變化率與導(dǎo)數(shù)

1、變化率與導(dǎo)數(shù)平均變化率 令x x2x1 , y f (x2) f (x1) ,那么yf (x)從x1到 x2的平均變化率.我們把式子 稱(chēng)為函數(shù) 1212)()(xxxfxf-yx1. 式子中x ,y 的值可正,可負(fù), 但x值不能為 0, y 的值可以為 0.2. 假設(shè)函數(shù) f (x)為常函數(shù)時(shí), y0. 3. 變式:平均變化率 1212)()(xxxfxf-yxxxfxxfxxxfxf )() ()()(111212D-D+-考慮:觀察函數(shù) yf (x)的圖象,平均變化率表示什么?yxf(x2)f(x1)x2x1xyOf(x2)f(x1)x1x2x2x1f(x2)f(x1)yf (x)表示割線

2、斜率例1 (2) 求函數(shù) f (x) x2 1在區(qū)間 x=-3附近 的平均變化率.例題分析 一般地, 函數(shù) yf(x) 在點(diǎn)xx0處的瞬時(shí)變化率是我們稱(chēng)它為函數(shù) y f (x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)，記為 f (x0)或 y| ,即導(dǎo)數(shù)的概念 xx0求導(dǎo)數(shù)的步驟例2 將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各 種不同產(chǎn)品, 需要對(duì)原油進(jìn)冷卻和加熱. 假設(shè)第 x h時(shí), 原油的溫度(單位: oC) 為 f(x)x27x15 (0 x8). 計(jì)算第2h 與低6h時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義。例題分析解:yxf(2x)f(2)xx3f (2)=-3為原油溫度在 t2 時(shí)的瞬時(shí)變化率,它說(shuō)明了在第2h附

3、近，原油溫度達(dá)約以3 oC/h的速度下降。導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)數(shù)的步驟xyOPxyOPxyOPxyOPP2P1P3P4yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)1.切線的定義： 當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線趨近于P點(diǎn) ,即x 0時(shí),割線PPn趨近于一個(gè)確定的位置,這個(gè)確定位置的直線PT稱(chēng)為點(diǎn)P處的切線.xyOy=f(x)PPnxyTlABOxy注:曲線的切線,并不一定與曲線只有一 個(gè)交 點(diǎn), 可以有多個(gè),甚至可以有無(wú)窮多個(gè).如圖: 當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線的斜率無(wú)限趨近于切線的斜率.即當(dāng)x0時(shí),割線PQ的斜率為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.也就是說(shuō)函數(shù) f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率 k .這個(gè)概念

4、: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在xx0處的導(dǎo)數(shù).PQOxy割線切線T割線的斜率與切線的斜率的關(guān)系 y=f(x)即: k切線f (x0) xyxDDD0limxxfxxfxD-D+D)()(lim000 函數(shù) yf (x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn) (x0 , f(x0) 處的切線的斜率 k ， 即：曲線在點(diǎn)(x0 , f(x0)處的切線的方程為：2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 yf (x0) f (x0)(xx0) 例2 求曲線yf(x)x21在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.因此,切線方程為y22(x1),即 y 2x.解：yxOxyP1【總結(jié)提升】求曲線在某點(diǎn)處的

5、切線方程的根本步驟:求出切點(diǎn)P的坐標(biāo)；求切線的斜率,即函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù);利用點(diǎn)斜式求切線方程.1.如以下圖,函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是yx8,那么 f(5) f (5) _.變式訓(xùn)練 4.導(dǎo)函數(shù)的定義： 弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)、“導(dǎo)函數(shù)、“導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)絡(luò)。1函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。2函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的,就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 。3函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù) 在x=x0時(shí)的函數(shù)值。這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 變式：拋物線y=2x2+1，求：(1)拋物線上哪一點(diǎn)處的切線的傾斜角為450?(2)拋物線上哪一點(diǎn)處的切線平行于直線 4x-y-2=0?D 題型分類(lèi)深度剖析題型分類(lèi)深度剖析D 1.曲線的切線定義:割線的極限位置課堂小結(jié) 2. 函數(shù) yf (x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn) (x0 , f(x0) 處的切線的斜率 k ， 即：(3)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) f (x0)就是導(dǎo)函數(shù) 在xx0處的函數(shù)值,即 f (x0)| . 這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一. (2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的, 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) f (x) .(1)函數(shù)在