高中數(shù)學(xué)選修部分教案人教版（理科）

1、 選修41幾何證明選講1平行線截割定理與相似三角形了解平行線截割定理，理解相似三角形的判定和性質(zhì)定理，了解直角三角形射影定理2圓的初步(1)理解圓周角定理，理解圓的切線的判定和性質(zhì)定理及弦切角定理(2)理解相交弦定理、割線定理、切割線定理(3)理解圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)一平行線截割定理與相似三角形1平行線的截割定理(1)平行線等分線段定理定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰(2)平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線

2、，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似(2)判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似(3)判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似3相似三角形的性質(zhì)定理(1)性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方(2)推論：相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方4直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等

3、，那么它們相似(2)判定定理2：如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似(3)判定定理3：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似5直角三角形射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)易誤提醒1在使用平行線截割定理時(shí)易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊的對(duì)應(yīng)順序混亂，導(dǎo)致錯(cuò)誤2在解決相似三角形的判定或應(yīng)用時(shí)易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的對(duì)應(yīng)失誤3射影定理是直角三角形中的一個(gè)重要結(jié)論，其實(shí)質(zhì)就是三角形的相似但要注意滿足直角三角形射影定理結(jié)論的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中

4、的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，不能亂用自測(cè)練習(xí)1.(2016鞍山模擬)如圖，在ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，BEEC23，AE交BD于點(diǎn)F，則BFFD的值為_解析：因?yàn)锳DBC，BEEC23，所以BEAD25，因?yàn)锳DBC，所以BFFDBEAD25，即BFFDeq f(2,5).答案：eq f(2,5)2.如圖，D，E分別是ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，DEBC且eq f(AD,DB)2，那么ADE與四邊形DBCE的面積比是_解析：DEBC，ADEABC，eq f(SADE,SABC)eq f(AD2,AB2).eq f(AD,DB)2，eq f(AD,AB)eq f(2,3)，eq f(SADE,SA

5、BC)eq f(4,9)，故eq f(SADE,S四邊形DBCE)eq f(4,5).答案：eq f(4,5)3.在RtACB中，C90，CDAB于D，若BDAD19，則tanBCD的值為_解：由射影定理得CD2ADBD，又BDAD19，令BDx，則AD9x(x0)CD29x2，CD3x.RtCDB中 ，tanBCDeq f(BD,CD)eq f(x,3x)eq f(1,3).答案：eq f(1,3)知識(shí)點(diǎn)二圓的初步1圓周角(1)定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半(2)推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等(3)推論2：半圓(或直徑)所對(duì)

6、的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑2圓的切線(1)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑(3)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角3弦切角定理及其推論(1)定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半(2)推論：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角4圓中的比例線段(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，每條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等(2)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，該點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到

7、割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)易誤提醒1解決圓周角、圓心角及弦切角問題時(shí)，要注意角之間關(guān)系，易于混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤2使用相交弦定理與切割線定理時(shí)，注意對(duì)應(yīng)線段成比例及相似三角形知識(shí)的應(yīng)用自測(cè)練習(xí)4.如圖所示，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)B在圓O上，BC2，BCD30，則圓O的面積為_解析：過B作O的直徑BA，連接AC(圖略)，則ACB90.又由弦切角定理得CABBCD30，AB2BC4.半徑OA2，Sr24.答案：45.如圖所示，已知O的割線PAB交O于A，B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA3，AB4，PO5，則O的半徑為_解析：設(shè)O的半徑為r.由割線定理得PAPBPCPD,37(POr)(P

8、Or)，即2125r2，r24，r2.答案：2考點(diǎn)一平行線分線段成比例定理的應(yīng)用|1.如圖，等邊三角形DEF內(nèi)接于ABC，且DEBC，已知AHBC于點(diǎn)H，BC4，AHeq r(3)，求DEF的邊長(zhǎng)解：設(shè)DEx，AH交DE于點(diǎn)M，顯然MH的長(zhǎng)度與等邊三角形DEF的高相等，又DEBC，則eq f(DE,BC)eq f(AM,AH)eq f(AHMH,AH)，所以eq f(x,4)eq f(r(3)f(r(3),2)x,r(3)eq f(2x,2)，解得xeq f(4,3).2.如圖，在ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F，求eq f(BF,FC)的值解：如圖，過點(diǎn)D作DM

