數(shù)學(xué)建模教程及例題析課件

1、數(shù)學(xué)建模初步共享資源:密碼：數(shù)學(xué)模型初步總論一、模型？模型是實(shí)物、過(guò)程的表示，可能是對(duì)實(shí)體的模仿、模擬，也可能是某些基本屬性的抽象。二、數(shù)學(xué)模型？對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行模擬，是用數(shù)學(xué)思維方法將要解決的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化、抽象處理，用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、圖表等刻畫實(shí)物本質(zhì)屬性及內(nèi)在規(guī)律。是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)的一座橋梁。數(shù)學(xué)模型初步總論三、適用的范圍？社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、生態(tài)、醫(yī)學(xué)等等領(lǐng)域。要建立一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型，不盡需要數(shù)學(xué)的知識(shí)，還必須了解其他領(lǐng)域內(nèi)與之相關(guān)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)模型初步模型一車輛的停止距離正常的駕駛條件對(duì)車與車的跟隨距離的要求是每十英里的速率可以允許一輛車的跟隨距離，但是在不利的天氣或道路條件下要有更

2、長(zhǎng)的跟隨距離。如何處理不利的情況？?jī)擅腌姺▌t不管車速多少，看著你前面的車子剛駛過(guò)你能確定的固定點(diǎn)，然后默數(shù)“一千零一，一千零二”，如果你剛數(shù)完就到了那個(gè)固定點(diǎn)，就表示你與前車靠的太近。數(shù)學(xué)模型初步模型一識(shí)別問(wèn)題：該法則是否很好？太模糊！最好提出一個(gè)新的問(wèn)題，該問(wèn)題的解決和回答有助于我們進(jìn)行更為精確地?cái)?shù)學(xué)分析，并同時(shí)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。問(wèn)題陳述：預(yù)測(cè)作為車輛速率的函數(shù)的車輛的總的停止距離。問(wèn)題假設(shè)：圍繞一個(gè)很明顯的原理進(jìn)行假設(shè)：總的停止距離=反應(yīng)距離+剎車距離數(shù)學(xué)模型初步模型一反應(yīng)距離？司機(jī)從意識(shí)到要停車的時(shí)刻到真正剎車時(shí)刻期間車輛走過(guò)的距離剎車距離？剎車后使車輛完全停下來(lái)所滑行的距離。反應(yīng)距離相關(guān)的子模

3、型：反應(yīng)距離=f（反應(yīng)時(shí)間，速率）相關(guān)影響因素：個(gè)體駕駛因素，系統(tǒng)時(shí)間（幾乎可以忽略，原因是現(xiàn)代車輛比較安全）（子模型一）數(shù)學(xué)模型初步模型一個(gè)體駕駛因素的反應(yīng)時(shí)間又由反射的本能、警覺(jué)程度、能見(jiàn)度等多重因素決定。但由于我們是研究一個(gè)一般的規(guī)律，所以只在研究中取以上幾因素的平均值反應(yīng)距離的影響因素考察完畢，一下是對(duì)影響剎車距離的因素考察。最最最最重要的是：車身總量，行駛速度。相關(guān)合理因素：剎車的效率，車胎類型和狀態(tài)，道路表面的情況，天氣條件等。為了研究方便，仍然取這些因素的平均值。數(shù)學(xué)模型初步模型一剎車距離=h（重量，速率）（子模型二）總結(jié)建模過(guò)程：1.識(shí)別問(wèn)題；對(duì)現(xiàn)象做一般性觀察2.做出假設(shè)；關(guān)

4、于現(xiàn)象的假設(shè)、研制檢驗(yàn)假設(shè)方法、用數(shù)據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)3.求解模型；4.驗(yàn)證模型；數(shù)學(xué)模型初步模型二1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCODC B A 用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個(gè)距離

5、椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性數(shù)學(xué)模型初步模型二用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f() , g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地?cái)?shù)學(xué)模型初步模型二模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 則h

6、(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和 f(), g()的確定數(shù)學(xué)模型初步模型二 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的問(wèn)題模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)

