一元一次方程

1、一元一次方程第1頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六一、提出問題： 甲、乙兩個班，原來甲班比乙班多20人現(xiàn)在學(xué)校從甲班抽調(diào)14人去乙班，則甲班人數(shù)正好是乙班人數(shù)的7/8，求甲、乙兩個班的現(xiàn)有人數(shù)第2頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六算術(shù)解法：甲班原比乙班多20人，乙班現(xiàn)比甲班多142-20（人），相當于乙班現(xiàn)有人數(shù)的 .因此，乙班現(xiàn)有人數(shù)為 ，甲班現(xiàn)有人數(shù)為第3頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六代數(shù)解法：設(shè)甲班現(xiàn)有x人，則乙班現(xiàn)有x+142-20=x+8（人），因此， 即甲班現(xiàn)有56人，乙班現(xiàn)有64人.第4頁，共44頁，20

2、22年，5月20日，23點17分，星期六對比兩種解法可以看出： 算術(shù)解法是把未知量置于特殊地位，設(shè)法用已知量組成的混合運算式表示出來(在條件較復(fù)雜時，列出這樣的式子往往比較困難)； 代數(shù)解法是把未知量與已知量同等對待(使未知量在分析問題的過程中也能發(fā)揮作用)，找出各量之間的等量關(guān)系，建立方程 因此，代數(shù)解法的“直截了當”比算術(shù)解法的“拐彎抹角”要方便得多但是，在由算術(shù)解法向代數(shù)解法轉(zhuǎn)化的過程中，同學(xué)們原來的思維定勢不同程度的成為接受新思想的障礙，算術(shù)解法的思想會時隱時現(xiàn)要充分發(fā)揮代數(shù)解法的優(yōu)越性，必須有意識地進行對比性訓(xùn)練解題，使同學(xué)們從思想上認識到學(xué)習代數(shù)解法的必要性，而自覺地運用第5頁，共

3、44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六二、知識梳理：1、列方程解應(yīng)用題: 學(xué)習列方程解應(yīng)用題是十分重要的，首先從學(xué)習內(nèi)容上講，中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習離不開方程，離不開利用列方程來解決應(yīng)用問題，特別是我們已經(jīng)明確了這樣一種思想：學(xué)習數(shù)學(xué)重在應(yīng)用因此列方程解應(yīng)用題中蘊含的思想方法對學(xué)習者而言是十分重要的第二，通過列方程解應(yīng)用題可以培養(yǎng)和提高分析問題和解決問題的能力這對于一個人的發(fā)展也是十分重要的第6頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六 列方程過程的實質(zhì)有多種說法：如“通過分析，找出等量關(guān)系，而列出方程”，或“把題目中蘊含的相等關(guān)系找出來，列出方程”這些說法都指明了列方程

4、的方向找出相等關(guān)系一般步驟如下：(1)審題、弄清題意，分清哪些是已知量，哪些是未知量(2)設(shè)未知數(shù)，選一個適當?shù)奈粗吭O(shè)為未知數(shù)x(3)列方程(4)解所列的方程(5)根據(jù)題意，作出答案第7頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六具體可從以下三條途徑出發(fā)研究解決：(1)圖解分析： 分析問題中的數(shù)量關(guān)系時，借助圖形，可以使抽象的關(guān)系直觀化、簡單化，根據(jù)題意畫圖列式是對同學(xué)們的思維能力的有效培養(yǎng)這里，應(yīng)要求“圖要達意”，避免圖上發(fā)生錯誤而造成列式錯誤第8頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六(2)列表分析： 列表法的優(yōu)點是通過列表歸類使對應(yīng)量之間關(guān)系較為清晰，往

5、往有利于運用比例分析法顯示解題思路(3)框圖分析： 框圖分析是由文字語言、符號語言及長方格通過題中相等關(guān)系確立而成，容易操作，不拘一格。第9頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例1、某連隊從駐地出發(fā)前往某地執(zhí)行任務(wù)行軍速度是6千米/時，18分鐘后，駐地接到緊急命令，派遣通訊員小王必須在一刻鐘內(nèi)把命令傳達給連隊小王騎自行車以14千米/時的速度沿同一路線追趕連隊問是否能在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)第10頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例2、汽船從甲地順水開往乙地，所用時間比從乙地逆水開往甲地少1.5小時已知此船在靜水中速度為18千米/時，水流速度為2千米/時

