復(fù)函復(fù)習(xí)提要

1、第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)【本章教學(xué)目的和要求】：（1）熟練掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義；（2）理解區(qū)域，單連通區(qū)域，復(fù)連通區(qū)域和復(fù)球面等概念；（3）掌握一些曲線的復(fù)數(shù)表達(dá)式；（4）理解復(fù)變函數(shù)的概念，了解復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)的概念?！颈菊轮攸c(diǎn)、難點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算，用復(fù)數(shù)方程表示曲線1.1復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)域：1）概念：每個(gè)復(fù)數(shù)乙具有.+討的形狀，其中X和y R，iV是虛數(shù)單位；X和y分別稱為z的實(shí)部和虛部，分別記作x = Rez，y = lmz。2）復(fù)數(shù)相等：復(fù)數(shù)z = x + iy和=x + iy相等是指它們的實(shí)部與虛部分別相等。11712223）共軛復(fù)數(shù)：4）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定

2、義為：2、復(fù)平面：C也可以看成平面R 2，我們稱為復(fù)平面。作映射：C R2：z = x + iy （x,y），則在復(fù)數(shù)集與平面r2之建立了一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)。橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；3、模與幅角：1）向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：I z 1=二二如；若 |z = 0 = z = 02）幅角：向量與正實(shí)軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，定義為：Argz = arctan y + 2位（kc Z）。x3）復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式表示：三角表示定義為:z =| z | (cos Argz + i sin Argz)指數(shù)表示：z = rei。.、一、八，、；K+2 如.,、4）開(kāi)方公式:nz =

3、n|z|e n（ k = 0,1,2,n -1）4.三點(diǎn)共線問(wèn)題：兩點(diǎn)的參數(shù)方程1.2復(fù)平面上的點(diǎn)集.概念：領(lǐng)域、內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開(kāi)集與閉集.區(qū)域3、連續(xù)曲線、簡(jiǎn)單曲線、簡(jiǎn)單閉曲線以及連通區(qū)域1.3復(fù)變函數(shù)1、單值函數(shù)與多值函數(shù)2、極限與連續(xù)性：3、復(fù)變函數(shù)等價(jià)于兩個(gè)實(shí)變量的實(shí)值函數(shù)：若z = x + iy , w = Re f (z) + iIm f (z) = u(x, y) + iv(x, y)，則 w = f (z)等價(jià)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) u = u (x, y)和 v = v(x, y)。1.4復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)1、引入一個(gè)新的非正常復(fù)數(shù)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)3，稱C D8為擴(kuò)充復(fù)平面，記為C

4、8。2、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)3的鄰域：|z| 1與去心鄰域：- |z| +3第二章解析函數(shù)【本章教學(xué)目的和要求】了解復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)與微分的概念；理解解析的概念；熟悉復(fù)變函數(shù)解析的充分條件；(4 ) 了解初等解析函數(shù)主要性質(zhì)?！局攸c(diǎn)、難點(diǎn)】函數(shù)解析性的判斷，解析函數(shù)的充要條件第一節(jié)、解析函數(shù)概念與Cauchy-Riemann條件1、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2、解析函數(shù)及簡(jiǎn)單性質(zhì):定義：如果f (z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f (z)在z0處解析注1、解析性與可導(dǎo)性：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性是一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概 念；注2、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析，因此在此點(diǎn)可導(dǎo)；反之，

5、在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析。解析函數(shù)的四則運(yùn)算：3、Cauchy-Riemann 條件：定理2.1 (點(diǎn)可微必要條件)、定理2.2 (點(diǎn)可微充要條件)、定理2.3 (點(diǎn)可微充分條 件)定理2.4 (區(qū)域解析的充要條件)定理2.5 (區(qū)域解析的充分條件)注解2、解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式更簡(jiǎn)潔：f(z)=布 + i -dv = dxdx擊 + i E =雨i du = dv i -du注解3、利用此定理，可以判斷一個(gè)復(fù)變函數(shù)是否在一點(diǎn)可微或在一個(gè)區(qū)域內(nèi)解析:如 f (z) = z2 = (x2 - j2) + 2ixy 以及 f (z) = ex cos y + iex sin y 在整個(gè)復(fù)平

