函數展開成冪級數教案

1、 時間月星期日課題124函數展開成幕級數教學曰的1、解函數展開成幕級數的充要條件；2、掌握如何將函數展開成幕級數；3、了解幕級數在近似計算中的應用.教學重點5個基本初等函數的展開式，將函數展開成幕級數教學難點函數展開成幕級數的間接方法課型專業(yè)基礎課教法選擇講授教學過程教法運用及板書要點一、泰勒級數前面討論了幕級數的收斂域及其和函數的性質.但在許多應用中，我們遇到的卻是相反的問題：給定函數f(x),要考慮它是否能在某個區(qū)間內“展開成幕級數”也就是說，是否能找到這樣一個幕級數，它在某區(qū)間內收斂，且其和恰好就是給定的函數f(x),如果能找到這樣的幕級數，我們就說，函數在該區(qū)間內能展開成幕級數,而這個

2、幕級數在該區(qū)間內就表達函數f(x).1、泰勒公式如果f(x)在點x0的某鄰域內有直到n+1的導數則對此鄰域內任一x有f(x)*(x)+Y(x-x)+山(x一x)2+.+f(n)(x0)(x一x)n(1)01!o20n!0f(n+1)(g)/+V-(xx)+1，(其中g在x與x之間)(n+1)!00上式稱為f(x)的n階泰勒展開式或泰勒公式，利用泰勒公式，我們可以用一個關于(x-x0)的n次多項式p(x)=f(x)+(x一x)+山(x一x)2+.+nlg(x一x)nn01!(2!0n!0(也稱為泰勒多項式)來近似的表達函數f(x),并可通過余項R(x)=f(x)一p(x)二nn二(x一x0)+1

3、估計誤差.此表2學時填寫一份，“教學過程”不足時可續(xù)頁在泰勒公式中，當x二0時，記g=ex，o91，此時公式成為0f(宀f(0)+廣(0)-廠(0)f(n)(0)f(n+1)(0 x)(n+1)!x+x2+.+xn+xn+11!2!n!稱為f(x)的麥克勞林公式，或稱為按x的幕展開的泰勒公式.2、泰勒級數如果f(x)在點x的某鄰域內具有各階導數廣(x)，f(x)，,0f(n)(x)，我們稱級數+.+M2(x一xn!0+f(x)+廣(x)(x-x)+O(x-x0002!0為f(x)在x二xo的泰勒級數特別當xo二0時，則稱它為f(x)的麥克勞林級數.即f(0)+廣(0)x+也x2+.+也xn+.

4、2!n!泰勒級數是泰勒多項式從有限項到無限項的推廣，于是，帶來了兩個問題：一個是該級數在什么條件下收斂，二是該級數是否收斂于函數f(x),關于這些問題，有下述定理.定理設函數f(x)在點xo的某一鄰域內具有各階導數，則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項R(x)當nnTa時的極限為零.即limR(x)=0。nnTa證(必要性)設f(x)在某鄰域U(xo)內能展開成泰勒級數，即J+.+f(n)(x0)(x一x)n+.0n!0f(x)=f(x)+廣(x)(x一x)+J(x一x0002!同時把f(x)的n階泰勒公式(1)可以寫成:(3)f(x)=S(x)+R(x)

5、n+1n其中S(x)為泰勒級數(2)的前n+1項之和，因上式成立，故有n+1limS(x)二f(x)，于是n+1nsTOC o 1-5 h zlimR(x)=lim(f(x)-S(x)=f(x)-f(x)=0nn+1nsns充分性：設limR(x)=0,對所有的xgU(x)都成立，由n0nsS(x)=f(x)-R(x)可得n+1nnnsnslimS(x)=lim(f(x)-R(x)=limf(x)-limR(x)=f(x)n+1nsns即f(x)的n階泰勒級數在的某領域U(%)內收斂，且收斂于函數f(x)。證畢。特別地，當x0二0時f(x)=f(0)+x+x2+Sxn+1!2!n!稱為函數f(

