《3.1.1函數的平均變化率》教學案1

1、3.1.1函數的平均變化率教學案教學目標：1、知識目標：通過生活實例使學生理解函數增量、函數的平均變化率的概念；掌握求簡單函數平均變化率的方法，會求函數的平均變化率；理解函數的平均變化率的含義，引出函數的瞬時變化率概念，簡單應用為下一節(jié)導數概念的學習打好基礎.2、能力目標：使學生在研究過程中熟悉數學研究的途徑：背景數學表示應用，培養(yǎng)學生獨立思考，解決問題的能力和在生活中建立數學模型，用數學理論解釋生活問題、應用數學的能力.3、情感目標：使學生通過學習，了解簡單的情景蘊涵建立模型解決問題的一般思想方法，鼓勵學生主動探究、不懼困難，勇于挑戰(zhàn)自我的思想品質.并養(yǎng)成學生探究總結型的學習習慣.教學重點：

2、函數自變量的增量、函數值的增量的理解教學難點：函數平均變化率的理解.教學過程：一、引入：1、情境設置：（圖片）巍峨的珠穆朗瑪峰、攀登珠峰的隊員兩幅陡峭程度不同的圖片2、問題：當陡峭程度不同時，登山隊員的感受是不一樣的，如何用數學來反映山勢的陡峭程度，給我們的登山運動員一些有益的技術參考呢？3、引入：讓我們用函數變化的觀點來研討這個問題.二、例舉分析：（一）登山問題例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點，H是山頂，登山路線用y=f（x）表示yf怎樣表示？分析：1、選取平直山路AB放大研究問題：當自變量X表示登山者的水平位置，函數值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應函數值y的改變量：A

3、=y1-y直線AB的斜率:若A(xo,y),Bxi，新自變量x的改變量：Ax=xi-y-yAyk=i=-x-xAx10說明：當登山者移動的水平距離變化量一定(Ax為定值)時，垂直距離變化量(A)越大,則這段山路越陡峭；2、選取彎曲山路CD放大研究方法：可將其分成若干小段進行分析：如CD的陡峭程度可用直線CD的斜率表示(圖略)結論：函數值變化量(A)與自變量變化量(心)的比值學反映了山坡的陡峭程度各Ax段的產不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在這段山路上的平均變化量不同.Ax當越大，說明山坡高度的平均變化量越大，所以山坡就越陡；當越小，說明山坡高AxAxAyf(x)-f(x)度的平均變

4、化量小，所以山坡就越緩所以，亍=屮k高度的平均變化成Axx-xk+1k為度量山的陡峭程度的量，叫做函數(x)的平均變化率.三、函數的平均變化率與應用.1、定義：已知函數y=/(x)在點x=x及其附近有定義，令Ax=xx0；Ay二y-y二f(x)-f(x)二f(x+Ax)-f(x).則當Ax豐0時，比值f(xoJf(%)二學叫做函數y二f(x)在化到化+Ax之間的平均變化率.002、例題解析例1.求y二x2在到+Ax之間的平均變化率.解：當自變量從x0變到x0+Ax時，函數的平均變化率為f(x+Ax)-f(x)(x+Ax)2-x2v0V0=00=2x+Ax.當Ax取定值，x取不同數值時，該AxA

5、x00函數的平均變化率也不一樣.可以由圖看出變化.11/p=.rJ.4111if/1/12-1O12例2.求y二-在x到x+Ax之間的平均變化率.x00解：當自變量從x0變到x0+Ax時，11函數的平均變化率為f(x+Ax)f(x?)=x?+Axx?=-1AxAx(x+Ax)x00變式：某市2004年4月20日最高氣溫為33.4C，而此前的兩天，4月19日和4月18日最高氣溫分別為24.4C和18.6C，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8C，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣溫3.5C與4月18日最高氣溫18.6C進行比較，我們發(fā)現兩者溫差

6、為15.1C，甚至超過了14.8C.而人們卻不會問題：當自變量t表示由3月18日開始計算的天數，T表示氣溫，記函數T二g(t)表示溫度隨時間變化的函數，那么氣溫變化的快慢情況應當怎樣表示？分析：如圖：1、選擇該市2004年3月18日最高氣溫3.5C與4月18日最高氣溫18.6C進行AT比較，At二30,AT二18.63.5二15.10C，由此可知沁0.5033；At2、選擇該市2004年4月18日最高氣溫18.60C與4月20日33.40C進行比較ATAt=2,AT二33.418.6二14.80C，由此可知沁7.4AtAT結論：函數值的平均變化率反映了溫度變化的劇烈程度.AtAT各段的丁不同反映了溫度變化的劇烈程度不同，也就是氣溫在這段時間內的平均變化At量不同當學越大，說明氣溫的平均變化量越大，所以升溫就越快；當學越小，說明氣AtAt溫的平均變化量小，所