6、面內(nèi)解析，而f (z) = z = x - iy在任何點(diǎn)都不可微。第二節(jié)：初等函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)：定義復(fù)指數(shù)函數(shù)，為 w = ez = expz = ex (cos y + i sin y)從定義得 |ez = ez ； Argez = y + 2k兀,k = 0,1,2,指數(shù)函數(shù)是周期2兀i為其基本周期函數(shù)；指數(shù)函數(shù)w = ez在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)有定義并且解析，ez K ez2、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)：當(dāng)x = 0時(shí)，上述復(fù)指數(shù)函數(shù)eiy = (cos y + i sin y)，e-iy = (cos y i sin y)，eiy e-iyeiy + e-iy從而得到： sin y = ,cos y

7、=2我們規(guī)定. eiz e - izeiz + e - izsin z =亍,cos z =并分別稱為z的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。sin z是奇函數(shù)，c o zs是偶函數(shù)；在z平面上是解析的，且(sin z)= cos z,(cos z) = sin z. ； sin z 及 cosz 是 2兀為周期的周期函數(shù)。s i n的零點(diǎn)為z = n冗,(n = 0,1,)，coz的零點(diǎn)為z = n兀+1兀.2事實(shí)上，sin z =0可以寫成e& = 1.如令z = a + ib,即寫成e-2Pe2心=1 = e膈佰故 e-2 P = 1,2a = 2n兀(n = 0,1,)，即:P = 0, a = n冗

8、.所以z = n兀,(n = 0,1,)是sin z的零點(diǎn)。在復(fù)數(shù)域內(nèi)不能再斷言|sinz| 1,|cosz 1.第三節(jié)初等多值函數(shù)1根式函數(shù)（1）定義：我們規(guī)定根式函數(shù)W =云為幕函數(shù)z = w的反函數(shù)。.arg z+2mw = n z = %： z e n (k = 0,1, . . .)(2k兀兀）（2k兀兀）睥+ I nn) n n JT : k（k = 0,1,n -1）都變成z平面上除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的區(qū)域。這是函數(shù)（1）的單葉性區(qū)域的分法。（2）分出w =云的單值解析分支（3）w =云的支點(diǎn)和支割線一般是具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)，使得當(dāng)變點(diǎn)z繞這點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，多值函數(shù)從一支變 為另一支，也

9、就是說(shuō)哦，當(dāng)變點(diǎn)回到原位置的時(shí)候，函數(shù)值與原來(lái)的函數(shù)值相異，這 樣的性質(zhì)的點(diǎn)，就稱為支點(diǎn)。w = nz是以z = 0, z = 8為支點(diǎn)的。用來(lái)割破z平面，借以分出w =云的單值解析分支的割線，稱為w =云的支割線2對(duì)數(shù)函數(shù)（1）定義：我們規(guī)定對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)z = ew的反函數(shù)。即若z = ew（z 豐 0,8）（3）則復(fù)數(shù)w為復(fù)數(shù)z的對(duì)數(shù)，記為w = Lnz.令 z = rei,w = u + iv,則（3）就是因而ew = eu+iv = re，。= zu = In r, v = 0 + 2k兀(k = 0,1,)故方程（3）的全部根是w = Lnz = ln r + i(0 + 2k

10、兀),(k = 0,1,)Lnz = ln|z + iArgz = ln|z| + i(arg z + 2k兀)In z稱為mz的主值，于是ln z = ln z| + i arg z。(2)分出w = Lnz.的單值解析分支S =(Lnz)k = In r(z)+ i (0 + 2kR), (k = 0,1,)w = Lnz.仍以z = 0, z = 8為支點(diǎn)3、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)w = za = eainzea2s (ln1 = 0,-K arg z丸)W = a z = e zLna = ez(ina+i2kn )第三章復(fù)變函數(shù)的積分【本章教學(xué)目的和要求】理解復(fù)變函數(shù)積分的概念并了

