怎樣培養(yǎng)中學(xué)生運算能力

1、 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT 怎樣培養(yǎng)中學(xué)生運算能力 摘 要： “培養(yǎng)學(xué)生的運算能力”是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)目的之一。培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，不僅要了解運算的內(nèi)容，運算能力的結(jié)構(gòu)，而且要研究學(xué)生這個主體，了解學(xué)生在運算過程容易產(chǎn)生的問題，分析原因，有的放矢地采取措施。那么怎樣培養(yǎng)中學(xué)生的運算能力呢？本文將主要從解題的準(zhǔn)確性及解題的速

2、度兩方面進行探討。 關(guān)鍵詞：培養(yǎng) 能力 運算 思維 引言：目前，中學(xué)生運算能力的狀況是很差的，不少老師埋怨：“學(xué)生的計算能力太差了，連簡單的運算都過不了關(guān)，甚至數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生運算結(jié)果也常出差錯?！边@些狀況的出現(xiàn)原因是多方面的。有的學(xué)生不明算理，機械地照搬公式；有的則是不顧運算結(jié)果，盲目推演，缺乏合理選擇簡捷運算途徑的意識；也有的學(xué)生對提高運算能力缺乏足夠的重視，他們總是把“粗心”“馬虎”作為借口；也有相當(dāng)多的老師只著重解題方法和思路的引導(dǎo)，而忽視對運算過程的合理性、簡捷性的必要指導(dǎo)。這樣不僅影響了學(xué)生思維能力的發(fā)展，也必然影響教學(xué)質(zhì)量的提高。本文就如何提高學(xué)生的運算能力，從以下幾個方面談?wù)勛?/p>

3、己的粗淺看法。1.運算能力的意義，結(jié)構(gòu)，內(nèi)容 運算能力寓運算內(nèi)容的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練之中，中學(xué)數(shù)學(xué)運算的內(nèi)容是隨著數(shù)學(xué)知識體系的展開而展開的，貫穿課程內(nèi)容的始終。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，隨著數(shù)的范圍的擴充，運算的范圍也相繼擴充到了有理數(shù)的運算，實數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的運算，隨著字母表示數(shù)，運算的對象由數(shù)發(fā)展到式，相應(yīng)地引入了整式運算，分式運算，根式運算。運算法則也逐步由四則運算發(fā)展到乘方，開方，指數(shù)，對數(shù)以及三角運算。隨著變量及函數(shù)的引入，又由有限運算發(fā)展無限運算極限運算，微分運算，積分運算。隨著“集 合”的學(xué)習(xí)，運算對象發(fā)展到集合，并建立起其獨特的運算法則，對應(yīng)既是一種運算，也是運算的對象，并且運算是被理解為從集

4、合 到集合 的對應(yīng)。引入向量以后，向量也成了運算對象，并且建立其運算法則。此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有大量以“變換”形式出現(xiàn)的運算，如：因式分解，代數(shù)式，三角式與對數(shù)式的恒等變換等都是恒等變換。解方程（組），解不等式（組）實際上是同解變換。幾何中的平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，位似變換都可理解為運算。12.影響學(xué)生運算能力的心理因素2.1固定的思維方法 固定的思維方法在運算中有積極的一面，也有消極的影響，當(dāng)學(xué)生掌握了某一種知識（方法）往往習(xí)慣用類似的舊知識（方法）去思考問題，這樣必然會出現(xiàn)思維的惰性，影響運算的速度，使運算過程繁冗不堪。2.2缺乏比較意識 比較意識是解決問題的一個重要方向。解題時往往解決問題的途

5、徑很多，這就要求我們善于選優(yōu)而從。有的學(xué)生缺乏比較意識，做題時往往找到一種方法就抱著死做下去，即使繁冗，也不在乎，認(rèn)為做對就行了。老師在講評題目時，忽略多種解法當(dāng)中簡捷方法的優(yōu)先性。2.3運算的速度慢，準(zhǔn)確性差，運算的盲目性大 有一部分同學(xué)只注重盲目運算練習(xí)，不注重對知識結(jié)構(gòu)，方法，技巧進行總結(jié)，歸納，整理，做題不少，但運算能力提高不大。原因有二方面：首先是思想（學(xué)習(xí)目的，態(tài)度，意志，毅力）素質(zhì)和心理素質(zhì)差，其次是訓(xùn)練欠科學(xué)，知識技能基礎(chǔ)不能適應(yīng)運用的要求，不能合理地選擇運算方法，計算的靈活性差，思維縮短的時機不當(dāng)，為時過早，缺乏對題目的分析綜合處理，把握題目結(jié)構(gòu)，最初定向能力差。3.運算能力

