專題16 相似三角形的性質(zhì)

1、專題16相似三角形的性質(zhì)閱讀與思考相似三角形的性質(zhì)有：1.對(duì)應(yīng)角相等；2.對(duì)應(yīng)邊成比例；3.對(duì)應(yīng)線段（中線、高、角平分線）之比等于相似比；4.周長之比等于相似比；5.面積之比等于相似比的平方.性質(zhì)3主要應(yīng)用于三角形內(nèi)接特殊平行四邊形的問題，性質(zhì)5進(jìn)一步豐富了面積的有關(guān)知識(shí)，拓展了我們研究面積問題的視角.如圖，正方形EFGH內(nèi)接于ABC，ADBC，設(shè)BCa，ADh，試用a、h的代數(shù)式表示正方形的邊長.AEHBFDGC例題與求解【例1】如圖，已知ABCD中，過點(diǎn)B的直線順次與AC，AD及CD的延長線相交于E，F(xiàn)，G，若BE5，EF2，則FG的長是.（“弘晟杯”上海市競賽試題）解題思路：由相似三角形

2、建立含F(xiàn)G的關(guān)系式，注意中間比的代換.GAFDEBC【例eqoac(,2)】如圖，已知ABC中，DEGFBC，且AD:DF:FB1:2:3，則SADE:S四邊形DFGE:S四邊形FBCG（）（黑龍江省中考試題）A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36解題思路：ADE，AFG都與ABC相似，用ABC面積的代數(shù)式分別表示ADE、四邊形DFGE、四邊形FBCG的面積.ADEFGBC【例eqoac(,3)】如圖，在ABC的內(nèi)部選取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作三條分別與ABC的三邊平行的直線，這樣所得的三個(gè)三角形t1，t2，t3的面積分別為4，9和49，求ABC的面積.（第二屆美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試

3、題）解題思路：由于問題條件中沒有具體的線段長，所以不能用面積公式求出有關(guān)圖形的面積，可考慮應(yīng)用相似三角形的性質(zhì).AFIDt1Pt3t2EBHGC如圖所示，經(jīng)過三角形內(nèi)一點(diǎn)向各邊作平行線（也稱剖分三角形）我們可以得到：FDPIPEPHGABC；HGIEDF1；BCACABDEFGHI2；BCACABSABC(ttt)2.123上述性質(zhì)，敘述簡捷，形式優(yōu)美，巧妙運(yùn)用它們解某些平面幾何競賽題，簡明而迅速，奇特而匠心獨(dú)運(yùn)，請(qǐng)讀者給出證明.【例eqoac(,4)】如圖，ABC中，O是三角形內(nèi)一點(diǎn)，滿足BAOCAOCBOACO.求證：BC2ACAB.（北京大學(xué)自主招生考試試題）解題思路：這實(shí)際上是一個(gè)著名

4、的問題：布洛卡點(diǎn)問題.設(shè)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足PABPBCPCA，稱點(diǎn)P是ABC的布洛卡點(diǎn)，則有cotBACcotABCcotACBcot.AOBC【例5】如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，DC5，AB42，B45.動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（1）求BC的長；（2）當(dāng)MNAB時(shí)，求t的值；（3）試探究：t為何值時(shí)，MNC為等腰三角形.（濟(jì)南市中考試題）解題思路：對(duì)于（2），由，構(gòu)造相似三角形，由三角形相似得對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而解決問題；對(duì)于（3），需要分情況討論.

5、在證明含線段平行關(guān)系的問題時(shí)，常常聯(lián)想到以下知識(shí)：勾股定理；相似三角形面積比等于相似比的平方.ADNBMC0.3S10.4時(shí)，則稱eqoac(,A)BC與eqoac(,A)BC有一定的“全等度”.如圖，已知梯形ABCD，ADBC，S【例6】設(shè)eqoac(,A)1B1C1的面積為Seqoac(,1)，A2B2C2的面積為S2(S1S2)，當(dāng)eqoac(,A)1B1Ceqoac(,1)A2B2C2，且1112222B30，BCD60，連接AC.（廈門市中考試題）（1）若AD=eqoac(,DC)，求證：DAC與ABC有一定的“全等度”；（eqoac(,2)）你認(rèn)為：DAC與ABC有一定的“全等度”

6、正確嗎？若正確，說明理由；若不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例說明.解題思路：本題設(shè)置了“全等度”這一新概念，要求在對(duì)其理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行辨析和判斷，并舉例說明符合或不符合概念特征的正例或反例，這是試題對(duì)概念理解考查的有力保障.ADEBC能力訓(xùn)練1.如圖，在ABC與BED中，若則ABC的周長為cm.A級(jí)ABBCAC5eqoac(,)，且ABC與BED的周長之差為10cm，BDBEDE3ACADEDEFBECADBBC（第1題）（第2題）（第3題）2.如圖，ABC中，CE:EB1:2，DEAC.若ABC的面積為S，則ADE的面積為.（蘇州市中考試題）3.如圖，在ABC中，DEBC，DE，CD交于F，且S3CF