11、解它的基本性質(zhì)；掌握復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法；掌握Cauchy積分定理及其推論；熟練掌握用Cauchy積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算積分?！局攸c(diǎn)、難點(diǎn)】柯西積分定理，柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式 1.復(fù)積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)1、復(fù)變函數(shù)的積分的定義：/(z)沿曲線C的積分，記為j f (z)dz.C TOC o 1-5 h z 于是我們有：jcf (z )dzf=j u(x, y)dx v(x, y)dy + ij v(x, y)dx + u(x, y)dy, cc積分換元法：j f (z)dz = jTf (z(t)z覽)dt，ct0復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)：設(shè)f(z)及g(z)在簡(jiǎn)單曲線C上連續(xù)，則

12、有)j af(z)dz = aj f(z)dz，其中以是一個(gè)復(fù)常數(shù)； ccj f (z) + g(z)dz = j f (z)dz + j g(z)dz;cccj f (z)dz = j f (z )dz + j f (z )dz +. + j f (z )dz，其中曲線 c 是有光滑的曲線 q,。2，.,cccic2cn連接而成； j f (z)dz = -j f (z)dz,。 c c(5) fk習(xí) fk)|Azk k=1k=1定理3.2(積分估值)如果在c上，f(z)M，而L是曲線c的長(zhǎng)度，其中M及L都 是有限的正數(shù)，那么有I j f (z)dz l ML，C例、設(shè)C是圓I z-以l=p

13、，其中a是一個(gè)復(fù)數(shù)，p是一個(gè)正數(shù)，那么按反時(shí)針?lè)较蛩〉姆e分j / dz、=加，( =DC (z-ajn 0,( 豐 1 的整數(shù)) 2.柯西積分定理柯西積分定理定理3.3設(shè)f(z)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，C是D內(nèi)的任一條周線，那么j f(z)dz = 0,在這里沿C的積分是按反時(shí)針?lè)较蛉〉亩ɡ?.4設(shè)f(z)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，C是D內(nèi)任一閉曲線(不必是簡(jiǎn)單 的)，那么j f(z)dz = 0.C推論3.5設(shè)f(z)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f(z)在D內(nèi)與積分路線無(wú)關(guān)。即對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn)zo, zi，積分j zi f (z 3z = 0zo之值不依賴于D內(nèi)連接z0,zi的

14、曲線。不定積分定理3.6設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則由上式定義的函數(shù)F(z)在D內(nèi)解析，且 F(z) = f (乎。定理3.7(1)設(shè)f；z)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)；(2)j f (C)以區(qū)域D內(nèi)任意周線的積分值為零，則函數(shù) CF(z) = jz f (。成(z為D內(nèi)定點(diǎn))z 00在D內(nèi)解析，且F(z) = f (z).定理3.8設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且在D內(nèi)有原函數(shù)F(z)。如果a, pe D，并且C是D連接a, p的一條曲線，那么j f (z)dz = F(p) - F (a)定理3.10.(柯西積分定理的推廣)設(shè)有n+1條簡(jiǎn)單閉曲線C,C1,.,Cn，曲線C1,.,

15、匕中每一條都在其余曲線的外區(qū)域內(nèi)， 而且所有這些曲線都在的C0內(nèi)區(qū)域，C0,C ,.,C圍成一個(gè)有界多連通區(qū)域D，D及其 邊界構(gòu)成一個(gè)閉區(qū)域D。設(shè)/（z）在D上解析，那么令C表示D的全部邊界，我們有j / (z)dz = 0其中積分是沿C按關(guān)于區(qū)域D的正向取的。即沿C0按反時(shí)針?lè)较?，沿C1，.,Cn按順時(shí) 針?lè)较蛉》e分；或者說(shuō)當(dāng)點(diǎn)沿著C按所選定取積分的方向一同運(yùn)動(dòng)時(shí)，區(qū)域D總在 它的左側(cè)。因此j f (z)dz = j f (z)dz + j f (z)dz +. +CCoC+ J f (z)dz = 0也有：j f (z)dz = j f (z)dz + . + j f (z)dz3.3柯西

