動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓或圓弧最值應(yīng)用舉例

1、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧的幾何最值問題應(yīng)用舉例方法：利用三點(diǎn)共線即三角形三邊的關(guān)系求最值例1、如圖，在RtAABC中，ZACB=90, AC=3, BC=2.點(diǎn)P是MBC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZPAC=/PCB，則線段BP長的最小值是.解：.ZACB=90,.NACP+ZBCP=90,./PAC=NPCB, AZCAP+ZACP=90,ZAPC=90，.點(diǎn)P在以AC為直徑的。O上，連接OB交。O于點(diǎn)P,此時(shí)PB最小，在 RtACBO 中，.NOCB=90，BC=2，OC=15，.OB=十日。2=2.5，.PB=OB - OP=2.5 - 1.5=1.PB最小值為1.例 2、如圖，RtAABC 中，N

2、ACB=90，AC=4, BC=3, P 為一動(dòng)點(diǎn)，且 PAPC，連接 BP，貝U BP的最大值為CB C B解：.PAPC，.NAPC=90，.點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上，取AC的中點(diǎn)為O，以AC為直徑畫。0，則當(dāng)PB經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，BP最大，.BC=3,OC=AC=2,由勾股定理得：OB=配仲北產(chǎn)=%，+3 Lu= 13，.BP的最大值為13+2，例3、如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，連接BE，CE，且ZABE=ZBCE，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PE，則PD+PE的長度最小值為.AD解：.四邊形ABCD是正方形，.NABC=90，.NABE+NCBE=90yZA

3、BE=ZBCE,ZBCE+ZCBE=90,ZBEC=90, 點(diǎn)E 在以 BC 為直徑的半圓上移動(dòng)， 如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為O,作正方形ABCD關(guān)于直線AB對稱的正方形4產(chǎn)68,則點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是F, 連接FO交AB于P,交半圓O于E,則線段EF的長即為PD+PE的長度最小值，VZG=90, FG=BG=AB=6,.OG=9,.OF= /=3 門3,.EF=3 T3-3,故PD+PE的長度最小值為.13-3,例4 （2018蘭州）如圖，肱、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足A肱=BN,連接 AC交BN 于點(diǎn)E,連接DE交AM于點(diǎn)兄連接。兄 若正方形的邊長為6,則線段CF的最小值是.D M

4、N c D M N C解：如圖，在正方形 ABCD 中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,AM=BN在 RtAADM和 RtABCN 中，,RtAADMRtABCN (HL),ZDAM=ZCBN,%C 二 CD在DCE 和BCE 中，(匕口CE二ZECE,DCE絲BCE (SAS),.ZCDE=NCBE:CE=CE:.ZDAM=ZCDE,:ZADF+ZCDE=ZADC=90,.NDAM+NADF=90，.ZAFD=180-90=90,取AD的中點(diǎn)O,連接OF、OC,則號AD=3，在RtODC中；恥十或=33根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,OF+CFOC,.當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，

5、CF的長度最小，最小值=OC-OF=3.S -3.例5如圖，在RtAABC中，匕ABC=90, BC=4, AB=6，在線段AB上有一點(diǎn) M,且BM=2.在線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)凹連接MN, BN將田MN沿BN翻折得到ABM N.連接AM 、CM，.則2CM+； AM的3最小值為.2解：在BM上截取BQ=,BQ BM 2Q = , ZQBM = /M BA，:.ABQM AZBM A.31.QM = = _, / QM = _ MA,MA BMf 33:.2CM + 3 AM = 2(CM +3 AM) = 2(CM + QM)當(dāng)Q、M 、C三點(diǎn)共線時(shí)，CM + QM=QC有最小值為：QC=、/b

6、Q2 + BC2 =+ 42 = Vl.2CM + 2 AM的最小值為$ 37 .33例6、如圖，在RtBC中 &，Q為AC上的動(dòng)點(diǎn)，P為RtAABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZAPB=120，若D為BC的中點(diǎn)，則PQ+DQ的最小值是解：如圖以AB為邊，向左邊作等邊ABE，作AABE的外接圓。O,連接OB，則點(diǎn)P在。O上. 在RtAABC中 2，.AB=4 3則易知OB=4, OBLBC，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D連接OD，OP，PD，PD交AC于Q，則 PQ+QD=PQ+QD，=PD，:PD，NOD，-OP，OP=OB=4, OD，= 4*4(& 3=運(yùn):-PD，N .W-4，.PQ+DQ的最小值為一.