6、求甲、乙兩地間的距離第11頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六2、抓住“不變量”解應(yīng)用題 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量間的相等關(guān)系，這要從分析題中的基本量入手去尋找一般說來，一個問題中有幾種基本量就可以找出幾種相等關(guān)系但有些應(yīng)用題中的相等關(guān)系不外露，如能抓住問題中的“不變量”即可得到相等關(guān)系，從而列出方程，甚至能找出多種解法，拓寬解題思路 第12頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例3、某工人在一定時間內(nèi)加工一批零件，如果每天加工44個就比規(guī)定任務(wù)少加工 20個；如果每天加工50個，則可超額10個求規(guī)定加工的零件數(shù)和計劃加工的天數(shù)分析：本題每天加工

7、的零件數(shù)是變量，實際做的工作總量也隨著變化，但有兩個不變量，即計劃加工的時間不變，規(guī)定任務(wù)不變，這就是題目中的等量關(guān)系，故可得到兩種解法第13頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例4、一艘輪船從甲地順流而下8小時到達乙地，原路返回要12小時，才能到達甲地，已知水流速度是每小時3千米，求甲、乙兩地的距離分析：本題中甲、乙兩地間的距離與輪船本身的速度(靜水速度)是“不變量”，分別抓住這兩個“不變量”即得兩種不同的等量關(guān)系可從兩個不同方面設(shè)出未知數(shù)第14頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六 有關(guān)溶液的濃度應(yīng)用題是初中代數(shù)中列方程解應(yīng)用題的一類基本題解這類應(yīng)

8、用題，關(guān)鍵的問題是：抓住不變量(如稀釋前溶質(zhì)重量等于稀釋后溶質(zhì)重量)列方程 第15頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六（1）求溶質(zhì)例5、現(xiàn)有濃度為20的鹽水300克和濃度為30的鹽水200克，需配制成濃度為60的鹽水，問兩種溶液全部混合后，還需加鹽多少克？解：設(shè)兩種溶液全部混合后，還需加鹽x克，注意混合前后溶質(zhì)總量不變，依題意得方程： 20300+30200+x=60(300+200+x) 化簡得2x=900解這個方程得x=450答：兩種溶液全部混合后，還需加鹽450克第16頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六（2）求溶劑例6、要把濃度為90的酒精溶

9、液500克，稀釋成濃度為75的酒精溶液，需加水多少克解：設(shè)需加水x克，因為加水前后溶質(zhì)數(shù)量不變，依題意得方程 75(x+500)=90 500 化簡得15x=1500 解這個方程得x=100 答：需加水100克第17頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六（3）求溶液例7、有若干克4的鹽水蒸發(fā)了一些水分后，變成10的鹽水，接著加進4的鹽水300克，混合后變?yōu)?.4的鹽水， 問:最初有鹽水多少克？解：設(shè)最初有鹽水x克，注意混合后的含鹽量，依題意得方程 化簡得 1.44x=720 解這個方程得x=500答：最初有鹽水500克第18頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分

10、，星期六（4）求濃度例8、甲種硫酸溶液含硫酸的百分數(shù)是乙種硫酸溶液的1.5倍，甲種硫酸溶液5份與乙種硫酸溶液3份混合成的硫酸溶液含硫酸52.5，求兩種硫酸溶液含硫酸的百分數(shù)解：設(shè)乙種硫酸溶液含硫酸的百分數(shù)為x，則甲種硫酸溶液含硫酸的百分數(shù)為1.5x，依題意得方程51.5x+3x=52.58化簡得105x=42解這個方程得x=0.4=40，則 1.5x=1.50.4=0.6=60答：甲種硫酸溶液含硫酸的百分數(shù)是60，乙種硫酸溶液含硫酸的百分數(shù)是40第19頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六從以上幾例可以看出： 抓住不變量關(guān)系是解決有關(guān)百分比濃度應(yīng)用題中所涉及的各種量的關(guān)鍵第