9、AF交BC于點(diǎn)M.點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，在BDM中，BFFM.又點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，在CAF中，CMMF，eq f(BF,FC)eq f(BF,FMMC)eq f(1,2).平行線分線段成比例定理及推論的應(yīng)用(1)利用平行線分線段成比例定理來計(jì)算或證明，首先要觀察平行線組，再確定所截直線，進(jìn)而確定比例線段及比例式，同時(shí)注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運(yùn)用(2)解決此類問題往往需要作輔助的平行線，要結(jié)合條件構(gòu)造平行線組，再應(yīng)用平行線分線段成比例定理及其推論轉(zhuǎn)化比例式解題考點(diǎn)二相似三角形的判定及性質(zhì)|1如圖，AD，BE是ABC的兩條高，DFAB，垂足為F，交BE于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線于H，求證：DF2GFHF.

10、證明：在AFH與GFB中，因?yàn)镠BAC90，GBFBAC90，所以HGBF.因?yàn)锳FHBFG90，所以AFHGFB，所以eq f(HF,BF)eq f(AF,GF)，所以AFBFGFHF.因?yàn)樵赗tABD中，F(xiàn)DAB，所以DF2AFBF.所以DF2GFHF.2.如圖，M是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)M分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.若AE2，AD6，求eq f(AF,AC)的值解：ADBC，AEFCNF，eq f(AF,CF)eq f(AE,CN)，eq f(AF,AFCF)eq f(AE,AECN).M為AB的中點(diǎn)，eq f(AE,BN)eq f(AM,BM

11、)1，AEBN，eq f(AF,AC)eq f(AF,AFCF)eq f(AE,AEBNBC)eq f(AE,2AEBC).AE2，BCAD6，eq f(AF,AC)eq f(2,226)eq f(1,5).3.如圖所示，CD垂直平分AB，點(diǎn)E在CD上，DFAC，DGBE，F(xiàn)，G分別為垂足求證：AFACBGBE.證明：因?yàn)镃D垂直平分AB，所以ADCBDC90，ADDB.在RtADC中，因?yàn)镈FAC，所以AD2AFAC.同理BD2BGBE.所以AFACBGBE.1證明相似三角形的一般思路(1)先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等；(2)若只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，再判定這個(gè)角的兩鄰邊是否對(duì)應(yīng)成比例；(3)若無角對(duì)應(yīng)

12、相等，就要證明三邊對(duì)應(yīng)成比例2注意射影定理的其他變式考點(diǎn)三圓中有關(guān)定理及推論的應(yīng)用|(1)(2015高考湖北卷)如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的割線，且BC3PB，則eq f(AB,AC)_.解析因?yàn)镻A是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的割線，由切割線定理，知PA2PBPCPB(PBBC)因?yàn)锽C3PB，所以PA24PB2，即PA2PB.由PABPCA，所以eq f(AB,AC)eq f(PB,PA)eq f(1,2).答案eq f(1,2)(2)(2015高考全國(guó)卷)如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點(diǎn)E.若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是O的切線；若OAeq r(3)

13、CE，求ACB的大小解證明：如圖，連接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.連接OE，則OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切線設(shè)CE1，AEx，由已知得AB2eq r(3)，BEeq r(12x2).由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2eq r(12x2)，即x4x2120.可得xeq r(3)，所以ACB60.(1)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角(2)與圓有關(guān)的比例線段解題思路：見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理見到圓