7、星-4,練習(xí)1、（2019雙流區(qū)模擬）如圖，在矩形4BCD中，AB=3, AD=4,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接龐，過點(diǎn)B作BG點(diǎn)CE于點(diǎn)G，點(diǎn)P是AB邊上另一動(dòng)點(diǎn)，連接PD, PG,則PD+PG的最小值為.解：如圖，取點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D.以BC中點(diǎn)O為圓心，OB為半徑畫半圓.連接OD交AB于點(diǎn)P，交半圓O于點(diǎn)G，連BG.連CG并延長交AB于點(diǎn)E.由以上作圖可知，BG由EC于G. PD+PG=PD +PG=D G由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PD+PG最小.:D C=AB=3，OC=6，.D O= 3 膈=3 5, :.D G=DO-OG=3 5 -2，A PD+PG的最小值為 3 - 2

8、，2 （2018春姜堰區(qū)期中）如圖，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊CD、CB上的動(dòng)點(diǎn)，滿足DM=CN，AM與DN相交于點(diǎn)，連接。，若正方形的邊長為2,則線段CE的最小值是DM解法一：取AD中點(diǎn)O,連接OE，OC.ABCD 是正方形，:.AD=CD，ZADC=ZDCB=90。且 DM=CN, :. ADMDCN:.ZCDN=ZDAM, .NCDN+/ADN=90 ,：./DAM+ZADN=90 ,.：ZAED=90.:點(diǎn)E是以AD為直徑的圓上一點(diǎn)，正方形ABCD的邊長為2, O是AD中點(diǎn).：CD=2, OD=1=OE, :OC= 口口2 北薩= 5,ECNOC-OE=3 - 1, :.EC 的

9、最小值 5-1解法二：如圖，取AD中點(diǎn)O,連接OE，OC,當(dāng)O、E、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，DH長度最小， 線段DH長度的最小值是：5-1.3 2019*梁子湖區(qū)模擬）如圖，M, N是正方形ABCD的邊BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足BM=CN，連結(jié)AC交DN于點(diǎn)P,連結(jié)AM交BP于點(diǎn)0若正方形的邊長為1,則線段CQ的最小值是解：.四邊形ABCD是正方形，:,AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90,ZACB=ZACD=45rAB=DC在MBM和DCN中，匕蛔m二NDCIT，MBM絲點(diǎn)仁二匕曲肱二之彼可，別二CNrCP=CP在CPB 和6 中，/PCB=/PCD，CPD絲CPB,

10、NCDP=ZCBP=NBAM,lcb=cdVZCBP+ZABP=90，AZBAM+ZABP=90，AZAQB=90，.點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為0,連接OC交。于點(diǎn)0，此時(shí)CQ最小，:C0=扼-1=0C-0Q =4、如圖，22在RtMBC中3 Q為AC上的動(dòng)點(diǎn)，P為RtMBC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZAPB=120，若D為BC的中點(diǎn)，則PQ+DQ的最小值是,解：如圖以AB為邊，向左邊作等邊ABE，作AABE的外接圓。O,連接OB，則點(diǎn)P在。O上. 在RtMBC中一 S,.AB=8 3則易知0B=8, OBBC,作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D連接 OD, OP, PD , PD交AC于Q,則P

11、Q+QD=PQ+QD =PD , PD NOD -OP, OP=OB=4,OD = J OB2 + BD2 =槌2 + （6 2 = 2（石:-PDf 2（43 -8, :.PQ+DQ 的最小值為，43 - 8.5、（2019秋玄武區(qū)期末）如圖，在RtAABC中，ACB=90, AC=6, BC=8, D、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=4, P是DE的中點(diǎn)，連接PA, PB，則#PB的最小值為.4解：如圖，在BC上截取岑，連接PF，CP，AF，.DE=4, P是DE的中點(diǎn)DE=2,.CP 1 CF_1 . CP CF 0PF 1.京宜序=Z .京標(biāo)，且亦司.以=2,.PA+pB=P

12、A+PF，.當(dāng)點(diǎn)a，點(diǎn)P，點(diǎn)F共線時(shí)pB的最小值為AF， 44AF=CKF*.* +35=：6 （重慶八中定時(shí)練習(xí)七18題）如圖，正方形ABCD中，M、N是AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且AM=BN，連接MD交對角線AC于點(diǎn)E，連接BE交CN于點(diǎn)F.若AB=2,則線段AF長度的最小值為7、（2020 ft西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符*=丘。0且k1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先由古希 臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C （m, 0）, D （0, n）,點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP=r,L=k, 求 PC+kPD的最小值.0D阿波羅尼斯102阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1,在OD上取點(diǎn)M,使得0M： OP=OP： OD=k；第二步：證明kPD=PM；第三步：連接。肱，此時(shí)CM即為所求的最小 值.下面是該題的解答過程(部分)： 解：在OD上取點(diǎn)M,使得OM： OP=OP： OD=k,又 VZPOD=ZMOP,AAPOMADOP.任務(wù)：將以上解答過程補(bǔ)充完整.如圖 2,在 RtMBC 中，NACB=90, AC=4, BC=3, D 為AABC 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足 CD=2, 利用(1)中的結(jié)論，請直接寫出BD的最小值.解(1)在OD上取