題人們?cè)谒季S活動(dòng)中，經(jīng)常要對(duì)客觀事物做出判斷例如：(i)雪是白的；(ii)如果1和2是對(duì)頂角，那么1=2；(iii)3+4=6；上述所列都是對(duì)客觀事物做出判斷的語句人們對(duì)客觀事物的情況做出判斷可能是正確的(真)，也可能是

2、錯(cuò)誤的 (假)我們把肯定或否定的判斷語句叫作命題上述語句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命題關(guān)于命題的真假性，有些容易判斷，如(i)，(ii)是真命題，(iii)是假命題但對(duì)(iv)的真假性就不是顯然可判斷的可通過設(shè)x=1，y=0(xy)，那么因此，命題(iv)為假命題(注意：證明一個(gè)命題為真命題，必須通過邏輯推演，但要證明一個(gè)命題為假命題只須舉出一個(gè)反例即可)數(shù)學(xué)命題具有多種形式，經(jīng)常采用的命題形式是“若，則”，“如果，那么”命題“若，則”或是真命題，或是假命題，二者必居其一“若當(dāng)由不可能推出時(shí)，“若，則”便是假命題在命題“若，則”中，叫作這個(gè)命題的條件，叫作這個(gè)命題的結(jié)論如果將命

3、題“若，則”的條件和結(jié)論互換，就得到一個(gè)新命題“若，則”，這兩個(gè)命題之間具有互連關(guān)系，其中一個(gè)叫作原命題時(shí)，則另一個(gè)命題就叫作這個(gè)原命題的逆命題當(dāng)“如果，則”為真命題時(shí)，它的逆命題“如果，則”不一定是真命題例如：(i)“如果23=6，那么63=2”是真命題它的逆命題“如果63=2，那么23=6”也是真命題(ii)“若a=0并且b=0，則ab=0”是真命題，但它的逆命題“若ab=0，則a=0并且b=0”就不是真命題(iii)“如果1，2是對(duì)頂角，那么1=2”是真命題，但它的逆命題“1=2，那么1，2是對(duì)頂角”就是假命題(2)證明我們要說明“若，則”是真命題時(shí)，以什么方式來推證呢？最常用的基本格式

4、就是推出關(guān)系的傳遞性，即：如果那么例如，(i)若1和2是對(duì)頂角，對(duì)頂角相等，則 1=2(ii) 張三是人，凡人必有死，所以張三必有死上述推理格式叫作三段論式，推理中的，是兩個(gè)前提條件，叫小前提，叫大前提，是由，推出的結(jié)論實(shí)際上，三段論式和推出關(guān)系的傳遞性是一致的例如“對(duì)頂角相等”的證明過程，可以像下面這樣來理解已知：1是2的對(duì)頂角(圖2-98)，求證：1=2證從上述證明過程可知，要證明“若，則”，我們先設(shè)法找出一應(yīng)用已經(jīng)被確認(rèn)的正確命題和已知條件作根據(jù)，經(jīng)過推演，導(dǎo)出某一命題成立，這種方法就叫作演繹推理法(簡稱演繹法)演繹法是證明數(shù)學(xué)問題的重要方法 a2b2c2(a+b-c)2=a2+b2+c2.例2 某校數(shù)學(xué)競賽，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G， H八位同學(xué)獲得了前八名，老師叫他們猜一下誰是第一名A說： “或者F，或者H是第一名”B說：“我是第一名”C說：“G是第一名”D說：“B不是第一名”E說：“A說的不對(duì)”F說：“我不是第一名”G說：“C不是第一名”H說：“我同意A的意見”老師說八個(gè)人中有三人猜對(duì)了，那么試問第一名是誰？分解與解 由已知條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B與D必定一真一假(i)如果A與H猜對(duì)了，那么