6、x)可展開成麥克勞林級數.顯然，將函數f(x)在x二x0處展開成泰勒級數，可通過變量替換t二x-x0，化歸為函數f(x)二f(t+Xo)=F(t)在t二0處的麥克勞林展開.因此，我們將著重討論函數的麥克勞林展開.定理2函數f(x)的麥克勞林展開式是唯一的.證設f(x)在x=0的某鄰域(-R,R)內可展開成x的麥克勞林級數，即f(x)=a+ax+ax2+axn+TOC o 1-5 h z012n其中a是常數，n=1,2,-；由幕級數的逐項求導性，得nf(x)=1-a+2-ax+n-axn-1+-12nf(x)=2-1-a+n-(n-1)axn-2+2nf(n)(x)二n(n-1)1a+(n+1)

7、n2ax+nn+1把X二0代入上述等式，即有f（0）二a0，八）二1f(0)二21a，2從而f(n)(0)二n-(n-1)Tana0二f（0），巴普a=22!a=3,nn!則函數f（X）在X=0處的幕級數展開式為f(X)=f(0)+fBX+X2+)xn+1!2!n!它就是函數的麥克勞林展開式即函數在X=0處的幕級數展開式僅麥克勞林展開式這一種.二、函數展開成幕級數的方法1、直接展開法由以上討論結果可以看出，直接按公式將所給函數f（X）展開成X的幕級數的步驟是；求出f（X）各階導數廣（X）,f（X），f（n）（X），如果在X(1)(2)(3)（主要討論X0二0的情形）處某階導數不存在，就停止進行

8、;求函數及各階導數在X0處的值f（X），廣（X）,f（Xf（n）（X）,.；0000求出幕級數f(x)+廣(x)(x-x)+山(x0002!+也2(X-X)+n!的收斂半徑R；（4）考察當x在收斂區(qū)間（-R,R）內時余項R（x）的極限nlimR(x)=limnnTanTa缶討x-xo爪(其中匕在x與xo之間)是否為零，如果為零，則第三步求出的幕級數就是函數f(x)的幕級數展開式；如果不為零，幕級數雖然收斂,但它的和并不是所給的函數f(x).例1將函數f(x)=ex展開成x的幕級數解求出各階導數廣(x)=ex，f(x)=ex，f(n)(x)=ex,于是f(o)=1，廣(0)=1，f(o)=1，f

9、(n)(o)=1，Xn故得級數1+x+2!n!2!它的收斂半徑為R=+8對于任何有限數x,g(E在0與x之間)余項的絕對值為R(x)=neg因為川有限，而n+1(n+1)!Xn+1n+1exl(n+1)!n+1是收斂級數的一般項,所以，當nTa時,7yeixT0即limR(x)=0n+1丿.nTan,4x2xn所以得展開式ex=l+x+.+.2!n!(-ax+a)例2將函數f(x)=sinx展開成x的幕級數.解求出各階導數f(x)=cosx,f(x)=-sinx,f(x)=-cosx，,f(n)(x)=si=sinx+nI2丿于是，f(o)=0,f(o)=1，f(o)=o,廣(0)=-1，順序

10、循環(huán)得這幾個數：0,1，0，-1，于是得級數x3x5%2n+1x+.+1夕+.3!5!(2n+1)!它的收斂半徑R=+8。對于任何有限數x,g（g在0與x之間）余項的絕對值，當nTa時極限為零R(x)=nismg+(n+2(n+1)!Xn+1n+1即limR(x)=0nnTg于是得展開式.x3x5(x2n+1sinxx+.+1戶+.3!5!(2n+1)!用同樣的方法可證得叩x2x4/x2ncosx=1+.+1Jn+.2!4!(2n)!(gx+g)2間接展開法以上兩個例子是用直接方法（直接按公式於歲計算幕級數的系n!數）展開成幕級數的，這種直接方法計算量較大,而且最后要考察余項R是否n收斂于零，

