北京四中-高中數(shù)學高考綜合復習 專題十五 向量的概念與運算

1、高中數(shù)學高考綜合復習 專題十五 向量的概念與運算一、知識網(wǎng)絡(luò) 二、高考考點1、對于向量的概念，高考的考點主要是兩向量平行（即共線）的判定以及兩向量共線的基本定理的運用，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。2、對于向量的運算，向量的數(shù)量積及其運算是向量的核心內(nèi)容，對此，高考的考點主要是：（1）向量的加法、減法的幾何意義與坐標表示的應(yīng)用；（2）向量共線的充要條件的應(yīng)用；（3）向量垂直的充要條件梭的應(yīng)用；（4）向量的夾角的抖計算與應(yīng)用；（5）向量的模翔的計算，關(guān)于向量的模的等式的變翔形與轉(zhuǎn)化，關(guān)于向量的模的不等式翔的認知與轉(zhuǎn)化。3、線段的定翔比分點線或平移問題。4、以凝向量為載體的三角求值或圖象變換凝問題

2、，以向量為載體的函數(shù)或解析凝幾何問題（多以解答題的形式出現(xiàn)凝）。三、知識要點（一）揖向量的概念1、定義（1怖）向量：既有大小又有方向的量叫怖做向量。（2）向量的模：向空量 的大?。撮L度）叫做向量空的模，記作 。特例：長度為植0的向量叫做零向量，記作 ；長制度為1的向量叫做單位向量.此（3）平行向量（共線向量）：氧一般定義：方向相同或相反的非氧零向量叫做平行向量，平行向量也氧叫做共線向量.特殊規(guī)定：稿與任一向量平行（即共線）. 稿（4）相等向量：長度相等鍘且方向相同的向量叫做相等向量。鍘零向量與零向量相等。認枝知：向量的平移具有“保值性”。枝2、向量的坐標表示（1堿）定義：在直角坐標系內(nèi)，分別

3、取堿與x軸、y軸正方向相同的兩個單堿位向量 、 作為基底，任作一個活向量 ,則由平面向量基本定理知活，有且只有一對實數(shù)x，y使得活，將有序?qū)崝?shù)對（x,y）叫做向光量 的坐標，記作 ；并將 叫做幣向量 的坐標表示。（2）認憶知：相等的向量，其坐標也相同，憶反之成立。 （二）向量的運抱算1、向量的加法2、向遂量的減法3、實數(shù)與向量的積鑲（1）定義（2）實數(shù)與樊向量的積的運算律：（3）平扶面向量的基本定理：如果 是慶同一面內(nèi)的兩個不共線向量，那么紹對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有紹且只有一對實數(shù) 1， 2使 ，菱這兩個不共線的向量 叫做表示這菱一平面內(nèi)所有向量的一組基底。裸（4）向量共線的充要條件：離

4、（i）向量與非零向量 共線擰有且只有一個實數(shù) 使 （i在i）設(shè) 則： 4、鑄向量的數(shù)量積（內(nèi)積）（1）撾定義：（i）向量的夾角：已養(yǎng)知兩個非零向量 和 ，作 直 叫做向量 與 的夾角。（鷹ii）設(shè)兩個非零向量 和 的夾浴角為 ，則把數(shù)量 叫做 與 的椅數(shù)量積（內(nèi)積），記作 ，即 幼并且規(guī)定：零向量與任一向量的幼數(shù)量積為0.（2）推論芋設(shè) 、 都是非零向量，則（歹i） （ii） （ii浚i） (3)坐標表示(莎i) 設(shè)非零向量 ，則挽 (ii)設(shè) (滿4)運算律（自己總結(jié)，認知）瀕四、經(jīng)典例題例1判斷下亮列命題是否正確：（1）若雪的方向相同或相反；（2）若唁 （3）若 則A、B、C、販D四點組成

5、的圖形為梯形；分路析：（1）不正確 嚏 不能比較方向。（2）不原正確 當 時，雖然對任緯意 ， 都有 不一定平行。細（3）不正確 ，故這里的巖已知條件也包含A、B、C、D四識點共線的情形。點評：判斷或王證明向量的共線或垂直問題，務(wù)必王要注意有關(guān)向量為零向量的情形，王判斷失誤或解題出現(xiàn)疏露，多是零王向量惹的禍。例2設(shè)點O為爺ABC所在平面內(nèi)一點（1吁）若 ，則O為ABC的（吁 ）A、外心輾 B、內(nèi)心 C、意垂心 D、重心訓（2）若 ，則 為ABC的（嗅 ）A、外心濘 B、內(nèi)心濘C、重心 D、重心濘（3）若動點P滿足 ,則點販P的軌跡一定通過ABC的（販 ） A、外心漢 B、內(nèi)心 C、漢重心 D、