14、的兩條割線就要想到割線定理見到圓的切線和割線就要想到切割線定理 1(2015高考重慶卷)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，則BE_.解析：由切割線定理，知PA2PCPD，即623PD，解得PD12，所以CDPDPC9，所以CE6，ED3.由相交弦定理，知AEBECEED，即9BE63，解得BE2.答案：22如圖所示，已知D為ABC的BC邊上一點(diǎn)，O1經(jīng)過點(diǎn)B，D，交AB于另一點(diǎn)E，O2經(jīng)過點(diǎn)C，D，交AC于另一點(diǎn)F，O1與O2的另一交點(diǎn)為G.(1)求證：A、E、G、F四點(diǎn)共圓；(2)若AG切O2于G，求證：AE

15、FACG.證明：(1)如圖，連接GD，四邊形BDGE，CDGF分別內(nèi)接于O1，O2，AEGBDG，AFGCDG，又BDGCDG180，AEGAFG180，A、E、G、F四點(diǎn)共圓(2)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，AEFAGF，AG與O2相切于點(diǎn)G，AGFACG，AEFACG.32.四點(diǎn)共圓的證明方法【典例】如圖，AB是O的直徑，弦BD，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：BEDEACCECE2；(2)若D是BE的中點(diǎn)，證明E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓思路點(diǎn)撥(1)利用割線定理易證；(2)本題已知AB是O的直徑，可得到線段相等，利用四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等證明四點(diǎn)共圓解(1)證明

16、：由割線定理得EAECDEBE，所以BEDEACCEEACEACCECE2，所以BEDEACCECE2.(2)連接CB，CD，F(xiàn)D.因?yàn)锳B是O的直徑，所以ECB90，所以CDeq f(1,2)EB.因?yàn)镋FBF，所以FDeq f(1,2)BE.所以E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)到點(diǎn)D的距離相等所以E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓方法點(diǎn)評(píng)四點(diǎn)共圓的證明方法：(1)若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓(2)若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角的和等于180，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(3)若一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(4)若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么

17、這兩個(gè)點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓(5)若AB，CD兩線段相交于點(diǎn)P，且PAPBPCPD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓(6)若AB，CD兩線段延長(zhǎng)后相交于點(diǎn)P，且PAPBPCPD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓(7)若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓跟蹤練習(xí)如圖，點(diǎn)F是ABC外接圓上eq xto(BC)的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E在邊AC上，使得ADAB，BEEC.證明：B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓證明：如圖，連接FC，F(xiàn)B，則FCFB.連接EF，則CEFBEF，所以BFECFE.因?yàn)锳，B，F(xiàn)，C共圓，所以CABCFB180，所以CAB2BFE180.連接BD，因?yàn)锳BAD，所以ABDADB

18、，所以CAB2ADB180.所以ADBBFE.所以B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓A組考點(diǎn)能力演練1.(2016大連模擬)如圖，已知D為ABC中AC邊的中點(diǎn)，AEBC，ED交AB于G，交BC延長(zhǎng)線于F，若BGGA31，BC8，求AE的長(zhǎng)解：因?yàn)锳EBC，D為AC的中點(diǎn)，所以AECF，eq f(AE,BF)eq f(AG,BG)eq f(1,3).設(shè)AEx，又BC8，所以eq f(x,x8)eq f(1,3)，3xx8，所以x4.所以AE4.2.(2016洛陽模擬)如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點(diǎn)F.(1)證明：A，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓；(2)證明：AC2BFB

19、MAB2.證明：(1)連接AM(圖略)，則AMB90.ABCD，AEF90.AMBAEF180，即A，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓(2)連接AC，CB(圖略)由A，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓，得BFBMBEBA.在RtACB中，BC2BEBA，AC2CB2AB2，AC2BFBMAB2.3.已知：如圖，在ABC中，ABAC，BAC90，D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，AEeq f(1,3)AC，BDeq f(1,3)AB，且CFeq f(1,3)BC.求證：(1)EFBC；(2)ADEEBC.證明：設(shè)ABAC3a，則AEBDa，CFeq r(2)a.(1)eq f(CE,CB)eq f(2a,3r(2)a)e

