《微觀經(jīng)濟十八講》VNM效用函數(shù)與風(fēng)險升水

1、Chap4. VNM（馮諾依曼-摩根斯坦）效用函數(shù)與風(fēng)險升水1.不確定性與選擇公理2.馮諾依曼摩根斯坦效用函數(shù) 3.風(fēng)險度量、確定性等值與風(fēng)險升水本章要點1.不確定性與選擇公理一、不確定性經(jīng)濟活動中始終存在著決策的不確定性。不確定性和風(fēng)險是一個不同的概念，奈特在風(fēng)險、不確定和利潤（1916）第一次區(qū)分了經(jīng)濟活動中不確定性與風(fēng)險，不確定性是客觀的，指行動的結(jié)果總是被置于某種概率之下，而風(fēng)險主要是指主觀上的認(rèn)識能力。不確定性可以用數(shù)學(xué)語言進行描述。主要用數(shù)學(xué)期望函數(shù)和方差。彩票的選擇具有一般商品消費選擇的特征，具有收益的不確定性?？梢杂檬阶?表示。如它會產(chǎn)生兩種結(jié)果。二、單賭和復(fù)賭單賭：設(shè)有n種可

2、能的事件結(jié)果， 則單賭集合可寫成： 也可以簡寫為：復(fù)賭：凡是獎品本身又成了賭博本身的賭博。 高產(chǎn)20%正常40%低產(chǎn)40%雨量大20%0.040.080.080.20雨量中50%0.100.200.200.50雨量小30%0.060.120.120.30獎品是產(chǎn)量的分布，它們又具有不確定性，而成為賭局本身?！就陚湫耘c傳遞性公理】對兩種不同的結(jié)果，消費者的偏好為：三、不確定條件下的選擇公理【連續(xù)性公理】差異很大的兩個不確定結(jié)果的某種加權(quán)結(jié)果會等同于某個確定的中間結(jié)果?！惊毩⑿怨怼考俣ㄏM者A與B之間無差異，設(shè)C為任一個另外的結(jié)果。如果一張彩票L1會以概率P與(1-P)帶來結(jié)果A與C，另一張彩票

3、L2以概率P與(1-P)帶來結(jié)果B與C，那么，消費者會認(rèn)為這兩張彩票L1與L2無差異。例：設(shè)A=獲1000元,B=獲10元,C=死亡。對大多數(shù)人，1000元10元死亡。設(shè)10元為一確定的狀態(tài)。則必定存在概率0P1，使得：【不相等公理】當(dāng)且僅當(dāng)：消費者嚴(yán)格偏好于L2。2.馮諾依曼摩根斯坦效用函數(shù)一、VNM效用函數(shù)定義1.期望結(jié)果1結(jié)果2概率收入概率收入傭金制0.5020000.501000固定薪水制0.9915100.01510推銷員的收入2.期望效用則對應(yīng)的期望效用函數(shù)為：則消費者更偏好于g1，當(dāng)且僅當(dāng)期望效用函數(shù)的作用：當(dāng)消費者面臨不確定性時，可用期望效用最大化分析消費者的行為。期望效用函數(shù)

4、或VNM效用函數(shù)二、期望效用函數(shù) 即用消費者心里那個ai使與某個單賭等價的最好事件發(fā)生的概率來定義u(ai)。例：設(shè)A=(a1,a2,a3)=(10元,4元,-2元)C=死亡。當(dāng)a1發(fā)生的概率P為多少時，消費者認(rèn)為a1(i=1,2,3)與(P,a1, a3)無差異?如果該消費者回答：因此，可定義：比較單賭格局：消費者偏好于單賭的期望效用：單賭的期望收入：3.風(fēng)險度量、確定性等值和風(fēng)險升水一、風(fēng)險度量事件A的風(fēng)險度量：結(jié)果1 離差結(jié)果2 離差工作12000 5001000 500工作21510 10510 990實際收入與期望收入的離差工作1的平均離差：工作2的平均離差：平均離差=P1結(jié)果1的離

5、差+P2結(jié)果2的離差通常風(fēng)險以方差或標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方根）來度量：二、對風(fēng)險的主觀態(tài)度效用函數(shù)的凹性與經(jīng)濟含義 效用函數(shù)的凹性：含義：表示通常情況下人們是“風(fēng)險規(guī)避”的。風(fēng)險規(guī)避者風(fēng)險偏好者風(fēng)險中立者定義 在g中風(fēng)險規(guī)避在g中風(fēng)險偏好在g中風(fēng)險中立 絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)：由決策者的效用函數(shù)的曲率表示的。由于它是對一個財富水平下的風(fēng)險的度量，所以又被稱為是局部絕對風(fēng)險規(guī)避度量。這在于說明在財富收益水平絕對量上的增加或損失。風(fēng)險規(guī)避程度 三、確定性等值、風(fēng)險升水及其應(yīng)用確定性等值是完全確定的收入量，此收入水平對應(yīng)的效用水平等于不確定條件下期望的效用水平，即CE滿足：風(fēng)險升水：是收入P，當(dāng)一個完全確定收

6、入減去P產(chǎn)生的效用仍等于不確定條件下期望的效用水平，即： ?；騿钨€g含的風(fēng)險相當(dāng)于使一個確定的收入E(g)減少了P?；蛘哒f，風(fēng)險升水指一個完全確定的收入E(g)轉(zhuǎn)化為兩個不確定的收入w1和w2時，消費者由于面臨風(fēng)險付出的代價。O例：假定 。令單賭中贏h和虧h各有50%的概率，設(shè)消費者原來的資產(chǎn)水平為w。求CE與風(fēng)險水平P。例6：一種彩票贏得900元的概率為0.2；若輸，只獲得100元，概率為0.8。若消費者的效用函數(shù)形式為 ，問該消費者愿意出多少錢購買這張彩票？風(fēng)險升水是多少？消費者的出價應(yīng)按CE給出，即例7：某消費者的效用函數(shù)為： 。w0=9000，h=8000（火災(zāi)后損失大部分財產(chǎn)）,發(fā)生火災(zāi)的概率=0.05。求消費者愿意支付的保險價格R與保險公司在消費者支付R時的利潤。保險公司付賠額度為4000元，保險費為5900元，保險公司的利潤為1900元。例8：設(shè)風(fēng)險規(guī)避的個人初始財產(chǎn)為w0，其效用函數(shù)具有VNM性質(zhì)。如購買汽車保險，假定遇上車禍，財產(chǎn)損失為L；若遇上車禍的概率為 ，他會購買多少保險？購買保險的數(shù)額取決于對每一元保險值收取多少價格。保險的公平價格指使保險公司期望利潤為零的價格。保險的公平價格（1元價值的保險的收費）等于車禍發(fā)生的概率。投保人的目標(biāo)是使期望利潤