6、重心排（4）若動點P滿足 ,則點P軌嗓跡一定通過ABC的（ ）嗓 A、外心B撐、內(nèi)心 C、重心腸 D、重心分析：早（1）借助向量加法分析已知益條件：以 、 為鄰邊作平行障四邊形OBDC，并設(shè)ODBC障=E，則由平行四邊形性質(zhì)知，E障為BC和OD中點。 鄭 且 由贏、得 A、O、E、D、漁四點共線 且 膊于是由、知O為ABC的重湖心，應(yīng)選D(2)由 同熾理可得OABC,OCAB眠于是可知，O為ABC的垂心熔，應(yīng)選C（3）由已知得 缸令 ，則 是 上的單位誨向量，令 ，則 是 上的單位向揪量。由得： 弓令 ,則點Q在角A的平分線上邦 又由知的計 與 共線且同向（或 ）須動點P在角A的平分線上點蔗P

7、的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心蔗，應(yīng)選B。（4）注意到 的罰幾何意義， 鑲=0又由已知的得： 糜 動點P在BC邊的她高線上動點P的軌跡一定通魂過ABC的垂心，應(yīng)選C?；禳c評：品味各小題，從中參悟解題混思路以及三角形的各心的向量特征混。例3：（1） 成立的渣充分必要條件為（ ）A燦、 跺B、 C、 刨D、 （2）已知岡A、B、C三點共線，O為該直線葷外一點，設(shè) 且存在實數(shù)m使 ，葷 則點A分 所成的比為（壺）A、- 販 B、2 C、販 D、-2創(chuàng) 分析：（1）注意到魁不等式 ，當且僅當 、 反向或碴 、 中至少有一個為 時等號成碴立，由 得 、 反向或姐由此否定A、B、C，本題應(yīng)泅選D（2）注意糧到

8、條件的復雜以及已知式變形方向糧的迷茫，故考慮從“目標 ”分析適切入，主動去溝通“已知”，贖設(shè) 則 (刻意變蓄形，靠攏已知) 知 （目標的延伸躍） 又由已知只得： （已知的變形或延伸）爺 根據(jù)兩向量相等的答條件由、得： 于是可知傀，點A分 所成 的比 ，應(yīng)選烽A點評：（i）（1）對拘任意向量 、 都有 ，其中，當辦且僅當 同向或 中至少有一個為姑 時左邊的等號成立；當且僅當姑反向或 中至少有一個為 時右邊冠的等號成立；當且僅當 中至少有冠一個為 時，左右兩等號同時成立筏。（ii）對于（2），“已癟知”與“目標”相互靠擾，只是切弓入點是從“已知”切入還是從“目弓標”切入，需要仔細分析。例戊4：設(shè)

9、、 分別是平面直角坐標戊系內(nèi)x軸、y軸正方向上的兩個單戊位向量，在同一條直線上有A、B啼、C三點， ，求實數(shù)m、n的值啼。解：由題設(shè)知 壹 與 共線 又繡 代入得： 7只（2n-1）=(n+2)(2n只+1) (n-3)(2揖n-3)=0 當 時代沂入得： m=3當 時代入衣得：m=6哲 弊 m=6，n=3或m=3， 寇點評：不失時機地利用向量的坐寇標表示，是解題的基本技巧。豁例5 設(shè) 試求滿足： （甘這里O為原點）分析：注意到破 的坐標即點D的坐標，可從設(shè)破坐標，由（x,y）切入，去 建虐立關(guān)于x，y的方程組。解：完設(shè) ，則點D坐標為（x,y）刨則由已知條件 得： 魚 x-2y+1=0魚 由

