2021屆江蘇省常州市高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁(yè)，總 =sectionpages 4 4頁(yè)第 Page * MergeFormat 21 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 21 頁(yè)2021屆江蘇省常州市高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【分析】先求得集合，根據(jù)方程，求得或，分，和三種情況，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.【詳解】由不等式，解得或，即，又由，解得或，當(dāng)時(shí)，可得集合，此時(shí)不滿足；當(dāng)時(shí)，可得集合，若，要使得，則滿足，解得；若，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.2i是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)

2、數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A(，)B(，)C(，)D(，)【答案】A【分析】把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為故選：A3已知a，b，c是實(shí)數(shù)，則“ab”是“ac2bc2”的（ ）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及充分條件、必要條件求解.【詳解】因?yàn)閍bac2bc2, 而ac2bc2 ab，例如，所以“ab”是“ac2bc2”的充分不必要條件，故選：B4設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1，)處的切線方程為y=x，則函數(shù)的增區(qū)間為（ ）A(0，1)B(0，)C(，)D(，1)【答案】C【分析】由的圖象在點(diǎn)(1，)處的切

3、線方程為y=x，得到求出a、b，直接利用導(dǎo)數(shù)求出增區(qū)間.【詳解】的定義域?yàn)?，函?shù)的圖象在點(diǎn)(1，)處的切線方程為y=x，解得：欲求的增區(qū)間只需，解得：即函數(shù)的增區(qū)間為(，)故選：C【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果0，0，k，bR，則函數(shù)在區(qū)間(，)上的零點(diǎn)最多有（ ）A4個(gè)B5個(gè)C6個(gè)D7個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)大致圖象即可求解.【詳解】由，可得， 的周期，故在區(qū)間(，)上恰好2個(gè)周期，作出與函數(shù)的大致圖象如圖，由圖象可知，最多有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間(，)上的零點(diǎn)最多有5個(gè).

4、故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，也可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題，本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，作出大致圖象可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).二、多選題9已知，是平面上夾角為的兩個(gè)單位向量，在該平面上，且()()=0，則下列結(jié)論中正確的有（ ）ABCD，的夾角是鈍角【答案】BC【分析】在平面上作出，作，則可得出點(diǎn)在以為直徑的圓上，這樣可判斷各選項(xiàng)，特別是CD 由向量加法和減法法則判斷AB【詳解】如圖，則，即，B正確；，由()()=0得，點(diǎn)在以直徑的圓上（可以與重合）中點(diǎn)是，則，A錯(cuò)；的最大值為，C正確；與同向，由圖，與的夾角不可能為鈍角D錯(cuò)誤故選：BC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查向

5、量的線性運(yùn)算，考查向量數(shù)量積解題關(guān)鍵是作出圖形，作出，確定點(diǎn)軌跡，然后由向量的概念判斷本題也可以放到平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)解決10已知在數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，某校學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布，其中分為及格線，則下列結(jié)論中正確的有（附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則）（ ）A該校學(xué)生成績(jī)的期望為B該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為C該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為D該校學(xué)生成績(jī)及格率超過(guò)【答案】ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的數(shù)字特征可判斷ABC選項(xiàng)的正誤，計(jì)算出，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)樵撔W(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布，則，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，.所以，該校學(xué)生成績(jī)的期望為，該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為，該校學(xué)生成績(jī)及格率超過(guò).所以，ABD選項(xiàng)正確

6、，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.11意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論中正確的有（ ）ABCD【答案】ACD【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行判斷【詳解】由題意斐波那契數(shù)列前面8項(xiàng)依次為，A正確，B錯(cuò)誤；，C正確；，時(shí)，得，D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列新定義，解題關(guān)鍵是正確理解新數(shù)列，根據(jù)新定義，斐波那契數(shù)列滿足遞推關(guān)系，對(duì)于數(shù)列前面有限的項(xiàng)或前項(xiàng)的和可以直接求出項(xiàng)，計(jì)算，對(duì)于一般的結(jié)論只能利用這

7、個(gè)遞推關(guān)系判斷12設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在常數(shù)a滿足a，aD，且對(duì)任意的a，a，總存在a，a，使得，稱函數(shù)為P(a)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（ ）A函數(shù)是函數(shù)B函數(shù)是函數(shù)C若函數(shù)是函數(shù)，則t=4D若函數(shù)是P()函數(shù)，則b=【答案】AD【分析】根據(jù)題中所給定義，結(jié)合條件，逐一檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)，分析整理，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：，定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，有，對(duì)任意，因?yàn)?，存在，使，所以函?shù)是函數(shù)，故A正確；對(duì)于B：，定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，所以不存在，使得，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)t=4時(shí)，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，則，所以，又為增函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng) 時(shí)，所以

8、，因?yàn)楹瘮?shù)是P()函數(shù)，所以對(duì)任意，總存在使，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，解得b=，故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是掌握P(a)函數(shù)的定義，并根據(jù)選項(xiàng)所給條件，結(jié)合各個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分析和判斷，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.三、填空題13圓柱上下底面的圓周都在一個(gè)體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的表面積為_(kāi).【答案】80【分析】作出圓柱的軸截面，求出圓柱的高，即可得表面積【詳解】如圖是圓柱的軸截面，其外接圓是球的大圓，由得，又，圓柱表面積為故答案為：14函數(shù)的最小正周期T=_.【答案】【分析】由題可得，可判斷是以為周期的函數(shù)，再討論在和的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】，是以為周期的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