20、q f(r(2),3)，eq f(CF,CA)eq f(r(2)a,3a)eq f(r(2),3).又C為公共角，故BACEFC，由BAC90得EFC90，故EFBC.(2)由(1)得EFeq f(FC,AC)ABeq r(2)a，故eq f(AE,EF)eq f(a,r(2)a)eq f(r(2),2)，eq f(AD,BF)eq f(2a,2r(2)a)eq f(r(2),2)，eq f(AE,EF)eq f(AD,BF)，ADEFBE，所以ADEEBC.4.(2016蘭州雙基)如圖，在正ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，且BDeq f(1,3)BC，CEeq f(1,3)CA，AD，

21、BE相交于點(diǎn)P.求證：(1)四點(diǎn)P，D，C，E共圓；(2)APCP.證明：(1)在正ABC中，由BDeq f(1,3)BC，CEeq f(1,3)CA，知：ABDBCE，ADBBEC，即ADCBEC，四點(diǎn)P，D，C，E共圓(2)連接DE(圖略)，在CDE中，CD2CE，ACD60，由正弦定理知CED90，由四點(diǎn)P，D，C，E共圓知，DPCDEC，APCP.5.如圖，設(shè)AB為O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是O與l的公共點(diǎn)，ACl，BDl，垂足分別為C，D，且PCPD.(1)求證：l是O的切線；(2)若O的半徑OA5，AC4，求CD的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OP，ACl，BDl，ACBD.又OA

22、OB，PCPD，OPBD，從而OPl.點(diǎn)P在O上，l是O的切線(2)由(1)可知OPeq f(1,2)(ACBD)，BD2OPAC1046.過點(diǎn)A作AEBD，垂足為E，則BEBDAC642.在RtABE中，AEeq r(AB2BE2)eq r(10222)4eq r(6).CD4eq r(6).B組高考題型專練1(2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CBCE.(1)證明：DE；(2)設(shè)AD不是O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形證明：(1)由題設(shè)知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以DCBE.由已知得CBEE，

23、故DE.(2)如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，則由MBMC知MNBC，故O在直線MN上又AD不是O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE為等邊三角形2.(2015高考湖南卷)如圖，在O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F.證明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.證明：(1)如圖所示因?yàn)镸，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，所以O(shè)MAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180.又四邊形的內(nèi)角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)

24、知，O，M，E，N四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得FEFNFMFO.3(2015高考陜西卷)如圖，AB切O于點(diǎn)B，直線AO交O于D，E兩點(diǎn)，BCDE，垂足為C.(1)證明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BCeq r(2)，求O的直徑解：(1)證明：因?yàn)镈E為O的直徑，則BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，從而CBDBED.又AB切O于點(diǎn)B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，則eq f(BA,BC)eq f(AD,CD)3，又BCeq r(2)，從而AB3eq r(2).所以ACeq r(AB2BC2)4，所以AD3.由切割線定理得AB2ADAE，即

25、AEeq f(AB2,AD)6，故DEAEAD3，即O的直徑為3.4.(2015高考全國(guó)卷)如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，O與ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(1)證明：EFBC；(2)若AG等于O的半徑，且AEMN2eq r(3)，求四邊形EBCF的面積解：(1)證明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分線又因?yàn)镺分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AEAF，故ADEF.從而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分線又EF為O的弦，所以O(shè)在AD上連接OE，OM，則OEAE.由AG

26、等于O的半徑得AO2OE，所以O(shè)AE30.因此ABC和AEF都是等邊三角形因?yàn)锳E2eq r(3)，所以AO4，OE2.因?yàn)镺MOE2，DMeq f(1,2)MNeq r(3)，所以O(shè)D1.于是AD5，ABeq f(10r(3),3).所以四邊形EBCF的面積為eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10r(3),3)2eq f(r(3),2)eq f(1,2)(2eq r(3)2eq f(r(3),2)eq f(16r(3),3).選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程1坐標(biāo)系與極坐標(biāo)(1)理解坐標(biāo)系的作用(2)能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表