11、這是一件很不容易的事情.下面，我們利用幕級數本身的性質，如四則運算，逐項微分，逐項積分等，把函數f（x）展開成為x的幕級數，這樣計算簡單，而且往往可以避免直接研究余項，根據函數展開的唯一性，可知這與直接方法所得的結果一樣.x2n+1x3x5/sinx二x一+一.+1戶+.(gx+g)3!5!(2n+1)!如把它逐項微分，就得到.x2x4/x2ncosx=1+.+1Jn+.2!4!(2n)!(gx+g)例3將函數f（x）=In（1+x）展開成x的幕級數.解因為廣(x)=士，而丄是收斂的幾何級數空-1)nxn(-1xn=01)的和函數，即=1x+x2x3+.+(-1xn+.(-1VxV1)1+x所

12、以將上式從0到x逐項積分，得%2x3x4xn+1ln(1+x)=x+.+(1)n+.(-1VxWl)234n+1此展開式對于x=1也是正確的，于是有l(wèi)n2=1_1+11+.+(1+11+234n例4將函數fx)=(l+x)m展開成x的幕級數，其中m為任意常數.解：f(x)的各階導數為廣(x)=m(l+x)m-l,f(x)=m(m-1)(1+x)m-2,f(“)(x)=m(m-1)(m-2)(m-n+1)(1+x)m_n,所以f(0)=1,廣(0)=m,f(0)=m(m_1),f()(0)=m(m_1)(m_2)(m_n+1),-于是得幕級數1+mx+m(m1)x2+m(mD(m一n+1)xn+

13、2!n!可以證明(1+x)m=1+mx+m(m_1)x2+m(m1)(m_n+1)xn+(1x1)2!n!為了便于記憶和查閱，現將幾個重要函數的x幕級數展開式歸納如下:(1)4x2xn/、ex=1+x+.+.(gx+8丿2!n!(2).x3x5(x2n+1sinx=x+.+(1)n+.3!5!(2n+1)!(3)Tx2x4/x2ncosx=1+.+(1)n+. HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 2!4!(2n)!(4)x2x3x4xn+1ln(1+x)=x+.+(1八234n+1+.(-1x51)/a(a-1)a(a-l).(a-n+1)2!(

14、5)(1+x)a=1+ax+x2+.+xn+.(-1x1)最后，再舉一個將函數展開成(x-x0)的幕級數的例子例5將函數f(x)=sinx展開成x-寧的幕級數4丿用公式表中(2)、.兀兀.(smcosx+cossinx4k4丿4k4丿(兀、芻C0S(3)得x+sin(冗xI4cos2!sinxxk4丿k4丿兀)4x4丿x+8)兀3兀)5xxk4丿k4丿引引5!(_8x冗(兀sinx=sin+x_414丿因為兩式相加，就有.12!sinx=(8x+8)例6將函數f(x)=島不展開成(x的幕級數，并求fn。解方法一：因所求的幕級數具有蘭a(x-1)n的形式，故可如下運算nn=0f(x)=(x+3)

15、(x+1)=2(7+1-7+3)2-(x1)24-(x-1)1-1-(x-1)8211-(x-1)=1藝(x-1)n-1藝(x-1)4n=0L2J8n=0L4Jn11n2n+222n+3(x1)n，1vxv3此式即為f(x)=的關于(x-1)的冪級數展開式.方法二：作變量替換t二x1，貝yx=t+1，有f(x)=(x+3)(x+1)(t+4)(t+2)2(t+2)2(t+4)1=4為(-1)n4(1+2)4n=0，一12118(1+4)=8瓦(-1)n=0，一141于是將t=X-1代回即得f(x)=x2+4x+3的關于(x-1)的冪級數展開式為”-8藝(-1)nn=0=(-1)nn=02n+2