7、EDEFS，則SA:Ceqoac(,ED)BAS.eqoac(,S)COG（）eqoac(,S)AOF:4.若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為cm.（武漢市中考試題）5.如圖，ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，EF交AC于點(diǎn)O，F(xiàn)E的延長線交CB的延長線于G點(diǎn)，那么A.1:4B.1:9C.2:5D.1:2DCADAAFOEBEMDFNOEGBCBMC（第5題）（第6題）（第7題）6.如圖，直角梯形ABCD中，BCD90，ADBC，BC=CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且BEC90.將BEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90使BC與DC重合

8、，得到DCF，連接EF交CD于點(diǎn)M.已知BC5，CF3，則DM:MC的值為（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:4（荊州市中考試題）7.如圖，ABC中，DEBC，BE與CD交于點(diǎn)O，AO與DE，BC分別交于點(diǎn)N，M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）SAN2ANONANOEON2SA.B.C.ONED.eqoac(,S)ADESAM2AMOMAMOCOM2OMBABC8.如圖，在正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N點(diǎn)在CD上.若BMNMBC，則為（）1122A.B.C.D.2335AMDDANCBBC（第8題）（第9題）CNND的值9.如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，ACDB.求證：AB2BCCD

9、2AD.10.如圖1，在eqoac(,Rt)ABC中，BAC90，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交AD于F，OEOB交BC于點(diǎn)E.BDBDFEFEAOCAOC圖1圖2（eqoac(,1)）求證：ABFCOE；（2）當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，ACOF2時(shí)，如圖2，求ABOE的值；（3）當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，ACOFn時(shí)，請(qǐng)直接寫出ABOE的值.（武漢市中考試題）11.如圖，ABC中，AB4，D在AB邊上移動(dòng)（不與A，B重合），DEBC交AC于E，連接eqoac(,S)ABCS，CD.設(shè)eqoac(,S)DECS.1A（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，求S:S的值；1DES（2）當(dāng)ADx，1y，用x的代數(shù)

10、式表示y，并求x的取值范圍；SBC1（3）是否存在點(diǎn)D，使得SS？若存在，求出D點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.14（福州市中考試題）12.在等腰ABC中，ABAC5，BC6.動(dòng)點(diǎn)M，N分別在兩腰AB，AC上（M不與A，B重合，N不與A，C重合），且MNBC.將AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P.（1）當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上；（2）設(shè)MNx，MNP與等腰ABC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（寧夏省中考試題）AMNBPCB級(jí)1.如圖，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB.若ADE，EFG，GIC的面積分別為20cm2

11、，45cm2，80cmeqoac(,2)，則ABC的面積為.ADEADBFHGICPBC（第1題）（第2題）2.如圖，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，對(duì)角線ACBD于P點(diǎn)，已知AD:BC3:4，則BD:AC的值是.（紹興市中考試題）S3.如圖，正方形OPQR內(nèi)接于ABC，已知AOR，BOP和CRQ的面積分別是S1，3和S1，123那么正方形OPQR的邊長是（）（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）A.2B.3C.2D.3AABAOREFE32BPQCDCB1DC（第3題）（第4題）（第5題）4.如圖，梯形ABCD中，ABCD，且CD3AB，EFCD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE:ED

12、（）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）A.2B.325151C.D.225.如圖，ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且123.如果ABC，EBD，ADC的周長依次是m，m1，m2，證明：mm512m4.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6.如圖，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，等長的三條線段DE，F(xiàn)G和HI分別平行于邊AB，BC和CA，并且AB12，BC8，CA6.求證：AI:IF:FB1:5:3.（江蘇省競賽試題）ADGCHESRPAIFBBPQC（第6題）（第7題）7.如圖，銳角ABC中，PQRS是ABC的內(nèi)接矩形，且SABCnS矩形PQRS，其中n為不小于3的自然數(shù).求證：BS為無理數(shù).AB（上海市競賽試題）8

13、.如圖，已知直線l1的解析式為y3x6，直線l1與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，直線l2經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,0).又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在直線l2上從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長度.設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.（1）求直線l2的解析式；（eqoac(,2)）設(shè)PCQ的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，PCQ為等腰三角形？（山西省中考試題）yBQAOPCx9.如圖，設(shè)ABC三邊上的內(nèi)接正方形（兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另兩邊上）的面積相等.求證：ABC為正三角形.（江蘇省競賽試題）AGFBDEC10.在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知ADCGk，連接DE與AF交于點(diǎn)P，連接CP.ABCEAF（1）如圖1，當(dāng)k1時(shí)，點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，求的值.DE（2）如圖2，當(dāng)k1時(shí)，將圖1中的矩形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度.求AFDE的值；求證：CPAF.（3）如圖3，當(dāng)k1時(shí)，請(qǐng)直接寫出用含k的式子表示的AFDE的值.AGDPFADPGADPGBCFBCFBCEEE圖1圖2圖311.在直角梯形ABCD中，CBOA，COA9