16、積分公式C0C1C定理3.11設(shè)D是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域。設(shè)攜z）在D及C所組成 的閉區(qū)域D上解析，那么在內(nèi)任一點(diǎn)z，有定理3.13設(shè)D是以有限條簡(jiǎn)單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域。設(shè)f；z）在D及C所組成 的閉區(qū)域D上解析，那么f；z）在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)fE = c5以(n T，2,3，.)注解、柯西公式中，l=z是被積函數(shù)竺的唯一奇點(diǎn)，如果fl在C內(nèi)被給出兩 G - zG - z個(gè)以上的奇點(diǎn)，就不能直接用柯西積分公式。定理3.14設(shè)函數(shù)f；z）在區(qū)域D內(nèi)解析，那么f；z）在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，并且它們也在區(qū) 域D內(nèi)解析。劉維爾定理：有界整函數(shù)一定恒等常數(shù)。定理3.15函數(shù)f （z）

17、= uG,y）+ iv（x,y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是:1）u , u , v , v在D內(nèi)連續(xù)，尤 y 尤 y2）u（x,y）v（x,y）在D 內(nèi)滿足 C.R.條件3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義3.5：如果二元實(shí)函數(shù)HG,y）在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)得偏倒是存在，且滿足拉普拉斯方程AH = 0，則稱H 0，可以找到一個(gè)正整數(shù)M 使得當(dāng)nN，p=1,2,3,.時(shí)，I z 1 + z 2 +. + z 1 0，可以找到一個(gè)只與8有關(guān)，而 與z無(wú)關(guān)的正整數(shù)N = N(8 )，使得當(dāng)n N,z G E，p=1,2,3,時(shí)，有I fn+i (z) + f+2( z) +. + fn+p ( z)

18、l 8 .優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則：設(shè)f (z)(n = 1,2,.)在復(fù)平面點(diǎn)集E上有定義，并且設(shè) na + a + . + a + .是一個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。設(shè)在E上，I f (z)I a, (n = 1,2,.),那么級(jí)數(shù) f (z)在E上絕對(duì)且一致收斂。 n4、解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)以及內(nèi)閉一致收斂定理4.9 (魏爾斯特拉斯定理)4.2冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)a (z z )n = a +a (z z ) + a (z z )2 + n 001020n=0.+ a (z z )n +.其中z是復(fù)變數(shù)，系數(shù)a n是任何復(fù)常數(shù)。定理4.10如果幕級(jí)數(shù)*a (z - z ) n在z(。z )收斂，那么對(duì)滿足I z - z KI

19、 z - z I的任 n 01001n=0何z，它都不僅收斂，而且絕對(duì)收斂。收斂半徑的求法：定理4.13如果a (z - z0) n的系數(shù)滿足下列條件之一成立： n=0l = lim n+1,anT+8 nl = lim,n nT+31那么當(dāng)0 l +8時(shí)，級(jí)數(shù) a (z - z ) n的收斂半徑R =-；當(dāng)l = 0時(shí)，R = +8 ；當(dāng)l = +8 時(shí)，4.3、解析函數(shù)泰勒展式一、Taylor展式的形式定理4.14、設(shè)函數(shù)/(z)在圓盤U :l z - Z01 R內(nèi)解析，那么在U內(nèi)， TOC o 1-5 h z f(z ),、 f(z ),、f (z) = f (z ) + (z - z

20、) + (z - z )2 +01!02! o HYPERLINK l bookmark197 o Current Document .+ i (z - z )n + .n!0稱為它在U內(nèi)的泰勒展式。定理4.15函數(shù)f(z)在一點(diǎn)解析的必要與充分條件是：它在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定理4.14中的幕級(jí)數(shù)展式。2、初等函數(shù)在0點(diǎn)的泰勒展式Q1 + z + 1 z2 + . + 1 zn +.，其收斂半徑為 2! n! cos z - 1 -1 z 2 +1 z 4 - . + (-1) n-1 1 z 2n +，其收斂半徑為8 TOC o 1-5 h z 2!4!(2n)!3 ) sin z = z

21、- 1 z3 + 1 z5 -+ (-1)n-1z2n-1 + .其收斂半徑為 83!5!(2n -1)!ln(1 + z) = z -室 + M -. + (-1)n-1 土 +.,其收斂半徑為 1 HYPERLINK l bookmark221 o Current Document 23n1/以、/以、甘 r+t aa (a-1).(a- n +1)廿,、匕，女eain(z+1) = 1 + az + ( )z2 +. + ( )zn +.其中 =，其收斂半徑 HYPERLINK l bookmark231 o Current Document 2nn Jn!為1o上=U zn，收斂半徑為

