安徽省黃山市龍門中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

1、安徽省黃山市龍門中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知xC，若關(guān)于x實(shí)系數(shù)一元二次方程bxc0（a，b，cR，a0）有一根為1i則該方程的另一根為A1i B1i C1i D1參考答案：B兩根之和為實(shí)數(shù)，排除A，D兩根之積為實(shí)數(shù)，排除C故選：B2. 已知集合，則A. 1,6 B. (1,6 C. 1,+) D.2,3 參考答案：C3. 已知向量，若，則t A1? ? B2? ? C3? D4參考答案：C【知識(shí)點(diǎn)】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算【試題解析】因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋篊4. 已知=(co

2、s,sin),=(cos,sin),則( )A. B. C. (+)() D. 、的夾角為+參考答案：C5. 設(shè)命題：函數(shù)的最小正周期為；命題：函數(shù)是偶函數(shù)則下列判斷正確的是A為真 B為真 C為真 D為真參考答案：D略6. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為() A0 B1 C4 D2參考答案：D略7. 已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a3+a101=0，則有（）Aa1+a1010Ba2+a1000Ca3+a99=0Da51=51參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【分析】根據(jù)特殊數(shù)列an=0可直接得到a3+a99=0，進(jìn)而看得到答案【解答】解：取滿足題意的特殊數(shù)列an=0，即可得到a3+a99=0故選：C8

3、. 已知參考答案：D略9. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于 （A） 18 （B） 36 （C） 54 （D） 72參考答案：答案：D10. 已知橢圓（ab0）的一條弦所在的直線方程是xy+5=0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M（4，1），則橢圓的離心率是（）A B CD 參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】設(shè)出以M為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程相減，把中點(diǎn)公式代入，可得弦的斜率與a，b的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率【解答】解：設(shè)直線xy+5=0與橢圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2），由x1+x2=8，y1+y2=2，直線AB的斜率k=1，由，兩式相減得： +=0，=1，=，由

4、橢圓的離心率e=，故選：D二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 等比數(shù)列中，,則= .參考答案：或12. 對(duì)于函數(shù)，現(xiàn)給出四個(gè)命題：ks5u時(shí)，為奇函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根方程至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根其中正確命題的序號(hào)為 .參考答案：若，則，為奇函數(shù)，所以正確。由知，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的圖象由函數(shù)向上或向下平移個(gè)單位，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，所以正確。當(dāng)時(shí)，當(dāng)，得，只有一解，所以正確。取，由，可得有三個(gè)實(shí)根，所以不正確，綜上正確命題的序號(hào)為。13. 某算法流程圖如圖一所示，則輸出的結(jié)果是參考答案：2略14. 直線和是圓的兩條切線，若與的交點(diǎn)為，則與的夾角

5、的正切值等于 .參考答案：15. 已知，若同時(shí)滿足條件：1對(duì)任意實(shí)數(shù)都有或；2總存在使成立。則的取值范圍是 參考答案：16. 已知且，則的值為_參考答案：試題分析：因?yàn)椋?，所以考點(diǎn)：函數(shù)的求值17. 已知： =（3，1），=（0，5），且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為參考答案：【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【分析】設(shè)C（x，y），則=（x+3，y1），=（x，y5），=（3，4），由，利用向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出【解答】解：設(shè)C（x，y），則=（x+3，y1），=（x，y5），=（3，4），5（x+3）=0， =3x+4（y5）=0，解得x=3，y=則點(diǎn)C的坐標(biāo)：故答案為：三、 解答題：

6、本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. （本題滿分16分）已知雙曲線（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)是雙曲線上的點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記求的取值范圍；（3）已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，為雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)記為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線，為截直線所得線段的長(zhǎng)試將表示為直線的斜率的函數(shù)參考答案：【解析】（1）所求漸近線方程為 .3分 （2）設(shè)P的坐標(biāo)為，則Q的坐標(biāo)為， .4分 7分的取值范圍是 9分 （3）若P為雙曲線C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)， 則直線的斜率 11分 由計(jì)算可得，當(dāng) 當(dāng) 15分 s表示為直線的斜率k的函數(shù)是.16分19. 設(shè)常數(shù)0，a0，函數(shù)f（

7、x）=alnx（1）當(dāng)a=時(shí)，若f（x）最小值為0，求的值；（2）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，a，證明：存在實(shí)數(shù)x0，當(dāng)xx0時(shí)，f（x）0參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】綜合題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；分類法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】（1）當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)f（x）=（x0）f（x）=，分別解出f（x）0，f（x）0，研究其單調(diào)性，即可得出最小值（2）函數(shù)f（x）=xalnxxalnx令u（x）=xalnx利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【解答】（1）解：當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)f（x）=alnx=（x0）f（x）=，0，x0，4x2+9x+320，4x（+x）20當(dāng)