16、22n+3根據麥克勞林展開式的系數公式得fn(1)n!=(j)n1122n+3fn(1)=n!(-1)n2n+222n+3練習1、將函數f(x)二4x+1展開成x的幕級數.解因4x+1=4-exln4，利用ex的展開式得4x+i=4-1+(xln4)(xln4)2(xln4)n+-1!2!n!.cic24(In2)22n+2(ln2)n=4+8ln2-xx21xn-xe(-s,+(q)2!n!2、將函數f(x)=arctanx展開成x的幕級數.解因(arctanx)=-1，而-1可展開式為1+x21+x2=1+(-x2)+(-x2)2+(-x2)n+xe(-1,1)1+x2兩邊從0到x逐項積分

17、得arctanx=Jx1dx=x-1x301+x231x2n+1-x5+(-1)n+xe(-1,1、52n+1因為當x=1時，級數藝(-1)n=01買1n是收斂的，當x=-1時，級數2n+12n+1n=0是發(fā)散的，所以arctanx在xe（-1,1上的幕級數展開式為F(1)nx2n+12n+111arctanx=x-x3+x535三、函數的幕級數展開式的應用1、近似計算例9.38求e的近似值，要求誤差不超過10-4。（2.7183）例9.39計算cos10o的近似值，要求誤差不超過10-4。（0.9511）例9.40計算In2的近似值，要求誤差不超過10-4。解：由前面，令x=1可得ln2=1

18、+丄-.+（-1）n-丄+.3n如果取這級數前n項和作為ln2的近似值，其誤差為Ir1-.+1為了保證誤差不超過10-4,就需要取級數的前10000項進行計算.這樣做計算量太大了，我們必需用收斂較快的級數來代替它.把展開式x2x3x4xn+1ln(1+x)=x+(-1)n+(Tx1)234n+1中的x換成-x,得ln(1-x)=-x琴號(1x1),兩式相減，得到不含有偶次幕的展開式：ln1=ln(1+x)ln(1x)=2(x+丄x3+1x5+)(1x1)TOC o 1-5 h z1x35令1+|=2，解出x=1.以x=*代入最后一個展開式，得12_2(1,11,11,11)ln2=2(+)33

19、33535737如果取前四項作為ln2的近似值，則誤差為I|_2(11,11,11,、，2口，1,(1)2,49391131113313丿3119V2111=31111牛3970000019于是取ln2沁2（1+1-3+5-卜+7-/-）-3333535737同樣地，考慮到舍入誤差，計算時應取五位小數：10.333331丄“.012351丄“.000821丄“.00007533355355737因此得ln27.6931.2(1例9.411、計算定積分.J2e-x2dx的近似值，要求誤差不超過0.0001(取兀0丄沁0.56419）.2、計算積分f1Sindx的近似值，要求誤差不超過0.0001

20、.0 x解：1、將ex的幕級數展開式中的x換成-x2,得到被積函數的幕級數展開式2!e-x2+罟+亨+亨+二蘭(j)n嚀(-x+-).n=0于是，根據幕級數在收斂區(qū)間內逐項可積，得f2e-x2dx=dx=；兀0兀0cn!兀cn!0n=0n=023+是-品卄)前四項的和作為近似值，其誤差為1111輕百2894!900001所以卻02e-x2dx訂（1-羔+E-E。5205.2、由于血爺T，因此所給積分不是反常積分.如果定義被積函數在xt0 x=0處的值為1，則它在積分區(qū)間0,1上連續(xù).展開被積函數，有沁=1x2x4x6x在區(qū)間0,1上逐項積分，得因為第四項3!+齊7?+Zx+s）.fisinx1,11dx=10 x1+33!55!77!77!30000所以取前三項的和作為積分的近似值:f；STdx-33!+55!=09461.2、歐拉公式復數項級數：設有復數項級數(u+iv)+(u