6、及其特點 運算能力的基本特點有兩個：3.1運算能力的層次性 在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，不同類別的運算是由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象、由低級到高級逐步形成和發(fā)展起來的。因此對運算的認(rèn)識和掌握也必須是逐步有序、有層次的，不掌握有理數(shù)的計算，就不可能掌握實數(shù)的計算；不掌握整式的計算，也就不可能掌握分式的計算。不掌握有限運算，就不可能掌握無限計算。沒有具體運算的基礎(chǔ)，抽象運算就難以實現(xiàn)。由此可見，運算能力是隨著知識面的逐步加寬、內(nèi)容的不斷深化、抽象程序的不斷提高而逐步發(fā)展的。如果說數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)展是無窮的，那么運算能力的提高也是永遠(yuǎn)不會終結(jié)的 對于中學(xué)數(shù)學(xué)運算能力的要求大致可分為三個層次：計算的準(zhǔn)確性基本要求計

7、算的合理、簡捷、迅速較高要求計算的技巧性、靈活性高標(biāo)準(zhǔn)要求。在思想上一定要充分認(rèn)識提高運算能力的重要性，把運算技能上升到能力的層次上，把運算的技巧與發(fā)展思維融合在一起。3.2運算能力的綜合性 運算能力既不能離開具體的數(shù)學(xué)知識而孤立存在，也不能離開其他能力而獨立發(fā)展，運算能力是和記憶能力、觀察能力、理解能力、聯(lián)想能力、表述能力等互相滲透的，它也和邏輯思維能力等數(shù)學(xué)能力相互支持著。因而提高運算能力的問題，是一個綜合問題，在中學(xué)各科的教學(xué)過程中，努力培養(yǎng)計算能力，不斷引導(dǎo)，逐漸積累、提高 ，為此課堂教學(xué)應(yīng)：重視基本概念、基本原理的教學(xué)；加強基本運算訓(xùn)練，形成技能技巧；運算過程中要有速度要求，并鼓勵創(chuàng)

8、新；解題方法力求合理、清晰、簡潔；提高學(xué)生綜合運算的技能。23.3如何發(fā)展運算能力 培養(yǎng)和發(fā)展某一種運算的運算能力大致經(jīng)歷以下幾個階段： 3.3.1理解有關(guān)運算的基本知識到形成這種運算的技能的階段。 3.3.2從運算技能上升到運算能力的階段。 3.3.3在各種應(yīng)用中，進一步提高運算能力的階段。 第一階段要完成從知識到技能的過渡，重點是準(zhǔn)確理解有關(guān)知識，熟練有關(guān)運算的方法、步驟，應(yīng)該本著“先慢后快”、“先死后活”的原則。隨著運算技能的形成，逐漸簡化運算步驟，靈活運用法則、公式。培養(yǎng)學(xué)生合理選擇簡捷運算途徑的意識和習(xí)慣。 計算能力的初步形成，還必須在今后應(yīng)用中得到鞏固、發(fā)展和深化。在應(yīng)用過程中，運

9、算的目的不一定是追求一個簡化的結(jié)果，而且要為一定的推理、演繹、判斷服務(wù)。 4、怎樣培養(yǎng)中學(xué)生的運算能力 4.1關(guān)于準(zhǔn)確性的培養(yǎng) 運算準(zhǔn)確是數(shù)學(xué)解題的最基本的要求，要想提高運算的準(zhǔn)確率，一方面使學(xué)生從思想上重視運算。另一方面要想提高運算的準(zhǔn)確率，要從算法、算理、算率抓準(zhǔn)確率。 例1（96年高考題第16題）已知：圓x2+y2-6x-7=0與拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線相切，則p=_. 分析：圓x2+y2-6x-7=0整理為（x-3）2+y2=16,圓心為O(3,0),半徑R=4,O為坐標(biāo)原點.拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-1 R=4,所以p=2.該題是一道比較簡單的題目，但有的同學(xué)填寫p