11、20頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六3、用整體思想解應(yīng)用題 數(shù)學(xué)崇尚簡捷初中不少數(shù)學(xué)應(yīng)用題若能著眼于整體結(jié)構(gòu)，往往能觸及問題的本質(zhì)，從而獲得簡捷明快的解法把整體思想解題用于教學(xué)不但可以培養(yǎng)學(xué)生著眼于整體的意識，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性 第21頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例9、甲、乙兩人分別從A、B兩地同時相向出發(fā)，在離B地6千米處相遇后又繼續(xù)前進，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在離A地8千米處相遇，求A、B兩地間的距離第22頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六分析：用常規(guī)方法解決本題具有一定難度，若把兩個

12、運動過程一起處理，便可使問題迎刃而解解：如圖，第一次相遇，甲、乙兩人合走一個全程，對應(yīng)乙走6千米；第二次相遇，甲、乙兩人合走了三個全程，故乙共走了18千米，設(shè)A、B兩地間的距離為x千米，第二次相遇時乙走了(x+8)千米，所以x+8=18，x=10答：A、B兩地間距離為10千米第23頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例10、甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，若兩人同時出發(fā)，則經(jīng)4小時相遇；若甲先出發(fā)3小時后乙再出發(fā)，則經(jīng)2小時相遇，問甲、乙單獨走完AB這段路程各需幾小時？解：由兩人同時出發(fā)經(jīng)4小時相遇，知兩人2小時走全程的一半；又由甲出發(fā)3小時后乙再出發(fā)，經(jīng)2小時相遇，

13、知甲3小時走完全程的一半故甲走完全程需6小時因甲走5小時，乙走2小時可走完全程，而甲6小時走完全程，故甲走1小時的路程乙需走2小時，故乙走完全程需12小時答：單獨走完全程，甲需6小時，乙需12小時第24頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六注意：用常規(guī)方法解題是必要的，但本題運用整體思想求解不但看透了本質(zhì)，而且利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力第25頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六4、合理設(shè)元巧解一元一次方程應(yīng)用題： 列方程解應(yīng)用題在初中代數(shù)中既是重點，又是難點怎樣列方程解應(yīng)用題，除了找出題中的相等關(guān)系外，關(guān)鍵還在于如何設(shè)元在列方程解應(yīng)用題時，大多時候是將

14、要求的量設(shè)為未知元(設(shè)直接元)而有時設(shè)直接元時，不易找出題目中的相等關(guān)系，此時則應(yīng)恰當選擇題目中要求的未知量外有關(guān)的某個量為未知元(設(shè)間接元)，求出這些量后，再用這些量求出要求的量還有些時候除了設(shè)直接元或間接元，還要設(shè)輔助列方程的量為未知元(設(shè)輔元)，它在方程中，不需求出或不能求出，但便于建立相等關(guān)系列方程 第26頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六（1）不同的設(shè)元有不同的方程 應(yīng)用題一般有多個未知量，因而有多種設(shè)元方法，從而有多種不同的方程例11、從A地到B地，先下山然后走平路，某人騎自行車以每小時12千米的速度下山，而以每小時9千米的速度通過平路，到達B地共用55分鐘

15、回來時以每小時8千米的速度通過平路而以每小時4千米的速度上山，回到A地共用1.5小時，從A地到B地有多少千米？ 第27頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六（2）直接設(shè)元與間接設(shè)元 一般情況下采用直接設(shè)元，即問什么就設(shè)什么，但有時根據(jù)問題的性質(zhì)，選設(shè)適當?shù)拈g接未知量，就可能使數(shù)量之間的復(fù)雜關(guān)系變得比較簡單，容易列出關(guān)于間接未知量的方程來第28頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例12、從家里騎車到火車站，若每小時行30千米，則比火車開車時間早到15分；若每小時行18千米，則比火車開車時間遲到15分現(xiàn)要求在火車開車前10分鐘到達火車站，騎車的速度應(yīng)是多少

16、？第29頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例13、設(shè)有五個數(shù)，其中每四個數(shù)之和分別是15、22、23、24、32，求這五個數(shù)分析：這個題目如果設(shè)直接元，就應(yīng)設(shè)五個未知元，涉及幾個未知數(shù)的問題，須列出幾個方程，不易解出因此，我們想到設(shè)間接元的方法，題中已知五個數(shù)中四個數(shù)之和，若設(shè)五個數(shù)總和為x，則這五個數(shù)分別是：x-15，x-22，x-23，x-24，x-32，它們的和等于x解：(設(shè)間接元)設(shè)這五個數(shù)的和是x則(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x解方程得x=29這五個數(shù)分別為：29-15=14，29-22= 7，29-23=6，29-2