9、函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，在內(nèi)不存在小于的周期，是的最小正周期.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期的求解，解題的關(guān)鍵是先判斷出是函數(shù)的周期，再根據(jù)其性質(zhì)探討其為最小正周期.15已知函數(shù)，則使不等式成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍是_.【答案】【分析】利用的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在時(shí)為減函數(shù)，可解不等式【詳解】， ，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，時(shí)，設(shè)，則，所以，即即是減函數(shù)，所以時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，因此由得，解得且故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，利用對(duì)稱性、單調(diào)性不等式，求解方法類似于二次函數(shù)：對(duì)開(kāi)口向上的拋物線，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，開(kāi)口向下的拋物線，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值

10、越大四、雙空題16已知橢圓C1：的右焦點(diǎn)F也是拋物線C2：y2=nx的焦點(diǎn)，且橢圓與拋物線的交點(diǎn)到F的距離為，則實(shí)數(shù)n=_，橢圓C1的離心率e=_.【答案】4 【分析】依題意可得橢圓與拋物線的焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義即可求出，再設(shè)橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，由拋物線的定義求出的坐標(biāo)，最后代入橢圓方程，求出參數(shù)，即可求出橢圓離心率；【詳解】解：橢圓C1：，所以右焦點(diǎn)，又也為的焦點(diǎn)，所以，所以，即拋物線，則拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，則，所以，又點(diǎn)在上，所以，解得，所以，所以，解得或（舍去）所以橢圓方程為，所以，所以離心率故答案為：；五、解答題17設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q

11、1)，前n項(xiàng)和為.（1）若，求的值；（2）若q1，且，m，求m的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知根據(jù)等比數(shù)列的求和公式得，可求得公比，由此可求得的值；.（2）由已知和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得可求得公比代入可求得的值.【詳解】解：（1），解得，所以.（2）得因?yàn)?，所以由又所以，即因?yàn)閯t所以，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地運(yùn)用相應(yīng)的公式，建立方程或方程組，求解得答案.18已知中，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用余弦定理，求得，進(jìn)而求得的值；（2）由，得到，進(jìn)

12、而求得的值.【詳解】（1）在中，因?yàn)椋从捎嘞叶ɡ砜傻?，因?yàn)?，所?（2）在中，可得，可得，由，可得，又由，則，則，所以.19已知某射手射中固定靶的概率為，射中移動(dòng)靶的概率為，每次射中固定靶移動(dòng)靶分別得1分2分，脫靶均得0分，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，該射手進(jìn)行3次打靶射擊：向固定靶射擊1次，向移動(dòng)靶射擊2次.（1）求“該射手射中固定靶且恰好射中移動(dòng)靶1次”的概率；（2）求該射手的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）記“該射手射中固定靶且恰好射中移動(dòng)靶1次”為事件，得到，結(jié)合互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）隨機(jī)變量的

13、可能取值為0，1，2，3，4，5，根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.【詳解】（1）記“該射手射中固定靶且恰好射中移動(dòng)靶1次”為事件，則，其中互斥，相互獨(dú)立，從而，則，所以該射手射中固定靶且恰好射中移動(dòng)靶1次的概率為.（2）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4，5，則，,該射手的總得分的分布列為X012345隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】求隨機(jī)變量的期望與方差的方法及步驟：1、理解隨機(jī)變量的意義，寫(xiě)出可能的全部值；2、求取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列；3、由期望和方差的計(jì)算公式，求得數(shù)學(xué)期望；4、若隨機(jī)變量的分布列為特殊分布列

14、（如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20如圖，在四棱錐中，底面四邊形是矩形，平面 平面，二面角的大小為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理得出平面，可得出，推導(dǎo)出為等腰直角三角形，可得出，利用線面垂直的判定定理可證得平面；（2）在底面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，設(shè)，推導(dǎo)出為直線與平面所成角，計(jì)算出、，進(jìn)而可計(jì)算得出.【詳解】（1）四棱錐中，四邊形是矩形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面，又因?yàn)椤⑵矫?，所以，從而是二面角的平面角，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所?/p>

15、，在中，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以平面；?）在底面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由（1）知平面，又平面，所以，又因?yàn)?，所以平面，從而為直線與平面所成角，設(shè)，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；求，利用解三角形的知識(shí)求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.21已知函數(shù)，a，bR.（1）若a0，b0，且1是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的最小值；（2）若b=a+1，且存在，

16、1，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）最小值；（2）.【分析】（1）由1是函數(shù)的極值點(diǎn)得，對(duì)用基本不等式中“1的代換”求最值；（2）把“存在，1，使成立”轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的最小值小于0，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，找到最小值，解出a的范圍即可.【詳解】解：（1）因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以即此時(shí)當(dāng)當(dāng)所以函數(shù)在處取極小值.所以因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)此時(shí)有最小值.（2）當(dāng)時(shí)，存在使成立，即函數(shù)在上的最小值小于當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值為，所以，不符，舍去；當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為所以，又所以；（3）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值為因?yàn)樗运?/p>

17、以所以，所以不符，舍去，綜上可得，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】（1）導(dǎo)數(shù)為零，并且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)一正一負(fù)的點(diǎn)為極值點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)為零，但是兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同的點(diǎn)不是極值點(diǎn).（2）研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性要注意：討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行，切記不要忽略定義域的限制；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，大多數(shù)情況下歸結(jié)為對(duì)含參數(shù)的不等式的解集的討論；在能夠通過(guò)因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程解時(shí)，依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論；在不能通過(guò)因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程解時(shí)，根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討22已知等軸雙曲線C：(a0，b0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)B(0，1).過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求EBF最小時(shí)k的值；點(diǎn)A是C上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的動(dòng)直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，為定值，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）；或者.【分析】（1）由題意，代入已知點(diǎn)建立方程，解之可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由對(duì)稱性可設(shè)，且，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示，又由可得，由此可得最小時(shí)，的值.設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線為：設(shè)與雙曲線的方程聯(lián)立得，根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可求得且，由直線的斜率公式得，再由恒等式的