27、示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(3)能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示圖形時(shí)選擇坐標(biāo)系的意義2參數(shù)方程(1)了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義(2)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程(3)掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，能用直線的參數(shù)方程解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)一極坐標(biāo)系1極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，點(diǎn)O叫作極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，Ox叫作極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位及其正方向，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)

28、極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫作點(diǎn)M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫作點(diǎn)M的極角，記為.極坐標(biāo)：有序數(shù)對(duì)(，)叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則它們之間的關(guān)系為：eq blcrc (avs4alco1(xcos ，,ysin ；)eq blcrc (avs4alco1(2x2y2，,tan f(y,x)x0.)易誤提醒1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化易錯(cuò)用互化公式在解決此類問題時(shí)考生要注意兩個(gè)方面：一是準(zhǔn)確應(yīng)用公式，二是注意方程中的限制條件2在極坐標(biāo)系下，

29、點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一性易忽視注意極坐標(biāo)(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)自測(cè)練習(xí)1設(shè)平面上的伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)x，,y3y，)則在這一坐標(biāo)變換下正弦曲線ysin x的方程變?yōu)開解析：由eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)x，,y3y.)知eq blcrc (avs4alco1(x2x，,yf(1,3)y.)代入ysin x中得y3sin 2x.答案：y3sin 2x2點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，eq r(3)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(1，eq r(3)在第四象限，與原點(diǎn)的距離為2，且OP與x軸所成的角

30、為eq f(,3)，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(,3).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(,3)3(2015高考北京卷)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(,3)到直線(cos eq r(3)sin )6的距離為_解析：點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(,3)的直角坐標(biāo)為(1，eq r(3)，直線(cos eq r(3)sin )6的直角坐標(biāo)方程為xeq r(3)y60，所以點(diǎn)(1，eq r(3)到直線的距離deq f(|1r(3)r(3)6|,r(13)1.答案：1知識(shí)點(diǎn)二參數(shù)方程參

31、數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)eq blcrc (avs4alco1(xft，,ygt，)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由函數(shù)式eq blcrc (avs4alco1(xft，,ygt)所確定的點(diǎn)P(x，y)都在曲線C上，那么方程eq blcrc (avs4alco1(xft，,ygt)叫作這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫作參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫作普通方程易誤提醒1在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則不等價(jià)2直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義

32、，且其幾何意義為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|t|.自測(cè)練習(xí)4在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：eq blcrc (avs4alco1(x2f(r(2),2)t，,y1f(r(2),2)t，)(t為參數(shù))的普通方程為_解析：依題意，消去參數(shù)可得x2y1，即xy10.答案：xy105在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓eq blcrc (avs4alco1(x2cos ，,yr(3)sin )(為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線eq blcrc (avs4alco1(x42t，,y3t)(t為參數(shù))平行的直線截橢圓所得的弦長(zhǎng)為_解析：橢圓的普通方程為eq f(x2,4)

33、eq f(y2,3)1，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)直線的普通方程為x2y20，過點(diǎn)(1,0)與直線x2y20平行的直線方程為x2y10，由eq blcrc (avs4alco1(f(x2,4)f(y2,3)1，,x2y10，)得4x22x110，所以所求的弦長(zhǎng)為eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)24blc(rc)(avs4alco1(f(11,4)eq f(15,4).答案：eq f(15,4)考點(diǎn)一曲線的極坐標(biāo)方程|1在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin eq blc(rc)(avs

34、4alco1(f(,4)eq f(r(2),2).(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)解：(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2y2xy，即x2y2xy0，直線l：sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(2),2)，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：yx1，即xy10.(2)由eq blcrc (avs4alco1(x2y2xy0，,xy10，)得eq blcrc (avs4alco1(x0，,y1，)故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為eq blc(rc)(

35、avs4alco1(1，f(,2).2(2016長(zhǎng)春模擬)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22eq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2.(1)將圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程解：(1)由2知24，所以x2y24.因?yàn)?2eq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2，所以22eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(cos cos f(,4)sin sin f(,4)2.所以x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為xy1

