高中數(shù)學(xué)幾何體外接球求法（含經(jīng)典例題）

1、長方體的外接球 正方體的內(nèi)切球議 P高中數(shù)學(xué)幾何體外接球求法一、知識梳理：1常見平面圖形：正方形，長方形，正三角形的外接圓和內(nèi)切圓(1) 長方形 (正方形) 的外接圓半徑為對角線長的一半，正方形的內(nèi)切圓半徑為邊長的一半；(2) 正三角形的內(nèi)切圓半徑： a 外接圓半徑： a(3) 正三角形三心合一，三線合一，心把高分為 2 :1兩部分。2球的概念：概念 1：與定點(diǎn)距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合，叫做球體，簡稱球.定長叫球的半徑；概念 2：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球 體，簡稱球3球的截面：用一平面議 去截一個(gè)球 O ，設(shè) OO 是平面議 的垂線段，O 為

2、 垂足，且 OO = d ，所得的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以 r = R2 一 d 2 為半徑的一個(gè)圓，截面是一個(gè)圓面.球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面 截得的圓叫做小圓.OdORr4.空間幾何體外接球、內(nèi)切球的概念：定義 1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面 體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義 2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。5外接球和內(nèi)切球性質(zhì)：(1) 內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。(2) 正多

3、面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。(3) 正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。(4) 基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。(5) 體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。二、相關(guān)公式：球的表面積公式： S = 4幾R2 ；球的體積公式： V = 幾R3( 1 ) 長 方 體 (或 各 個(gè)頂 點(diǎn) 都 落 在 長方 體 頂 點(diǎn) 上 的 幾 何 體 ) 的 外 接 球 半 徑 公 式：R = ， a, b, c 分別為長方體共頂點(diǎn)的 3 條棱長 2例：三棱錐 S-ABC 的所有頂點(diǎn)都在球 O 的表面上，SA平面 ABC，ABBC，又 SA=AB= BC=1， 則球 O 的表面積為( )(A

4、)(B)(C) 3(D) 12(2)正棱錐(底面是正多邊形，頂點(diǎn)落在底面中心的幾何體)的外接球半徑公式：R = , ， a 為側(cè)棱長， h 為正棱錐的高例：如圖所示，已知四棱錐 P ABCD 的高為 3 ，底面 ABCD 為正方形，PAPBPCPD且 AB ，則四棱錐 PABCD 外接球的半徑為 ( )A B 2 C D 3BC(3) 正四面體外接球半徑公式： R = a ， 內(nèi)切球半徑： R = a ， a 為棱長例：一個(gè)正四面體的所有棱長都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為( )A 3 B 4 C 3 D 6(4) 側(cè)棱垂直于底面的凌錐或棱柱外接球半徑公式： R = r 2 +

5、 ()2 ， h 為幾何體的高， r 為底面圖形外接圓半徑例：某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則這個(gè)球的表面積是 ( )A 41D 57(5) 求外接球一般方法：找球心求半徑例：四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，面 PAD面 ABCD ，PAPDAD3 ，AB 4 ，則四棱錐 ABCD 的外接球的表面積為 三、兩種特殊情況1、特殊位置例：在矩形 ABCD 中， AB = 4, BC = 3 ，沿 AC 將矩形 ABCD 折成一個(gè)直二面角B 一 AC 一 D ，則四面體 ABCD 的外接球的體積為 ( )A. B. C. D. 2、對角線構(gòu)造例

6、、在三棱錐 A 一 BCD 中， AB = CD = 2 ， AD = BC = ， AC = BD = ，則三棱 錐 A 一 BCD 外接球的表面積是_練習(xí)1、三棱錐 A BCD 中，積為 ，ACBD2，則該幾何體外接球的表面2、如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為 6cm2 ，4cm2 和 3cm2 ，那么它的外接 球的體積為_3 、在平行四邊形 ABCD 中， ABD90 ，且 AB 1 ，BD ，若將其沿 BD 折起使平 面 ABD平面 BCD ，則三棱錐 A BDC 的外接球的表面積為 4、若三棱錐 S 一 ABC 的所有頂點(diǎn)都在球 O 的球面上，SA 平面 ABC ，SA

7、 = 2 ，AB = 1， AC = 2 ， 三BAC = 60。，則球 O 的表面積為_5、已知三棱錐 S 一 ABC 的所有頂點(diǎn)都在球O 的球面上，ABC 是邊長為 1 的正三角形，SC 是球O 的直徑，且 SC = 2 ；則此棱錐的體積為 ( )A. B. C. D. 6 、三棱錐 P ABC 的底面 ABC 是等腰三角形， C120 ，側(cè)面 PAB 是等邊三角形且與底面 ABC 垂直，AC2 ，則該三棱錐的外接球的表面積為 CAB7、某三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為 ( )A 25 BD 408、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 2 ，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為 ( )C D 319、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 ( )B 2