17、4=5，29-32=-3答：這五個數(shù)是14，7，6 ，5，-3第30頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六（3）加設(shè)輔助元 有些應(yīng)用題中，常隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，則難求其解因而常把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是加設(shè)輔助元 第31頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例14、一輪船從重慶到武漢需5晝夜，從武漢到重慶需7晝夜，試問一木排從重慶漂流到武漢需要多少時間？分析：該題若設(shè)直接元，即木排漂流所需時間，很難找到相等關(guān)系來列方程，但由題意知輪船從重慶到武漢為順水航行，從武漢到重慶為逆水航行

18、，輪船在靜水中速度不變，木排漂流速度為水流速度，引入輔助元：重慶到武漢輪船行駛路程為s，水流速度為v，由輪船在靜水中速度不變可列方程第32頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六說明：在列出一元一次方程解應(yīng)用題時，因為方程中只有一個未知數(shù)，所以不管應(yīng)用題中有幾問，都只能設(shè)一個未知數(shù)，但有時只設(shè)出一個未知數(shù)，有關(guān)的等量關(guān)系很難表達，這樣就需要在方程中引入一個輔助元，便于列出方程表達等量關(guān)系，這個輔助元在解的過程中，常常被約掉，實際上還是一個未知數(shù)第33頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例15、某人上午8時乘裝有竹桿的船逆流而上，10時半發(fā)現(xiàn)一捆竹桿掉入河

19、中，他立即掉頭順流去追，用30分追上了竹桿竹桿是何時掉入河中的？注：在以上求解中，我們是以河岸為參照物來設(shè)定船速V和水流速度v的并且，我們發(fā)現(xiàn)船速和水速實際上對結(jié)果都無影響可以說這里的參數(shù)V、v是設(shè)而不求，只起到一個中間過渡作用第34頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例16、一組割草人要把兩塊到處長得一樣密的草地里的草割完，大的一塊比小的一塊大一倍，上半天全部人在大草地割草；下半天一半人仍留在大草地上，到晚上把草割完，另一半人去割小草地的草，到晚上還剩下一小塊，最后由一人再用一天的時間剛好割完如果這組割草人每天割草速度是相等的，問他們共有多少人？第35頁，共44頁，20

20、22年，5月20日，23點17分，星期六（4）整體設(shè)元 在某些應(yīng)用題中，直接設(shè)元相當困難，就是間接設(shè)元，也會感到未知數(shù)太多，已知關(guān)系太少如果在未知數(shù)的某一部分中存在一個整體關(guān)系，可設(shè)這一部分為一個未知量，這樣就減少了設(shè)元的個數(shù)，從而易列出方程(組)這種設(shè)元方法稱之為整體設(shè)元 第36頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六例17、一個五位數(shù)的最高位上數(shù)字是5，若將這個5移至最右邊的數(shù)位上，這所得的五位數(shù)比原數(shù)的2/3多7001，求原五位數(shù)。【注】 此題中的原五位數(shù)后四位組成的數(shù)在題中沒有變化，故可設(shè)其為x若分別設(shè)個十百千上的數(shù)字，則有四個未知量，僅一個相等關(guān)系，無法解題第37頁

21、，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六 列方程解應(yīng)用題中的設(shè)元問題是一個十分廣泛、靈活而有趣的內(nèi)容，沒有一種萬能的方法，沒有一種必由的途徑總之，設(shè)元的宗旨要使列方程的思路簡捷，列出的方程的解法容易在學(xué)習中必須靈活運用切忌生搬硬套 第38頁，共44頁，2022年，5月20日，23點17分，星期六三、小結(jié)： 列方程解應(yīng)用題的原理是：正確列出的方程能準確地表達出題目中各量之間的關(guān)系就是說，方程即表達了題意，這樣方程中未知數(shù)的值能使方程成立，也就符合題意 我們對間接未知數(shù)的作用有了一個初步的了解，它是我們從已知通向未知，從復(fù)雜通向簡單，從困難通向容易的一座橋梁。正因為如此，在選擇哪一個未知數(shù)作為間接未知數(shù)時，要經(jīng)過認真思考，為此一定要弄清題意，弄清題目