7、工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐數(shù)學(xué)模型初步線性規(guī)劃例1-1.某木匠制作桌子和書架出售，他希望確定每種家具每周制作多少，即希望制定制作桌子

8、和書架的周生產(chǎn)計(jì)劃，使獲得利潤(rùn)最大。制作桌子和書架的單位成本分別是5美元和7美元。每周收益可以分別用下面的表達(dá)式估計(jì)： 其中 是每周生產(chǎn)桌子數(shù)量； 數(shù)學(xué)模型初步線性規(guī)劃線性規(guī)劃問(wèn)題中幾個(gè)相關(guān)概念：目標(biāo)函數(shù)：決策變量：約束條件：無(wú)約束數(shù)學(xué)模型初步線性規(guī)劃例1-2假設(shè)木匠銷售桌子和書架的單位凈利潤(rùn)分別是25美元和30美元，他希望確定每種家具每周制作多少，他每周最多有600張木板可以使用，并且每周最多工作40小時(shí)。如果木板和勞動(dòng)時(shí)間不用于生產(chǎn)桌子和書架，他能夠?qū)⑺麄冇行У厥褂迷谄渌矫?。?jù)估計(jì)，生產(chǎn)一張桌子需要20張木板和5小時(shí)勞動(dòng)時(shí)間，生產(chǎn)一個(gè)書架需要30張木板和4小時(shí)勞動(dòng)時(shí)間。此外，他已經(jīng)簽訂了

9、每周供應(yīng)4張桌子和2個(gè)書架的交貨合同。他希望確定桌子和書架的周生產(chǎn)計(jì)劃，使獲得的利潤(rùn)最大。數(shù)學(xué)模型初步線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)：約束條件：木板約束：勞動(dòng)時(shí)間約束：合同約束：數(shù)學(xué)模型初步LINGO的使用LINGO的界面LINGO軟件的主窗口（用戶界面），所有其他窗口都在這個(gè)窗口之內(nèi)。 模型窗口（Model Window），用于輸入LINGO優(yōu)化模型（即LINGO程序）。 狀態(tài)行（最左邊顯示“Ready”，表示 “準(zhǔn)備就緒”）當(dāng)前時(shí)間 當(dāng)前光標(biāo)的位置 數(shù)學(xué)模型初步一個(gè)簡(jiǎn)單的LINGO程序例 直接用LINGO來(lái)解如下二次規(guī)劃問(wèn)題：輸入窗口如下：程序語(yǔ)句輸入的備注：LINGO總是根據(jù)“MAX=”或“MIN=”

10、尋找目標(biāo)函數(shù)，而除注釋語(yǔ)句和TITLE語(yǔ)句外的其他語(yǔ)句都是約束條件，因此語(yǔ)句的順序并不重要 。限定變量取整數(shù)值的語(yǔ)句為“GIN(X1)”和“GIN(X2)”，不可以寫成“GIN(2)”，否則LINGO將把這個(gè)模型看成沒(méi)有整數(shù)變量。LINGO中函數(shù)一律需要以“”開(kāi)頭，其中整型變量函數(shù)（BIN、GIN）和上下界限定函數(shù)（FREE、SUB、SLB）與LINDO中的命令類似。而且0/1變量函數(shù)是BIN函數(shù)。輸出結(jié)果：運(yùn)行菜單命令“LINGO|Solve” 最優(yōu)整數(shù)解X=(35，65)最大利潤(rùn)=11077.5 運(yùn)行狀態(tài)窗口Variables（變量數(shù)量）： 變量總數(shù)（Total）、 非線性變量數(shù)（Nonl

