新課標2023版高考數(shù)學一輪總復習課時質(zhì)量評價27平面向量基本定理及坐標表示

1、PAGE PAGE 7課時質(zhì)量評價(二十七)A組全考點鞏固練1已知點M(5，6)和向量a(1，2)，若eq o(MN,sup7()3a，則點N的坐標為()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)A解析：因為eq o(ON,sup7()eq o(OM,sup7()eq o(MN,sup7()eq o(OM,sup7()3a(5，6)3(1，2)(2,0)，所以點N的坐標為(2,0)2已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，則“m6”是“a(ab)”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件A解析：由題意得ab(2,2m)，由a(ab)，得1(2m)22，

2、所以m6當m6時，ab(2，4)2(1,2)，可得a(ab)，則“m6”是“a(ab)”的充要條件3如圖，在ABC中，BE是邊AC的中線，O是邊BE的中點若eq o(AB,sup7()a，eq o(AC,sup7()b，則eq o(AO,sup7()()Aeq f(1,2)aeq f(1,2)b Beq f(1,2)aeq f(1,4)bCeq f(1,4)aeq f(1,2)b Deq f(1,4)aeq f(1,4)bB解析：因為在ABC中，BE是AC邊上的中線，所以eq o(AE,sup7()eq f(1,2)eq o(AC,sup7()因為O是BE邊的中點，所以eq o(AO,sup7

3、()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(AE,sup7()，所以eq o(AO,sup7()eq f(1,2)eq o(AB,sup7()eq f(1,4)eq o(AC,sup7()又因為eq o(AB,sup7()a，eq o(AC,sup7()b，所以eq o(AO,sup7()eq f(1,2)aeq f(1,4)b4如圖，在正方形ABCD中，M是BC的中點，若eq o(AC,sup7()eq o(AM,sup7()eq o(BD,sup7()，則()Aeq f(4,3) Beq f(5,3) Ceq f(15,8) D2B解析：以A為坐標原點建立平面直角坐標系(

4、圖略)，設正方形邊長為1，由此，eq o(AC,sup7()(1,1)，eq o(AM,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，eq o(BD,sup7()(1,1)，故1，1eq f(1,2)，解得eq f(4,3)，eq f(1,3)，eq f(5,3)5(2022河南新鄉(xiāng)三模)設向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，若向量a3e1e2與be1e2共線，則()Aeq f(1,3) Beq f(1,3) C3 D3B解析：因為a與b共線，所以存在R，使得ab，即3e1e2(e1e2)故3，1，解得eq f(1,3)故選B6已知向量a(1sin ，1)，beq bl

5、c(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1sin )若ab，則銳角()Aeq f(,6) Beq f(,4) Ceq f(,3) Deq f(5,12)B解析：因為ab，所以(1sin )(1sin )1eq f(1,2)0，得sin2eq f(1,2)，所以sin eq f(r(2),2)，故銳角eq f(,4)7已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，則2xy_9解析：由平面向量基本定理可知eq blcrc (avs4alco1(3x4y6，,2x3y3，)解得eq blcrc (avs4alco1(x6，,y3，)故2xy98(2021

6、福建三明模擬)如圖，在ABC中，已知eq f(4,3)eq o(BN,sup7()eq o(BA,sup7()eq f(1,3)eq o(BC,sup7()，點P在線段BN上若eq o(AP,sup7()eq o(AB,sup7()eq f(3,16)eq o(AC,sup7()，則實數(shù)的值為_eq f(1,4)解析：eq f(4,3)eq o(BN,sup7()eq o(BA,sup7()eq f(1,3)eq o(BC,sup7()可化為eq o(AN,sup7()eq f(1,3)eq o(NC,sup7()，即eq o(AN,sup7()eq f(1,4)eq o(AC,sup7()因

7、為eq o(AP,sup7()eq o(AB,sup7()eq f(3,16)eq o(AC,sup7()，所以eq o(AP,sup7()eq o(AB,sup7()eq f(3,4)eq o(AN,sup7()由B，P，N三點共線可得eq f(1,4)9如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且ADeq f(1,3)BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點設eq o(BA,sup7()a，eq o(BC,sup7()b，試以a，b為基底表示向量eq o(EF,sup7()，eq o(DF,sup7()，eq o(CD,sup7()解：因為ADBC，ADeq f(1,3)BC，E，F(xiàn)分別為線段AD，

8、BC的中點，所以AEEDeq f(1,6)BC，BFFCeq f(1,2)BC，所以eq o(EF,sup7()eq o(EA,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(BF,sup7()eq f(1,6)baeq f(1,2)beq f(1,3)ba，eq o(DF,sup7()eq o(DE,sup7()eq o(EF,sup7()eq f(1,6)beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)ba)eq f(1,6)ba，eq o(CD,sup7()eq o(CF,sup7()eq o(FD,sup7()eq f(1,2)beq blc(rc)(avs4alco1(f(

9、1,6)ba)aeq f(2,3)b10如圖，向量eq o(OA,sup7()與eq o(OB,sup7()的夾角為120，|eq o(OA,sup7()|2，|eq o(OB,sup7()|1，P是以O為圓心，|eq o(OB,sup7()|為半徑的弧eq o(BC,sup10()上的動點若eq o(OP,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()，求的最大值解：建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(cos ，sin )，則eq o(OP,sup7()(cos ，sin )，eq o(OA,sup7()(2,0)，eq o(OB,sup7()eq blc(rc)(av