36、.化為極坐標(biāo)方程為cos sin 1，即sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(2),2).直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的關(guān)注點(diǎn)(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角的表示方法具有周期性，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)(，)的形式不唯一，即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無窮多個(gè)當(dāng)限定0，0,2)時(shí)，除極點(diǎn)外，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的(2)當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，求極角應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角0,2)的值考點(diǎn)二曲線的參數(shù)方程|1已知曲線C1：eq blcrc (avs4alco1(x4cos t，,y3sin t，)(t為參數(shù))曲線C2：eq blcrc (avs4al

37、co1(x8cos ，,y3sin .)(為參數(shù))(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為teq f(,2)，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：eq blcrc (avs4alco1(x32t，,y2t)(t為參數(shù))的距離的最小值解：(1)曲線C1：(x4)2(y3)21，曲線C2：eq f(x2,64)eq f(y2,9)1，曲線C1是以(4,3)為圓心，1為半徑的圓；曲線C2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓(2)當(dāng)teq f(,2)時(shí)，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故Meq bl

38、c(rc)(avs4alco1(24cos ，2f(3,2)sin ).曲線C3為直線x2y70，M到C3的距離deq f(r(5),5)|4cos 3sin 13|，從而當(dāng)cos eq f(4,5)，sin eq f(3,5)時(shí)，d取最小值eq f(8r(5),5).2已知曲線C：eq f(x2,4)eq f(y2,9)1，直線l：eq blcrc (avs4alco1(x2t，,y22t，)(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值解：(1)曲線C的參數(shù)方程為eq blcrc (avs4

39、alco1(x2cos ，,y3sin .)(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ，3sin )到l的距離為deq f(r(5),5)|4cos 3sin 6|.則|PA|eq f(d,sin 30)eq f(2r(5),5)|5sin()6|，其中為銳角，且tan eq f(4,3).當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為eq f(22r(5),5).當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為eq f(2r(5),5).參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等在參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意保持

40、同解變形考點(diǎn)三極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用|(2015高考全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq blcrc (avs4alco1(xtcos ,ytsin )(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，C3：2eq r(3)cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22eq r(3)x0.聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(x2y22y0，,x2y22r(3)x0，)解得eq b

41、lcrc (avs4alco1(x0，,y0，)或eq blcrc (avs4alco1(xf(r(3),2)，,yf(3,2).)所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(3,2).(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中00，,t1t24sin cos ，,t1t24，)sin cos 0，又0，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，且t10，t20.|PM|PN|t1|t2|t1t2|4(sin cos )4eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，由eq blc(r

42、c)(avs4alco1(0，f(,2)，得eq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(3,4)，eq f(r(2),2)0)為極坐標(biāo)方程；(2)化曲線的極坐標(biāo)方程8sin 為直角坐標(biāo)方程解：(1)將xcos ，ysin 代入x2y2r2，得2cos2 2sin2 r2，2(cos2 sin2 )r2，r.所以，以極點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為r(00，,k2k3)或eq blcrc (avs4alco1(k4，直線l與圓C相離5傾斜角為的直線l過點(diǎn)P(8,2)，直線l和曲線C：eq blcrc (avs4alco1(x4r(2)cos ，,y2sin ，

43、)(為參數(shù))交于不同的兩點(diǎn)M1，M2.(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并寫出直線l的參數(shù)方程；(2)求|PM1|PM2|的取值范圍解：(1)曲線C的普通方程為eq f(x2,32)eq f(y2,4)1，直線l的參數(shù)方程為eq blcrc (avs4alco1(x8tcos ，,y2tsin ，)(t為參數(shù))(2)將l的參數(shù)方程代入曲線C的方程得：(8tcos )28(2tsin )232，整理得(8sin2 cos2 )t2(16cos 32sin )t640，由(16cos 32sin )2464(8sin2 cos2 )0，得cos sin ，故eq blcrc)(avs4alco