8、x時(shí)，f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0 x時(shí)，f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，即最小值，f（）=0，解得=（2）證明：函數(shù)f（x）=alnx=alnx=xalnxxalnx令u（x）=xalnxu（x）=1=，可知：當(dāng)xa時(shí)，u（x）0，函數(shù)u（x）單調(diào)遞增，x+，u（x）+一定存在x00，使得當(dāng)xx0時(shí)，u（x0）0，存在實(shí)數(shù)x0，當(dāng)xx0時(shí)，f（x）u（x）u（x0）0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題20. 設(shè)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，

9、切點(diǎn)分別是A,B.（I）求直線AB的方程（用t表示）；（）若直線AB與C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求面積的最小值.參考答案：（）；（）【分析】（）先求得A處的切線方程，可同理得到B處的切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，找到點(diǎn)，都滿足的直線方程即可,（）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式得到，結(jié)合換元法及導(dǎo)數(shù)求得最值.【詳解】（）設(shè)點(diǎn)，則，則A處的切線方程為,即同理B處的切線方程為，再將點(diǎn)代入上述兩個(gè)方程，得，所以直線的方程為.（）聯(lián)立，得，設(shè)點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，設(shè)，則，得，是的唯一極小值點(diǎn)，當(dāng)即時(shí)，面積

10、的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓錐曲線相切問(wèn)題的解決模式，考查了根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于綜合題21. 已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)（1）求的最小值（2）若不等式|2a+b|+|2ab|a|（|2+x|+|2x|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍參考答案：考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法 專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：（1）由條件利用絕對(duì)值三角不等式求得的最小值（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式|2+x|+|2x|4，再根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|2+x|+|2x|4，從而得到|2+x|+|2x|=4，由此利用絕對(duì)值的意義求得x的范圍解答：解：（1）=|+|=|2+|

11、+|2|（2+）+（2）|=4，所以 的最小值為4（2）|2a+b|+|2ab|2a+b+2ab|=4|a|，不等式|a+b|+|ab|a|（|2+x|+|2x|）恒成立，4|a|a|（|2+x|+|2x|），即|2+x|+|2x|4而|2+x|+|2x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為4，故|2+x|+|2x|=4，2x2，即實(shí)數(shù)x的取值范圍為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題22. 已知函數(shù)f（x）=ax2+2xlnx（aR）（）若a=4，求函數(shù)f（x）的極值；（）若f（x

12、）在（0，1）有唯一的零點(diǎn)x0，求a的取值范圍；（）若a（，0），設(shè)g（x）=a（1x）22x1ln（1x），求證：g（x）在（0，1）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)x1，且對(duì)（）中的x0，滿足x0+x11參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】解法一：（）當(dāng)a=4時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解極值即可（）利用，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)為0，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)分類討論求解即可（）設(shè)t=1x，則t（0，1），得到p（t），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)方程2at2+2t1=0在（0，1）內(nèi)有唯一的解x0，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性

13、，然后求解證明解法二：（）同解法一；（）求出，通過(guò)f（x）=0，推出，設(shè)，則m（1，+），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)的圖象在（1，+）恰有一個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題求解證明即可（）同解法一【解答】滿分（14分）解法一：（）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=4x2+2xlnx，x（0，+），（1分）由x（0，+），令f（x）=0，得當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f（x）的變化如下表：xf（x）0+f（x）極小值故函數(shù)f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，（3分）f（x）有極小值，無(wú)極大值（4分）（），令f（x）=0，得2ax2+2x1=0，設(shè)h（x）=2ax2+2x1則f（x）在（0，1）有唯一的零點(diǎn)x0等價(jià)于h（x）在（0，1）有唯

14、一的零點(diǎn)x0當(dāng)a=0時(shí)，方程的解為，滿足題意；（5分）當(dāng)a0時(shí)，由函數(shù)h（x）圖象的對(duì)稱軸，函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，且h（0）=1，h（1）=2a+10，所以滿足題意；（6分）當(dāng)a0，=0時(shí)，此時(shí)方程的解為x=1，不符合題意；當(dāng)a0，0時(shí)，由h（0）=1，只需h（1）=2a+10，得（7分）綜上，（8分）（說(shuō)明：=0未討論扣1分）（）設(shè)t=1x，則t（0，1），p（t）=g（1t）=at2+2t3lnt，（9分），由，故由（）可知，方程2at2+2t1=0在（0，1）內(nèi)有唯一的解x0，且當(dāng)t（0，x0）時(shí)，p（t）0，p（t）單調(diào)遞減；t（x0，1）時(shí)，p（t）0，p（t）單調(diào)遞增（11分）又p（1）=a10，所以p（x0）0（12分）取t=e3+2a（0，1），則p（e3+2a）=ae6+4a+2e3+2a3lne3+2a=ae6+4a+2e3+2a3+32a=a（e6+4a2）+2e3+2a0，從而當(dāng)t（0，x0）時(shí)，p（t）必存在唯一的零點(diǎn)t1，且0t1x0，即01x1x0，得x1（0，1），且x0+x11，從而函數(shù)g（x）在（0，1）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)x1，滿足x0+x11（14分）解法二：（）同解法一；（4分）（），令f（x）=0，由2ax2