11、inear）、 整數(shù)變量數(shù)（Integer）。Constraints（約束數(shù)量）： 約束總數(shù)（Total）、 非線性約束個(gè)數(shù)(Nonlinear)。Nonzeros（非零系數(shù)數(shù)量）： 總數(shù)（Total）、 非線性項(xiàng)系數(shù)個(gè)數(shù)(Nonlinear)。Generator Memory Used (K) (內(nèi)存使用量)Elapsed Runtime (hh:mm:ss)（求解花費(fèi)的時(shí)間） 運(yùn)行狀態(tài)窗口求解器(求解程序)狀態(tài)框當(dāng)前模型的類型 :LP，QP，ILP，IQP，PILP， PIQP，NLP，INLP，PINLP （以I開(kāi)頭表示IP，以PI開(kāi)頭表示PIP） 當(dāng)前解的狀態(tài) : Global Opt

12、imum, Local Optimum, Feasible, Infeasible“(不可行), Unbounded“(無(wú)界), Interrupted“(中斷), Undetermined“(未確定) 解的目標(biāo)函數(shù)值 當(dāng)前約束不滿足的總量(不是不滿足的約束的個(gè)數(shù)):實(shí)數(shù)（即使該值=0，當(dāng)前解也可能不可行，因?yàn)檫@個(gè)量中沒(méi)有考慮用上下界命令形式給出的約束） 目前為止的迭代次數(shù) 數(shù)學(xué)模型初步線性規(guī)劃1）每一問(wèn)題都可用一組稱之為決策變量的未知數(shù) 來(lái)表示相應(yīng)的活動(dòng)方案，由于實(shí)際問(wèn)題的要求，這些決策變量通常是非負(fù)的。2）對(duì)決策變量 ，大都存在一定的限制條件（稱為約束條件），且這些限制條件一般可用關(guān)于決策

13、變量 的一組線性不等式或等式來(lái)表示。3）有一個(gè)追求的目標(biāo)函數(shù)，且目標(biāo)函數(shù)一般可表示為決策變量 的線性函數(shù)，并由實(shí)際問(wèn)題來(lái)決定目標(biāo)函數(shù)應(yīng)追求最大還是最小。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，線性規(guī)劃問(wèn)題的的數(shù)學(xué)模型為：目標(biāo)函數(shù) 約束條件為：數(shù)學(xué)模型初步LINGO使用注意點(diǎn)LINGO的基本用法的幾點(diǎn)注意事項(xiàng) LINGO中不區(qū)分大小寫字母；變量和行名可以超過(guò)8個(gè)字符，但不能超過(guò)32個(gè)字符，且必須以字母開(kāi)頭。用LINGO解優(yōu)化模型時(shí)已假定所有變量非負(fù)(除非用限定變量取值范圍的函數(shù)free或sub或slb另行說(shuō)明)。變量可以放在約束條件的右端(同時(shí)數(shù)字也可放在約束條件的左端)。但為了提高LINGO求解時(shí)的效率，應(yīng)盡可能采用

14、線性表達(dá)式定義目標(biāo)和約束(如果可能的話)。語(yǔ)句是組成LINGO模型的基本單位,每個(gè)語(yǔ)句都以分號(hào)結(jié)尾，編寫程序時(shí)應(yīng)注意模型的可讀性。例如：一行只寫一個(gè)語(yǔ)句，按照語(yǔ)句之間的嵌套關(guān)系對(duì)語(yǔ)句安排適當(dāng)?shù)目s進(jìn)，增強(qiáng)層次感。以感嘆號(hào)開(kāi)始的是說(shuō)明語(yǔ)句(說(shuō)明語(yǔ)句也需要以分號(hào)結(jié)束)）。數(shù)學(xué)模型初步運(yùn)輸問(wèn)題模型 產(chǎn)銷平衡模型 某產(chǎn)品的生產(chǎn)有 個(gè)產(chǎn)地 ，其生產(chǎn)量分別為 ，而該產(chǎn)品的銷售有 個(gè)銷地 其需要量分別為 ，已知該產(chǎn)品從產(chǎn)地 到銷地 的單位運(yùn)價(jià)為 ，試建立該運(yùn)輸問(wèn)題的線性規(guī)劃模型。解：假設(shè)從產(chǎn)地 到銷地 的運(yùn)輸量為 ，因從產(chǎn)地 到銷地 的單位運(yùn)價(jià)為 ，我們可把運(yùn)輸量 （ ）匯總于產(chǎn)銷平衡表中，而把單位運(yùn)價(jià) 匯總