10、=1，把原點O到準(zhǔn)線的距離誤認(rèn)為是p;也有的學(xué)生把圓心O(3,0),誤認(rèn)為是拋物線y2=2px的焦點,填寫p=4,導(dǎo)致錯誤,這是由于概念不清造成的. 例2.已知4a2+9b2=4ab且a 0,b 0 求證： 證明： 即 （a0,b0) 對本題的證明學(xué)生常常不作進一步的思考，這里運算表面上是正確的，但滿足條件的a和b 是不存在的。因為由（2a-3b）20可得4a2+9b212ab，當(dāng)a 0 b0 時顯然4ab4ab.條件不存在，已知不正確，從而結(jié)論恒不成立。3 從以上兩例可看出,要想提高運算的準(zhǔn)確率,必須從基礎(chǔ)抓起,重視對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的訓(xùn)練。強調(diào)落實，不走過程，發(fā)現(xiàn)錯誤追根求源及

11、時糾正。從而使學(xué)生正確熟練的掌握概念公式，提高運算的準(zhǔn)確性。4.2通過熟練、合理、簡捷的運算提高解題速度 中高考是在一定時間內(nèi)完成定量試題的解答，這就要求考生答題時既要準(zhǔn)確，又要迅速，運算速度是運算能力的重要標(biāo)志。要想算的快，就必須使基本運算十分熟練，運算方法合理，運算途徑盡量簡捷。4.2.1重視運算的最初定向，以提高運算的速度 人只有經(jīng)常進行高速緊張的模擬訓(xùn)練，才能最終處變不驚、順其自然地度過高考應(yīng)試的最佳狀態(tài)。因此，在課堂訓(xùn)練中，應(yīng)重視運算與時間的關(guān)系，堅持定時定量的練習(xí)，并逐漸加大運算量，在運算的訓(xùn)練中，應(yīng)重點強調(diào)基本運算，它是提高運算速度的基礎(chǔ)。 例3、已知：一條拋物線經(jīng)過點A（-1，

12、1），點B（3，0），點C（-2，0），求拋物線方程。 分析：本題的基本結(jié)構(gòu)是已知上三點坐標(biāo)，求拋物線的方程，一般可用代入法，但進一步分析會發(fā)現(xiàn)，以知三個點中有兩個點在x軸上。題目中隱含的這種特殊性說明方程ax2+bx+c=0（a0）有x1=3 ,x2=-2 兩個根，于是導(dǎo)致解法的特殊性，可用y=a(x-x1)(x-x2)的方法求方程。只須輔之代入法求a就行了。比較兩種方法，還是后一種簡單，這里強調(diào)的是合理選擇公式，提高基本運算的速度。 例4.以知二次方程（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0有兩個等根，求證：2b=a+c 分析：本題的基本結(jié)構(gòu)是以知二次方程的兩根證明一個等式基本方法是根

13、據(jù)根的判別式等于0進行推導(dǎo)，但進一步觀察會發(fā)現(xiàn)題目中各項系數(shù)呈輪換對稱，其和為0，題目之中隱含這一特點說明根x1=x2=1，于是可用韋達(dá)定理證明之。 4.2.2正確合理的使用數(shù)學(xué)規(guī)律，簡化運算，提高解題速度。 數(shù)學(xué)規(guī)律包括：性質(zhì)、法則、公理、定理等。同一個問題若采用的數(shù)學(xué)規(guī)律不同，則思路和方法則不同。方法選擇的越合理，運算的速度就越快。4 例5.f(x)=4x2 -2x+1 (x (0,+) 則 f-1(0)=_ 這是1993年理工類高考題增加條件x (0,+)得到,若求反函數(shù)再代入則費時難解,若對互為反函數(shù)的關(guān)系理解透徹,令f(x)=0,解出x=1,則f-1(0) =1,這樣靈活處理，顯然簡