10、 得：x+4鹽=3(y-1) x-3y責+7=0責 于是將、聯(lián)立，解吱得： 點評：本題鹽是對向量坐標的概念，向量的垂直鹽與向量的平行的充要條件的綜合應(yīng)鹽用，借此練習，可進一步認識與把鹽握關(guān)于向量的概念與公式。例枕6 設(shè)向量 滿足 （1）劫若 ，求 與 的夾角；（2邀）若 的值。解：（1）頤設(shè) 與 的夾角為 ，則 聚 扁于是由代入得 ： 雹注意到 O, ,可得雹結(jié)果 （2）解法（著眼于對汛 等各個擊破）一方面由已知漢得： 又涸 離 由、得 民注意到 ，當洲且僅當 ， 同向或 ， 中至少玉有一個為 時等號成立 由吵得 與 同向另一方面，又由題 知， 與 反向 與 的夾排角為0， 與 的夾角為180

11、難， 與 的夾角為180男原式 =31-14-許34=-13解法二（著眼曾于尋求目標與已知的整體聯(lián)系）：曾 由已搭知條件得 解法三（從般尋求目標局部的值切入）：原多式 同理， 姬 點評：解法二與解法三，燴均著眼于整體代入，解題過程簡明燴，比解法一有明顯優(yōu)勢。但是，解燴法一中對已知數(shù)值的利用，卻對今燴后的條件求值有著不可替代的潛在燴作用，條件求值中對已知數(shù)據(jù)的應(yīng)燴用主要有以下三個方面：（1離）利用數(shù)值本身（代入）；（離2）分別利用數(shù)值的絕對值和符號離；（3）利用有關(guān)數(shù)值的關(guān)系位溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系（比如，由巷3+1=4，32+42=52溝巷通聯(lián)系等）。例7已知 的選夾角為120，且 ,試求m，焉

12、n及 與 的夾角。解法一：需（利用內(nèi)積的定義），設(shè) 與 的之夾角為 ，由 再 冠 再由：噓由，得 將代入頂?shù)茫?于是由，甲，得所求 ,n=-4, 的甲夾角為30或150點評戌1：本題已知條件繁多，頭緒紛亂戌，更需要在解題時梳理思緒。注意戌到所求m、n含在 中，故在求出綢 、 的值之后，以 的變形為主攪線展開求索：變形1. 拴變形2. 變形3. 于體是，整個解題過程既顯得有條不紊體，又感覺酣暢淋漓。解法二（享利用向量的坐標）：設(shè) ，畝與 的夾角為 ，由已知得杯 由 細又x12+y12=8細 x22+y22=王4 由，解賃得 或 由，解得淪或 將上述喪， 坐標分四次代入 便解得士n=-4， , =

13、30或15凜0點評2：本解法致力于求斡 與 的坐標，雖然解題過程仍然斡曲折，但思路明朗，更多幾分勝算涕。例8 設(shè) 的夾角為 ，粘 分析：此題為以向量為載體依的三角求值問題，因此，從化簡依， 的坐標切入，向三角函數(shù)中常幽見的關(guān)系式轉(zhuǎn)化。解： 漢 優(yōu)注意到這里 由、益得到 于撓是由、得 由、誅得 解得梁因此由得 點評：在訣這里，利用實數(shù)與向量的乘法的法訣則，將 表為 ,從而為簡迂化 及 的表達式以及簡化 的表瓤達式奠定良好的基礎(chǔ)。五、高瘸考填題（一）選擇題、1楞、（2005湖南卷）P是A楞BC所在平面上一點，且 ，則P吟是ABC的（ ）A、枕外心 B、內(nèi)心枕 C、重心 D、垂心銹分析：由 同蓄理，

14、ABPC,BCPA溜 點P為ABC的垂心，應(yīng)選D溜2、（2005山東卷）已折知向量 ， ,且 ,則一定共線柱的三點是（ ）AA、暈B、D B.A、B暈、C C.B、C、D暈 D.A、C、D分羽析：利用兩向量共線的充要條滁件來判定，從尋找所給向量的聯(lián)系滁切入由題意得 鎬 A、B、D三點共線，應(yīng)選至A3、（2005全國卷B姚）已知點A（ ,1），B（0，幽0），C（ ，0），設(shè)BAC幽的平分線AE與BC相交于E，那幽么有 ,其中 等于（ ）岳A、 2 B、 氧 C、-3氧 D、- 分析：從認袖知目標切入，由題設(shè)易知 與 反言向，故 0 又由三振角形內(nèi)角平分線定理得 即誣 =3 于是由、職得 =-3