15、于單位運(yùn)價(jià)表中（見(jiàn)下表）。 產(chǎn)銷平衡表 單位運(yùn)價(jià)表 產(chǎn)地 銷地12n產(chǎn)量12m銷量 產(chǎn)地銷地12n12m由以上的討論，對(duì)產(chǎn)銷平衡的情形，我們可給出其運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下：在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中，若出現(xiàn)產(chǎn)銷不平衡的情形時(shí)，需要把產(chǎn)銷不平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為產(chǎn)銷平衡問(wèn)題來(lái)進(jìn)行討論。例當(dāng)產(chǎn)量 大于銷量 時(shí)，只需增加一個(gè)虛擬的銷地 ，而該銷地的需要量為 即可。銷量 大于產(chǎn)量 的情形類同。 例1.生產(chǎn)時(shí)序的安排北方飛機(jī)公司為全球各航空公司制造商用飛機(jī)。其生產(chǎn)過(guò)程之最后階段為生產(chǎn)噴射引擎，然后裝置于（一極速工作）制妥的機(jī)體，該公司有若干近期必須交付使用的飛機(jī)的合同，現(xiàn)須安排今后四個(gè)月飛機(jī)噴射引擎的生產(chǎn)計(jì)劃，并須于每

16、月末分別提供10、15、25、20臺(tái)引擎。已知該公司各月的生產(chǎn)能力和生產(chǎn)每臺(tái)引擎的成本如下表6所示（單位：百萬(wàn)元），又如果生產(chǎn)出來(lái)的引擎當(dāng)月不能交貨的，每臺(tái)引擎每積壓一個(gè)月需存儲(chǔ)和維護(hù)費(fèi)用0.015百萬(wàn)元，試在完成合約的情況下，制定一引擎數(shù)量的生產(chǎn)安排方案，以使該公司今后四個(gè)月的生產(chǎn)費(fèi)用最小。 生產(chǎn)成本表月 份 合約數(shù) 生產(chǎn)能力 單位成本 存儲(chǔ)和維護(hù)費(fèi) 110251.080.015215351.110.015325301.100.015420101.13用運(yùn)輸問(wèn)題模型求該問(wèn)題最優(yōu)解的關(guān)鍵在于怎樣建立該問(wèn)題的產(chǎn)銷平衡表及元素 和單位運(yùn)價(jià)表及元素 。 為此，我們假設(shè) 表示第 月生產(chǎn)并用于第 月交貨

17、的引擎數(shù)，因公司必須完成合同，則 應(yīng)滿足：又每月生產(chǎn)的用于當(dāng)月和以后各月交貨的引擎數(shù)不可能超過(guò)該公司的實(shí)際生產(chǎn)能力，故 還應(yīng)滿足： 下面再構(gòu)造“單位運(yùn)價(jià)表”，它應(yīng)等價(jià)于這里的“成本費(fèi)用表”。因第 月生產(chǎn)并用于第 月交貨的引擎數(shù)的實(shí)際成本 應(yīng)該是其生產(chǎn)單位成本再加上存儲(chǔ)、維護(hù)費(fèi)用，從而我們可得其“成本費(fèi)用表”如下：成本費(fèi)用表 123411.081.0951.1101.12521.1101.1251.14031.1001.11541.130由于這是產(chǎn)銷不平衡問(wèn)題，故增加一虛擬的銷地D，使之能構(gòu)造為產(chǎn)銷平衡模型，并把“產(chǎn)銷平衡表和單位運(yùn)價(jià)表”合二為一（見(jiàn)下表）：在該表中， 表示公司第 月的生產(chǎn)能力， 表示第 月的合同供應(yīng)量， 表示相應(yīng)的成本費(fèi)用，因在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)時(shí) ， ，故令相應(yīng)的 。1234D11.081.0951.1101.1250252M1.1101.1251.1400353MM1.1001.1150304MMM1.130010銷量1015252030有了如上的討論，我們可給出“生產(chǎn)時(shí)