44、1(0，f(,4)，|PM1|PM2|t1t2|eq f(64,17sin2 )eq blc(rc(avs4alco1(f(128,9)，64).B組高考題型專練1(2015高考廣東卷改編)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為Aeq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)，f(7,4)，求點(diǎn)A到直線l的距離解：由2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)得2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin f(r(2),2)cos )eq r(2)，所以yx1

45、，故直線l的直角坐標(biāo)方程為xy10，而點(diǎn)Aeq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)，f(7,4)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為A(2，2)，所以點(diǎn)A(2，2)到直線l：xy10的距離為eq f(|221|,r(2)eq f(5r(2),2).2(2015高考全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為eq f(,4)(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積解：(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2，C2的極坐標(biāo)方程

46、為22cos 4sin 40.(2)將eq f(,4)代入22cos 4sin 40，得23eq r(2)40，解得12eq r(2)，2eq r(2).故12eq r(2)，即|MN|eq r(2).由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為eq f(1,2).3(2015高考湖南卷)已知直線l：eq blcrc (avs4alco1(x5f(r(3),2)t，,yr(3)f(1,2)t，)(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos .(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，eq r(3)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為

47、A，B，求|MA|MB|的值解：(1)2cos 等價(jià)于22cos .將2x2y2，cos x代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.(2)將eq blcrc (avs4alco1(x5f(r(3),2)t，,yr(3)f(1,2)t，)代入，得t25eq r(3)t180，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義知，|MA|MB|t1t2|18.4(2015高考陜西卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq blcrc (avs4alco1(x3f(1,2)t，,yf(r(3),2)t，)(t為參數(shù))以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C的極坐標(biāo)方程為2e

48、q r(3)sin .(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程；(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)解：(1)由2eq r(3)sin ，得22eq r(3)sin ，從而有x2y22eq r(3)y，所以x2(yeq r(3)23.(2)設(shè)Peq blc(rc)(avs4alco1(3f(1,2)t，f(r(3),2)t)，又C(0，eq r(3)，則|PC| eq r(blc(rc)(avs4alco1(3f(1,2)t)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)tr(3)2)eq r(t212)，故當(dāng)t0時(shí)，|PC|取得最小值，此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0

49、)選修45不等式選講1不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式(1)能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，解決最大(小)值的問題；了解基本不等式的推廣形式(n個(gè)正數(shù)的形式)(2)理解絕對(duì)值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對(duì)值三角不等式證明一些簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式(3)掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法2不等式的證明(1)了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能利用它們證明一些簡(jiǎn)單不等式(2)能夠利用三維的柯西不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，解決最大(小)值問題(3)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納

50、法證明一些簡(jiǎn)單問題知識(shí)點(diǎn)一絕對(duì)值不等式1絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立；(2)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2絕對(duì)值不等式的解集(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解利用零點(diǎn)分段法求解構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解易誤提醒1對(duì)形如|f(x)|a或|f(x)

51、|a型的不等式求其解集時(shí)，易忽視a的符號(hào)直接等價(jià)轉(zhuǎn)化造成失誤2絕對(duì)值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽視等號(hào)成立條件如|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)成立，其他類似推導(dǎo)自測(cè)練習(xí)1設(shè)a，b為滿足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：ab|ab|.答案：B2若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,43不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|eq blcrc (avs4alco1(3x1，,2x11x2，,3x2

52、.)當(dāng)1x2時(shí)，由2x11，解得1x1.所以解集為x|x1答案：1，)知識(shí)點(diǎn)二不等式的證明1基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b0，那么eq f(ab,2)eq r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均定理3：如果a，b，c全為正實(shí)數(shù)，那么eq f(abc,3)eq r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立2比較法(1)比差法的依據(jù)是：ab0ab.步驟是：“作差變形判斷差的符號(hào)”變形是手段，變形的目的是判斷差的符號(hào)(2)比商法：若B0，欲證AB，只需證eq f(A,B)1.3綜合

