剛體力學基礎動量矩剛體和剛體的基本運動剛體

1、第5章 剛體力學基礎 動量矩 1剛體和剛體的基本運動 2 剛體定軸轉動的運動定律 3 繞定軸轉動剛體的動能 動能定理 4 動量矩和動量矩守恒定律 剛體的定點運動-回轉儀的旋進 1角動量定理 角動量守恒定律一、質點對定點的角動量二、力對定點的力矩三、質點的角動量定理 角動量守恒定律四、質點系的角動量問題 2思路:與處理動量定理 動量守恒問題相同一、質點對定點的角動量t 時刻(如圖)定義為質點對定點o 的角動量方向：垂直 組成的平面SI大?。毫?綱：3 t 時刻 如圖定義為力對定點o 的力矩二、力對定點的力矩大?。褐袑W就熟知的：力矩等于力乘力臂方向：垂直 組成的平面量綱：41）物理量角動量和力矩均

2、與定點有關，角動量也稱動量矩，力矩也叫角力；2） 對軸的角動量和對軸的力矩 在具體的坐標系中，角動量（或力矩）在各坐標軸的分量，就叫對軸的角動量（或力矩）。 ( 見 6 7 8 頁 )討論5：質點對x軸的角動量：質點對 x軸的力矩某一方向的分量怎么求呢？由定義出發(fā)： 分量中，涉及的位矢分量為x,y涉及的力的分量為Fx,Fy例如：力矩下面，用圖示形象說明，加深理解該計算過程6用圖示加深理解計算過程思路： 設坐標原點o是求力 矩的定點 某時刻 質點位矢是受力是然后將位矢和力向xy平面和z方向兩個分向分解最后得出結果7轉軸轉動平面求力對 z 軸的力矩的簡化步驟：第1步，通過質點畫z軸轉動平面（過質點

3、垂直轉軸的平面，即過質點的xy平面）第2步，認定位矢和力在轉動平面內的分量第3步，算出力對z軸的力矩結論：z軸轉動平面內的分量的運算就是對z軸的力矩（或角動量）8角動量守恒定律沖量矩微分形式積分形式角動量定理91）角動量守恒定律的條件2）動量守恒與角動量守恒 是相互獨立的定律 3） 有心力 力始終過某一點 central force行星在速度和有心力所組成的平面內運動角動量守恒如行星運動動量不守恒角動量守恒討論10開普勒第二定律掠面速度角動量守恒就是掠面速度相等常矢量m例題5.8,5.9(173)11四、質點系的角動量問題 1.對定點的角動量2.定理和守恒定律內力對定點的力矩之和為零質點系內的

4、重要結論之三 (自證)12形式上與質點的角動量定理完全相同內力對定點的力矩之和為零只有外力矩才能改變系統(tǒng)的總角動量角動量守恒定律13盤狀星系角動量守恒的結果14比較 動量定理 角動量定理 形式上完全相同，所以記憶上就可簡化。從動量定理變換到角動量定理，只需將相應的量變換一下，名稱上改變一下。 （趣稱 頭上長角 尾部添矩）15 動量定理 角動量定理力力矩或角力動量角動量或動量矩力的沖量力矩的沖量或沖量矩16基本方法： 質點系運動定理 加 剛體特性剛體定軸轉動的 動能定理 角動量定理平動：動量定理可以解決剛體的一般運動（平動加轉動）剛體力學基礎171 剛體和剛體的基本運動 一、一般運動 二、剛體的

5、定軸轉動 三、解決剛體動力學問題的一般方法18剛體：在任何情況下形狀、大小都不發(fā)生變化的力學研究對象。質元：把剛體分成的許多可以看成質點的微小部分。一、剛體的平動（最簡單） 1. 定義：在運動中，剛體上任意一條直線在各個時刻的 位置都保持平行。 如沿直線軌道運動的車廂2、特點：剛體上任意兩點的連線在平動中是平行且相等的！剛體上任意質元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各質元的位移、速度和加速度卻相同(證明見書149頁)。在剛體平動時,只要知道剛體上任意一點的運動,就可以完全確定整個剛體的運動.因此，常用“剛體的質心”來研究剛體的平動：193、平動的自由度：3個自由度：決定物體的空間位置所需要的獨

6、立坐標個數(shù)。是描述物體運動自由程度的物理量 。獨立坐標：描寫物體位置所需的最少的坐標數(shù) 。20二、剛體的定軸轉動1、定義若剛體運動時，所有質元都在與某一直線垂直的諸平面上作圓周運動且圓心在該直線上，則稱剛體繞固定軸轉動，該直線稱作轉軸。 2、特點剛體中始終保持不動的直線就是轉軸。剛體上軸以外的質元繞軸轉動，轉動平面與軸垂直且為圓周，圓心在軸上。 和轉軸相平行的線上各質元的運動情況完全一樣。 213、定軸轉動剛體的角坐標如圖示：建立O-xyz系，z軸與轉軸重合，O點任意選取，截取剛體一個剖面o-xy平面，此位置只要確定，剛體的位置就確定了，除O點外，再選一個A點，此圖形的位置可由矢量來確定，而

