專題02 數(shù)的整除性

1、專題02數(shù)的整除性閱讀與思考設a，b是整數(shù)，b0，如果一個整數(shù)q使得等式a=bq成立，那么稱a能被b整除，或稱b整除a，記作b|a，又稱b為a的約數(shù)，而a稱為b的倍數(shù)解與整數(shù)的整除相關(guān)問題常用到以下知識：1數(shù)的整除性常見特征：若整數(shù)a的個位數(shù)是偶數(shù)，則2|a；若整數(shù)a的個位數(shù)是0或5，則5|a；若整數(shù)a的各位數(shù)字之和是3(或9)的倍數(shù)，則3|a(或9|a)；若整數(shù)a的末二位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)，則4|a(或25|a)；若整數(shù)a的末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù)，則8|a(或125|a)；若整數(shù)a的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)，則11|a2整除的基本性質(zhì)設a，b，c都是整數(shù)，有：若

2、a|b，b|c，則a|c；若c|a，c|b，則c|(ab)；若b|a，c|a，則b，c|a；若b|a，c|a，且b與c互質(zhì)，則bc|a；若a|bc，且a與c互質(zhì)，則a|b特別地，若質(zhì)數(shù)p|bc，則必有p|b或p|c例題與求解【例1】在1，2，3，2000這2000個自然數(shù)中，有_個自然數(shù)能同時被2和3整除，而且不能被5整除(“五羊杯”競賽試題)解題思想：自然數(shù)n能同時被2和3整除，則n能被6整除，從中剔除能被5整除的數(shù)，即為所求【例2】已知a，b是正整數(shù)(ab)，對于以下兩個結(jié)論：在ab，ab，ab這三個數(shù)中必有2的倍數(shù)；在ab，ab，ab這三個數(shù)中必有3的倍數(shù)其中()A只有正確B只有正確C，

3、都正確D，都不正確(江蘇省競賽試題)解題思想：舉例驗證，或按剩余類深入討論證明【例3】已知整數(shù)13ab456能被198整除，求a，b的值(江蘇省競賽試題)解題思想：198=2911，整數(shù)13ab456能被9，11整除，運用整除的相關(guān)特性建立a，b的等式，求出a，b的值【例4】已知a，b，c都是整數(shù)，當代數(shù)式7a2b3c的值能被13整除時，那么代數(shù)式5a7b22c的值是否一定能被13整除，為什么？(“華羅庚金杯”邀請賽試題)解題思想：先把5a7b22c構(gòu)造成均能被13整除的兩個代數(shù)式的和，再進行判斷【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”(例如：把

4、86放在415左側(cè)，得到86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù))，求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a，a，a，滿足對任意一個正整數(shù)m，在a，a，a12n12中都至少有一個為m的“魔術(shù)數(shù)”n(2013年全國初中數(shù)學競賽試題)解題思想：不妨設a7kt(i=1，2，3，n；t=0，1，2，3，4，5，6)至少有一個為m的ii“魔術(shù)數(shù)”根據(jù)題中條件，利用a10km(k是m的位數(shù))被7除所得余數(shù)，分析i的取值i【例6】一只青蛙，位于數(shù)軸上的點a，跳動一次后到達akk1，已知a，akk1滿足|ak1a|=1，k我們把青蛙從a開始，經(jīng)n1次跳動的位置依次記作A：a，a，a，a1n123

5、n寫出一個A，使其aa0，且aaaaa0；515123451000的值；若a=13，a12000=2012，求a對于整數(shù)n(n2)，如果存在一個A能同時滿足如下兩個條件：a=0；aaan1123a=0求整數(shù)n(n2)被4除的余數(shù)，并說理理由n)(2013年“創(chuàng)新杯”邀請賽試題解題思想：aa0即從原點出發(fā)，經(jīng)過4次跳動后回到原點，這就只能兩次向右，兩次向15左為保證aaaaa0只需將“向右”安排在前即可12345若a=13，a12000=2012，從a經(jīng)過1999步到a12000不妨設向右跳了x步，向左跳了y步，則13xy2012y0 xy1999x1999，解得可見，它一直向右跳，沒有向左跳設

6、A同時滿足兩個條件：a=0；aaaa=0由于a=0，故從原點出發(fā)，經(jīng)n1123n1過(k1)步到達a，假定這(k1)步中，向右跳了x步，向左跳了y步，于是a=xy，xy=kkkkkkkkk1，則aaaa=0(xy)(xy)(xy)=2(xxx)(xy)123n2233nn12n222(xy)(xy)=2(xxx)nn133nn23nn(n1)=4(xxx)即4|n(n1)23n由于aaaa=0，所以123n1某班學生不到50人，在一次測驗中，有1能力訓練A級11的學生得優(yōu)，的學生得良，的學生得及格，則732有_人不及格2從1到10000這1萬個自然數(shù)中，有_個數(shù)能被5或能被7整除(上海市競賽試

7、題)3一個五位數(shù)3ab98能被11與9整除，這個五位數(shù)是_4在小于1997的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是(A532B665C133D7985能整除任意三個連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是()A1B2C3D6)(江蘇省競賽試題)6用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，是9的倍數(shù)的數(shù)有(A12個B18個C20個D30個)(“希望杯”邀請賽試題)7五位數(shù)abcde是9的倍數(shù)，其中abcd是4的倍數(shù)，那么abcde的最小值為多少？(黃岡市競賽試題)81，2，3，4，5，6每個使用一次組成一個六位數(shù)字abcdef，使得三位數(shù)abc，bcd，cde，def能依次被4，5，3，

8、11整除，求這個六位數(shù)(上海市競賽試題)9173是個四位數(shù)字，數(shù)學老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)，依次可被9，11，6整除”問：數(shù)學老師先后填入的這3個數(shù)字的和是多少？(“華羅庚金杯”邀請賽試題)4有以下兩個數(shù)串1,4,7,10,1987,1990,1993,1996,1999同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個B級1若一個正整數(shù)a被2，3，9這八個自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為1，則a的最小值為_，a的一般表達式為_(“希望杯”邀請賽試題)2已知m，n都是正整數(shù)，若1mn30，且mn能被21整除，則滿足條件的數(shù)對(m，n)共有_個(天津市競賽試題)3一個六位數(shù)x1989y能被3

9、3整除，這樣的六位數(shù)中最大是_1,3,5,7,1991,1993,1995,1997,1999數(shù)共有()個A333B334C335D3365一個六位數(shù)a1991b能被12整除，這樣的六位數(shù)共有()個A4B6C8D126若1059，1417，2312分別被自然數(shù)n除時，所得的余數(shù)都是m，則nm的值為()A15B1C164D1747有一種室內(nèi)游戲，魔術(shù)師要求某參賽者相好一個三位數(shù)abc，然后，魔術(shù)師再要求他記下五個數(shù)：acb，bac，bca，cab，cba，并把這五個數(shù)加起來求出和N只要講出N的大小，魔術(shù)師就能說出原數(shù)abc是什么如果N=3194，請你確定abc(美國數(shù)學邀請賽試題)8一個正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N，則稱N為“拷貝數(shù)”，試求所有的三位“拷貝數(shù)”(武漢市競賽試題)9一個六位數(shù)，如將它的前三位數(shù)字與后三位數(shù)字整體互換位置，則所得的新六位數(shù)恰