22、11 zn=0利用這幾類基本初等函數(shù)在0點(diǎn)的泰勒展式去求解初等函數(shù)在其他點(diǎn)的泰勒展式。4.4、解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性和唯一性定理1、零點(diǎn)的孤立性定義4.7設(shè)函數(shù)f(z)在z0的鄰域U內(nèi)解析，并且f (z0) = 0，那么稱z0為f(z)的零點(diǎn)。2、m階零點(diǎn)的判定方法：定義法公式法：f (z) = (z - z0)m(z),(z0)豐0,其中中(z)在U內(nèi)解析。第五章洛朗展式及孤立奇點(diǎn)【本章教學(xué)目的和要求】記住幾個(gè)主要初等函數(shù)的泰勒展式，能熟練掌握把一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)成 洛朗級(jí)數(shù)的方法了解孤立奇點(diǎn)的概念，分類及判別方法；【重點(diǎn)、難點(diǎn)】將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)或羅朗級(jí)數(shù)以及在不同環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)

23、孤立奇點(diǎn)的分類 5.1解析函數(shù)的洛朗展式一、雙邊幕級(jí)數(shù) TOC o 1-5 h z 定理5.2設(shè)函數(shù)/(z)在圓環(huán)：d : R 1 z - z l R (0 R R + 10212內(nèi)解析，那么在D內(nèi)可以展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)：/ (z)=產(chǎn) a (z - z )n,n0其中，n=-s以 = 一花,(n = 0,1,2,.)y0，例：求函數(shù)1(z -1)(z - 2)Y是圓l z - z l=p, p是一個(gè)滿足R P R的任何數(shù)。(不能寫成：a = By.) 012n n!分別在圓環(huán)1lzl2及2 l z l +8內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展式。例：e z在0 l z l+8內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展式5.2、解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)

24、1、定義：設(shè)函數(shù)/(z)在去掉圓心的圓盤D :0 l z-z01 R(0 R +8)內(nèi)確定并且解析， 那么我們稱z0為/(z)的孤立奇點(diǎn)。那么在D內(nèi)，/(z)有洛朗展式/(z) =：Ta (z-z )n, n0-n=-8-2、一般地，對(duì)于上述函數(shù)f(z)，按照它的洛朗展式含負(fù)數(shù)幕的情況(主要部分的情況)， 可以把孤立奇點(diǎn)分類如下(1)、如果當(dāng)時(shí)n=-1,-2,-3，a廣0，那么我們說(shuō)z0是f(z)的可去奇點(diǎn)，2)設(shè)對(duì)于正整數(shù)m，a豐0,z0是f(z)的m階極點(diǎn)、如果有無(wú)限個(gè)整數(shù)n0，使得an。0，那么我們說(shuō)z0是f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)3、定理5.3函數(shù)f(z)在D :0 l z-z01 R(0 R

25、 +8)內(nèi)解析，那么z0是f(z)的可去奇點(diǎn) 則下面三個(gè)條件是必要與充分條件：存在著極限，lim f (z) =a。，其中a。是一個(gè)復(fù)數(shù)。z0存在著某一個(gè)正數(shù)p ( R)，使得f(z)在0l z-z lP內(nèi)有界。0003) /(z)在的主要部分為零4、定理5.4設(shè)函數(shù)/(z)在D :0 1 z - z01 R(0 R +)內(nèi)解析，那么z0是/(z)的m階極 點(diǎn)的三個(gè)必要與充分條件是：定義 在0 1 z z l p 內(nèi)，f (z) =1 中(z)00(z z0) mF(z) = /1 z)以z0為m階零點(diǎn)。注：定理5.5設(shè)函數(shù)f(z)在D :0 l z z0l R(0 R +的內(nèi)解析，那么z0是f(z)的極點(diǎn)的 必要與充分條件是：lim f (z) = 8。zT z05、定理5.6函數(shù)f(z)在