7、矢量的大小是不變的，方向只需由 矢量與x軸的夾角來確定，此角稱為：繞定軸轉動剛體的角坐標。 角的正負規(guī)定：定軸轉動剛體轉動的方向和z 軸成右手螺旋時，角為正，否則角為負。224、定軸轉動剛體運動的描述 運動學方程： ， 即：角坐標隨時間的變化規(guī)律。描述剛體整體運動的物理量角量，包括：角位移，角速度，角加速度。 角位移：定軸轉動剛體在時間內角坐標的增量 。任意質元的角位移是相同的是一整體運動的量。面對z 軸觀察：逆時針轉動， ；反之， 。角速度 ：在這一過程中，即：瞬時角速度等于角坐標對時間的導數(shù)。 面對z軸觀察逆時針轉動時： ；反之， 。23角加速度 ： 即：瞬時角加速度等于角速度對時間的導數(shù)

8、。加速轉動，與同號， ；反之， 。24 5 定軸轉動剛體角量和線量關系(1).各點運動的特點轉動平面 在自己的轉動平面內作圓周運動(2).描述的物理量任一質點圓周運動的線量和角量的關系減速加速簡化25由定軸轉動剛體角量和線量關系可知：角量：描述剛體整體運動的物理量；角量充分描述了剛體的定軸轉動狀態(tài)線量：描述剛體任一質元運動的物理量，由角量可得線量物理量單位量綱物理量單位量綱角位移 rad1線位移 r mM角速度rad/sT-1線速度 m/sMT-1角加速度rad/sT-2線加速度 am/s-2MT-226設板面是轉動平面加速進一步解釋276 剛體繞定軸轉動的勻速和勻變速運動剛體繞定軸轉動的勻速

9、和勻變速運動基本公式的推導與質點勻速直線運動和質點勻變速直線運動的基本公式推導類似 基本公式 (書151頁)轉速n : 每分鐘轉過的圈數(shù) 單位 r/min例題5.1(152頁), 5.2(154頁)28三、解決剛體動力學問題的一般方法 原則:質點系的三個定理 利用剛體的特征化簡到方便形式( 簡便 好記)1.剛體的平動 質點模型 運用質心運動定理 2.剛體的定軸轉動 利用剛體的模型(無形變) 化簡角動量定理 功能原理 方便的形式292 剛體定軸轉動的運動定律 3 繞定軸轉動剛體的動能 動能定理 4 動量矩和動量矩守恒定律 一、 剛體定軸轉動 二、轉動慣量的計算(*) 三、剛體定軸轉動的角動量定理

10、(*) 四、角動量守恒定律 五、剛體定軸轉動的能量關系30一、 剛體定軸轉動的轉動定律 (質點系角動量定理微分形式的簡化) 質點系角動量定理微分形式：1.化簡過程定軸轉動所以，可直接寫分量式31=?因為各質元角動量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加任一質量元的角動量大小為因為所以32定義剛體對定軸的轉動慣量進一步化簡則剛體對定軸的角動量或寫為332.剛體定軸轉動的轉動定律定軸轉動定律在轉動問題中的地位相當于平動時的牛頓第二定律應用轉動定律解題步驟與牛頓第二定律時完全相同。見181頁選擇 題(1)34二、轉動慣量的計算 1.定義例：如圖質點系35例5.3(159頁) 已知一質量為

11、M、長為L的均質細棒,求桿對通過桿的一端并與桿垂直的軸的轉動慣量.解 取棒的一端為坐標原點，沿棒長方向取x軸，在棒上離原點x處取一段dx，則dx段的質量為根據(jù)公式，有 若軸通過中心，則yxLxdx在一系列的平行軸中，對質心的轉動慣量最小y362.計算 1) 對稱的 簡單的 查表 (161頁)2) 平行軸定理 parallel axis theoremyxLxdxy37 J 和轉軸有關 同一個物體對不同轉軸的轉動慣量是不同的 ooml213J=ooml1122J=oomr122J=oomr142J=平行軸38哪種握法轉動慣量大？39例5.4 (162) 已知:定滑輪解:受力圖輕繩 不伸長 無相對

12、滑動求：1）物體加速度a2）繩子的張力T3 ) 滑輪轉動的角加速度設得解40三、剛體定軸轉動的角動量定理(積分形式)一般的質點系一個剛體四.角動量守恒定律由多個剛體組成的剛體體系41演示(一)茹可夫斯基凳花樣滑冰 跳水(二)自行車轉盤mm42五、剛體定軸轉動的能量關系1.動能定理 化簡1）用轉動慣量表達剛體定軸轉動的動能質點系動能定理理解(164頁)432） 用角量表示的力作功的形式3） 剛體定軸轉動的動能定理形式 (167頁) 2.重力場中,機械能守恒定律系統(tǒng)- 剛體 + 地球了解(165頁)例題5.6(168)例題5.5(166頁),44例 質點與質量均勻的細棒相撞(如圖)解：過程1 質點與細棒相碰撞 碰撞過程中系統(tǒng)對o 點 的合力矩為設，完全非彈性碰撞求：棒擺的最大角度所以，系統(tǒng)對o點的角動量守恒。即，45細棒勢能質點勢能過程2 質點、細棒上擺 系統(tǒng)中包括地球