53、法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立4柯西不等式設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)成立易誤提醒(1)在使用作商比較法時(shí)易忽視說明分母的符號(hào)(2)在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，易忽視性質(zhì)成立的前提條件自測(cè)練習(xí)4設(shè)ta2b，sab21，則s與t的大小關(guān)系是()A

54、stBstCst Dst解析：stb22b1(b1)20，st.答案：A5已知x，y均為正數(shù)，且xy1，則eq r(3x)eq r(4y)的最大值為_解析：由柯西不等式得eq r(3x)eq r(4y)eq r(3)eq r(x)eq r(4)eq r(y)eq r(r(3)2r(4)2xy)eq r(7).答案：eq r(7)考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法|1(2015高考山東卷)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4) D(1,5)解析：當(dāng)x1時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，顯然成立，所以此時(shí)不等式的解集為(，1)；當(dāng)1x5時(shí)，不等式可化為x1(x5)2，即

55、2x62，解得x5時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，顯然不成立，所以此時(shí)不等式無解綜上，不等式的解集為(，4)故選A.答案：A2(2015南寧二模)已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若f(x)m的解集為x|1x5，求實(shí)數(shù)a，m的值；(2)當(dāng)a2且0t2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)tf(x2)解：(1)|xa|m，maxma.ma1，ma5，a2，m3.(2)f(x)tf(x2)可化為|x2|t|x|.當(dāng)x(，0)時(shí)，2xtx,2t0，0t2，x(，0)；當(dāng)x0,2)時(shí)，2xtx，x1eq f(t,2)，0 x1eq f(t,2)，11eq f(t,2)2，0 x1eq f(t,2)；當(dāng)

56、x2，)時(shí)，x2tx，t2，當(dāng)0t2時(shí)，無解，當(dāng)t2時(shí)，x2，)當(dāng)0ta2bab2；(2)已知a，b，c都是正數(shù)，求證：eq f(a2b2b2c2c2a2,abc)abc.證明：(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以ab0.又因?yàn)閍b，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因?yàn)閎2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，從而a2b2b2c2c2a

57、2abc(abc)由a，b，c都是正數(shù)，得abc0，因此eq f(a2b2b2c2c2a2,abc)abc.探究三分析法證明不等式3已知abc，且abc0，求證：eq r(b2ac)eq r(3)a.證明：要證eq r(b2ac)eq r(3)a，只需證b2ac3a2.abc0，只需證b2a(ab)0，只需證(ab)(2ab)0，只需證(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0.(ab)(ac)0顯然成立，故原不等式成立探究四放縮法證明絕對(duì)值不等式4已知x，yR，且|xy|eq f(1,6)，|xy|eq f(1,4)，求證：|x5y|1.證明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對(duì)值不等式

58、的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3eq f(1,6)2eq f(1,4)1.即|x5y|1.證明不等式的常用方法有比較法、綜合法、分析法如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問題的表述和證明考點(diǎn)三絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用|(2015鄭州二檢)已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)eq f(1,m)eq f

59、(1,n)(a0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.當(dāng)xeq f(2,3)時(shí)，即3x2x14，解得eq f(5,4)xeq f(2,3)；當(dāng)eq f(2,3)x1時(shí)，即3x2x14，解得eq f(2,3)x1時(shí)，即3x2x14，無解綜上所述，xeq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)，f(1,2).(2)eq f(1,m)eq f(1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,n)(mn)11eq f(n,m)eq f(m,n)4，令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|eq blcrc (avs4alco

60、1(2x2a，xa)xeq f(2,3)時(shí)，g(x)maxeq f(2,3)a，要使不等式恒成立，只需g(x)maxeq f(2,3)a4，即0aeq f(10,3).(1)研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題，這是常用的思想方法(2)f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina. 設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求證：f(x)1；(2)若f(x)eq f(a22,r(a21)成立，求x的取值范圍解：(1)證明：f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|1.(2)eq f(a22,r(a21)eq f