10、s4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)因為eq o(OP,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()，所以(cos ，sin )eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2)，f(r(3),2)，即eq blcrc (avs4alco1(cos 2f(1,2)，,sin f(r(3),2)，)所以eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)cos f(1,2r(3)sin ，,f(2,r(3)sin ，)所以eq f(1,2)coseq f(2,r(3)sin eq f(1,2r(3)sin eq f(2,r(3)sin eq f(1,2r

11、(3)sin 2eq f(1,3)sin2eq f(1,2r(3)sin 2eq f(1,6)cos 2eq f(1,6)eq f(1,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)eq f(1,6)eq f(1,2)當且僅當2eq f(,6)eq f(,2)，即eq f(,3)時，取等號所以的最大值為eq f(1,2)B組新高考培優(yōu)練11(多選題)已知向量eq o(OA,sup7()(1，3)，eq o(OB,sup7()(2，1)，eq o(OC,sup7()(m1，m2)若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m的值可以是()A2 Beq f(1,2) C1 D1ABD解析：

12、若A，B，C三點不共線即可構成三角形因為eq o(AB,sup7()eq o(OB,sup7()eq o(OA,sup7()(2，1)(1，3)(1,2)，eq o(AC,sup7()eq o(OC,sup7()eq o(OA,sup7()(m1，m2)(1，3)(m，m1)假設A，B，C三點共線，則1(m1)2m0，即m1所以只要m1，A，B，C三點即可構成三角形，故選ABD12我國東漢末數(shù)學家趙爽在周髀算經(jīng)中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示若E為AF的中點，eq o(EG,sup7()eq o

13、(AB,sup7()eq o(AD,sup7()，則()Aeq f(1,2) Beq f(3,5) Ceq f(2,3) Deq f(4,5)D解析：以E為坐標原點，EF所在直線為x軸，ED所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，設|EF|1，又E為AF的中點，所以E(0,0)，G(1,1)，A(1,0)，B(1，1)，D(0,2)，則eq o(EG,sup7()(1,1)，eq o(AB,sup7()(2，1)，eq o(AD,sup7()(1,2)由eq o(EG,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()，得(1,1)(2，1)(1,2)所以eq blcrc

14、(avs4alco1(21，,21，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(1,5)，,f(3,5)，)則eq f(4,5)故選D13如圖，在平面直角坐標系xOy中，原點O是正八邊形P1P2P3P8的中心，P1P8x軸，若坐標軸上的點M(異于O點)滿足eq o(OM,sup7()eq o(OP,sup7()ieq o(OP,sup7()j0(其中1i8,1j8且i，jN*)，則滿足以上條件的點M的個數(shù)為()A2 B4 C6 D8D解析：分以下兩種情況討論：若點M在x軸上，則Pi，Pj(1i8,1j8, i，iN*)關于x軸對稱，由題圖可知，P1與P8，P2與P7，P3與P6，P4與P

15、5，關于x軸對稱，此時，符合條件的點M有4個；若點M在y軸上，則Pi，Pj(1i8,1j8，i，jN*)關于y軸對稱，由題圖可知，P1與P4，P2與P3，P5與P8，P6與P7關于y軸對稱，此時，符合條件的點M有4個綜上所述，滿足題中條件的點M的個數(shù)為8故選D14已知平面向量a，b，c滿足|a|b|ab|abc|1，則|c|的最大值M_，|c|的最小值m_eq r(3)1eq r(3)1解析：因為|a|b|ab|1所以a，b，ab可構成等邊三角形，且|ab|eq r(3)因為|abc|1，所以如圖所示，c的終點在以ab的終點為圓心、半徑為1的圓上，故Meq r(3)1，meq r(3)115在

16、矩形ABCD中，ABeq r(5)，BCeq r(3)，P為矩形內(nèi)一點，且APeq f(r(5),2)若eq o(AP,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()(，R)，則eq r(5)eq r(3)的最大值為_eq f(r(10),2)解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(x，y)，B(eq r(5)，0)，C(eq r(5)，eq r(3)，D(0，eq r(3)因為APeq f(r(5),2)，所以x2y2eq f(5,4)，點P滿足的約束條件為eq blcrc (avs4alco1(0 xr(5)，,0yr(3)，,x2y2f(5,4).)因為eq o(

17、AP,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()(，R)，所以(x，y)(eq r(5)，0)(0，eq r(3)所以eq blcrc (avs4alco1(xr(5)，,yr(3)，)所以xyeq r(5)eq r(3)因為xyeq r(2(x2y2)eq r(2f(5,4)eq f(r(10),2)，當且僅當xy時取等號，所以eq r(5)eq r(3)的最大值為eq f(r(10),2)16在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上(1)若eq o(PA,sup7()eq o(PB,

18、sup7()eq o(PC,sup7()0，求|eq o(OP,sup7()|；(2)設eq o(OP,sup7()meq o(AB,sup7()neq o(AC,sup7()(m，nR)，用x，y表示mn解：(1)因為eq o(PA,sup7()eq o(PB,sup7()eq o(PC,sup7()0，eq o(PA,sup7()eq o(PB,sup7()eq o(PC,sup7()(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，所以eq blcrc (avs4alco1(63x0，,63y0，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y2，)即eq o(OP,sup7()(2,2)，故|eq o(OP,sup7()|2eq r(2)(2)因為eq o(OP,sup7()meq o(AB,sup7()neq o(AC,sup7()，eq o(AB,sup7()(1,2)，eq o(AC,sup7()(2,1)，所以(x，y)(m2n,2mn)，即eq blcrc (avs4alco1(xm2n，,y2mn，)兩式相減，得mnyx17經(jīng)過OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q設eq o(OP,sup7()meq