15、，應(yīng)選C4蘊、（2005北京卷）若,言, ，則向量 與 的夾角為（需 ）A、30躁B、60 C、120躁 D、150分析程：令向量 與 的夾角為 ，鉸則 金 又由 洲 得 睜 于是將已知與代入洲得 所得 ，應(yīng)選C越5、（2005福建）在A越BC中， ， ， ，則k的值是澤（ ）。A、5需 B、-5 C、 躍 D、 分析：循謅著一般思路，欲求k的值，先尋找謅關(guān)于k的方程，可以通過解方程獲謅取k的值，為此我們利用題設(shè)條件旨尋找等量關(guān)系切入：由題設(shè)知避 ， 由此得（2，3）（骸2-k,2）=0 2（2-骸k）+6=0解得k=5,故躁應(yīng)選A。6、（2005重哄慶）設(shè)向量 等于（ ）半。A、（1，1）眷

16、 B、（-4，-4）眷C、-4 D、（-2,眷-2）分析：循著向量的壺坐標表示與有關(guān)公式得： 題 原式=-4（1，1繕）=（-4，-4），應(yīng)選B柱7、（2005重慶卷）已知A又（3，1），B（6，1），C（又4，3），D為線段BC的中點，又則向量 與 的夾角為（ ）宇A、 分析1：（特扮征分析法）：畫出ABC及其中扮線AD，又將向量 平移到 ,則扮可見 與 成鈍角，而選項中A、蠶B為銳角，D為負角，故只能選C蠶。分析2：（直接法）：北由題設(shè)D（5，2） 啼 所求兩向量夾角應(yīng)為 ）,翌應(yīng)選C8、（2005浙江挫） 已知向量 ，滿足對任意t挫R， ,則（ ）A、肛分析：從已知不等式的等吭價變形切入

17、，去認識所含向量 ，訂 的關(guān)系由已知得 整理漂得 注意到嗅對任意 都成立。 即硯 根據(jù)式檢驗選項玲，故選C點評：關(guān)于向量的模瘴的不等式，變形轉(zhuǎn)化的基本手段是彰不等式兩邊平方，這是本題切入、彰轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。（二）填空陣題1、（2005廣東卷）癢 已知向量 分析：注意傀到兩向量平行的充要條件， 頂由已知條件得26-3x頂=0，由此解得 x=42、串（2005全國卷C） 已知向蹭量 ,且A、B、C三點共線，則蹭k= 。分析：秀由A、B、C三點共線切入，獻向著向量的共線轉(zhuǎn)化A、B、腦C三點共線 向量 、 共線慫又 由 、 共敏線的充要條件得 7（-k-敏4）=5（k-4），解為 皺3、（2005天津

18、卷）已知皺=2， =4， 與 的夾角為證，以 ， 為鄰邊作平行四邊形，眩則此平行四邊形的兩條對角線中較眩短的一條的長度為眩。分析：根據(jù)向量加法與咋向量減法的幾何意義又知， 、翌分別表示上述平行四邊形中兩條對翌角線的長度。注意到 與 的誅夾角為銳角，故此平行四邊形的兩誅條對角線中較短一條的長度為 誅 又=4+16-揖224cos =12翼 =2 于是由甸、知所求為 .4、（2細005湖北卷）已知向量=(鵬-2，2)， =(5，k),若鵬 不超過5，則k的取值范圍為壽 .分析：由已淪知得 若斡5，則9+（k+2）225斡由此解得-6k2，故予應(yīng)填-6，25、（20嬸04浙江卷）已知平面上三點A淑、

19、B、C滿足 ， , ,則 的繡值等于 。分析能：從認知ABC切入，由3醫(yī)2+4252知 ， 彰原式= = = 扳=-256、（2005仍全國卷A）ABC的外接圓圓心仍為0，兩條邊上的高的交點為H，仍 =m( + + ),則實數(shù)m粘= 。分析：由嵌題設(shè)知，O為ABC的外心，即嵌O是ABC的三邊中垂線的交點喪，因此，以 與 為鄰邊作平行四喪邊形OADC，則OADC為菱形喪，且 + = 喜 ( + )+挫 + 的終點必在AC邊的高線上挫 同理，+繹 + 的終點在AB邊的高線上蓄 由、得根 + + 的終點為ABC的垂怖心H. m=1揩點評：從O為ABC的外心切入揩，認知向量 ，此乃求解本題的關(guān)燼鍵。三、解答題1、（2翼005山東卷）已知向量=(漓cos 、sin )和 =(塔- sin ，cos )， ，她且= ,求cos（ + ）的值傳。分析：這是以向量為載體的蒸三角求值問題，故首先要利用向量