14、捷快當(dāng)。 例6.橢圓上的一點P到左焦點的距離為15，求P點到兩條準(zhǔn)線的距離。 分析：要求P點到兩條準(zhǔn)線的距離，可以先求出P點的坐標(biāo)及橢圓的準(zhǔn)線的方程，然后解答之。設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），易知a=10，b=6，故c=8，橢圓中心為（1，2），故左焦點為（1，6），但實施上述思路可以選擇不同的方法。 方法1：運用橢圓方程與“P到左焦點的距離”求出P點坐標(biāo)（x，y），即然后解出x，y 求解。 方法2：運用左右焦點到左右準(zhǔn)線的距離（因為2a=20，P到左焦點距離為15，所以P到右焦點的距離為5，右焦點坐標(biāo)為（6，1），進一步求出P點的坐標(biāo)（x，y），可得方程組： 雖然方法2比方法1簡便一些，但運算起來

15、也比較繁，如果運用橢圓的第二定義，運算就簡便多了。 例7.解方程組： 分析：本題為含有一個二元一次方程的二元二次方程，基本解法是代入法，顯然用此法解較繁，但若把方程2變形為（2x-1）+（y+1）=7，運用換元法就簡單多了。以上三例說明：只要合理使用概念和性質(zhì)，就可以簡化運算，提高速度。4.2.3利用重要結(jié)論，合理跳步，提高運算的速度。 高考數(shù)學(xué)試題中選擇題和填空題只需要填寫準(zhǔn)確答案，這就提示我們，對于重點考查且經(jīng)常使用的內(nèi)容，可以將它們歸納成公式或法則應(yīng)用，這樣便可以使大題變小，難題化易，繁題化簡，從而節(jié)省運算的步驟和時間，以提高運算的速度。 例8、計算2100（-0.5）101=-0.5

16、分析：此題如果硬算很難下手，但經(jīng)過變形后利用公式anbn=(ab)n來解很簡單。 例9.計算992，結(jié)果為9801 分析：利用公式（a-b）2=a2-2ab+b2，可得992=（100-1）2=1002-200+1=98014.2.4利用等價轉(zhuǎn)化思想簡化運算，以提高運算的速度。 等價轉(zhuǎn)化思想是指利用有關(guān)的知識，將一類簡單的運算問題轉(zhuǎn)化為一類簡單的運算問題。通過等價轉(zhuǎn)化，改變運算的途徑，或減少運算的步驟。 例10、(2x3-3x2+1)3展開式中x2 的系數(shù)為_ （答案：-24） 分析：求一個三項式展開中的某一項，一般應(yīng)將這個三項式轉(zhuǎn)化為一個二項式展開。轉(zhuǎn)化法一：看這個三項式能否寫成一個二項式的

17、平方（否）；轉(zhuǎn)化法二：看這個三項式能否分解因式（否）；轉(zhuǎn)化法三：將這個三項式分組處理，一組一項，一組兩項，再二項式展開（較繁）；轉(zhuǎn)化法四：因為x2的系數(shù)與2x3項無關(guān)，所以(2x3-3x2+1)3展開式中x2 的系數(shù)等于（-3x2+1）3展開式中x2項的系數(shù)，這一轉(zhuǎn)化使本題的運算量大大降低。本題十分明顯的體現(xiàn)出了等價轉(zhuǎn)化的重要作用。4.2.5利用“口訣”化規(guī)則，提高運算速度。 對于一些運用起來較繁的性質(zhì)，采用一些自編的“口訣”化的規(guī)則，可達(dá)到提高解題速度的目的。 如：符合函數(shù)fg(x)的 單調(diào)性，對f、g 可歸納成為“同增異減” 例11.函數(shù) log0.5（x2+4x+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？（1984年理工類高考數(shù)學(xué)試題） 解：已知，函數(shù)定義域為（-，-2） （-2，+），記f(x)=log0.5x為減函數(shù)，據(jù)“同向得增“知所求區(qū)間應(yīng)為g(x)=x2+4x+4的單調(diào)遞減區(qū)間或它的子區(qū)間，因此得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是（-，-2） 總之，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在重視形象直觀，結(jié)合實際激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時，還應(yīng)注意