二階矩理論及應(yīng)用

1、第四章 二階矩理論及應(yīng)用 水準(zhǔn)：半經(jīng)驗半概率法，也就是對影響結(jié)構(gòu)可靠度的某些參數(shù)進行數(shù)理統(tǒng)計分析，并與經(jīng)驗相結(jié)合，然后引入某些經(jīng)驗系數(shù)，不能對結(jié)構(gòu)可靠度作出定量估計。水準(zhǔn)：又稱一次二階矩法，或稱近似概率法，他采用概率論的方法對結(jié)構(gòu)可靠度進行計算，不過不是采用精確的計算方法，而是采用近似的方法計算結(jié)構(gòu)的可靠度。4-1 概述水準(zhǔn)：又稱全概率法，是完全基于概率論的結(jié)構(gòu)可靠度精確分析方法。二階矩理論近年來已得到廣泛應(yīng)用與發(fā)展，屬于水準(zhǔn)的近似概率方法。它將結(jié)構(gòu)的抗力R和載荷效應(yīng)S作為隨機變量，近似計算可靠度和可靠性指標(biāo)。最常用的方法為一次二階矩法。一次指將功能函數(shù)按照泰勒展開，僅取一次項，二階矩指僅需要

2、用到隨機變量的均值（原點一階矩）和標(biāo)準(zhǔn)差（二階中心矩）。一次二階矩法一般分為兩種 （1）不考慮隨機變量的實際分布，給出有關(guān)結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度的解析表達式，采用泰勒級數(shù)在平均值（中心點）處展開，進行分析和計算，稱為中心點法。 也可采用在設(shè)計驗算點進行展開，用迭代求解方法求可靠度指標(biāo)，稱為驗算點法。（2）、考慮隨機變量的實際分布，將非正態(tài)分布當(dāng)量正態(tài)化，然后采用中心點法或驗算點法進行可靠度計算。4-2 均值一次二階矩法在早期結(jié)構(gòu)可靠性分析中，假設(shè)線性化點 就是均值點 ，此時，極限狀態(tài)方程為： （4-2-1） 式中 表示隨機變量的對應(yīng)均值，Z的均值可由（4-1-1）簡化后的功能函數(shù)中得到，均值mz標(biāo)準(zhǔn)差

3、z可由下式求得（設(shè)各隨機變量統(tǒng)計獨立）：可靠度指標(biāo)：例題8：圓截面直桿，承受拉力P=100kN，已知材料屈服強度fy的均值及標(biāo)準(zhǔn)差、桿的直徑均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：用均值一次二階矩法求桿的可靠性指標(biāo)。解題思路：給出極限狀態(tài)方程求偏導(dǎo)，給出均值泰勒展開線性化方程求均值求標(biāo)準(zhǔn)差求可靠性指標(biāo)解：P為常量，fy與d為隨機變量。用極限載荷表示的極限狀態(tài)方程為：，所以有：線性化后的極限狀態(tài)方程為：方程為：由此有：Z的均值：Z的標(biāo)準(zhǔn)差：可靠度指標(biāo)為：另一解法：解：P為常量，fy與d為隨機變量。用應(yīng)力極限狀態(tài)方程來進行求解：有：代入4-1-1得：由此得：Z的均值：Z的標(biāo)準(zhǔn)值：可靠度指標(biāo)為：優(yōu)點是：（1）直接給出，

4、直觀（2）計算簡便，當(dāng)=12時，尤為適用。缺點：由上可以看出，對于同一問題，當(dāng)采用不同的且等效的極限狀態(tài)方程時，將獲得不同的可靠度指標(biāo)，這就是均值一次二階矩法存在的嚴(yán)重問題，即（1）同一失效面，可能有多個等效的失效函數(shù)，（2）取不同的失效函數(shù)，計算得到的可靠度指標(biāo)不同。這是因為對于非線性功能函數(shù)，因略去二階及高階項，故隨著線性化點X0i(i=1,n)到失效邊界距離的增加而使誤差越來越大.由于選用均值點作為線性點，而均值點一般在可靠區(qū)（M）而非失效邊界上，故往往有相當(dāng)大的誤差。4-3 驗算點法一次二階矩為解決均值一次二階矩的問題，將線性化點選在失效邊界上，而且選在于結(jié)構(gòu)最大可能失效概率對應(yīng)的設(shè)計

5、驗算點P*(S*,R*)上。依此得到的方法稱為改進一次二階矩法或驗算點法。該方法是1974年由Hasofer和Lind提出來的，也稱H-L法。定義可靠度指標(biāo)為：在標(biāo)準(zhǔn)化坐標(biāo)系中從原點（均值點）到失效面的最短距離。當(dāng)極限狀態(tài)方程為線性的時候，則 當(dāng)極限狀態(tài)方程為非線性的時候，則必須采用其他的方法來求得，其中最常用的是迭代法。下面介紹的求法。 已知隨機變量 ，對應(yīng)的功能函數(shù)為： 極限狀態(tài)方程為： 將驗算點 作為線性化點，用泰勒級數(shù)展開（一次展開），則有： （4-3-1）Z的均值：由于 在失效邊界面上，因此必有：（4-3-2）（4-3-3）所以4-3-2變成為：Z的標(biāo)準(zhǔn)差：（4-3-4）線性化有：（

6、4-3-5）且：（4-3-6） 表示第i個隨機變量對整個標(biāo)準(zhǔn)差的相對影響，因此稱為靈敏系數(shù)。在已知變量方差下， 可以完全由 確定，并且有：（4-3-7）可靠度指標(biāo)為：整理后有：所以有：（對所有i）（4-3-8）從中可得到驗算點為：（4-3-9）式4-3-9表示n個方程，而未知數(shù)有n+1個，因此需進行迭代求解，迭代公式為：（4-3-6）（4-3-9）（4-3-10）給出迭代過程解法：（1）給定一個值（2）對全部變量Xi，選取設(shè)計驗算點的初值， 一般取均值， 。（3）計算 的值（4）由4-3-6計算 的值。（5）由4-3-9計算新的驗算點 的值。（6）重復(fù)步驟3-5，直到 前后兩次的差值在容許誤差

7、范圍內(nèi)為止。（7）將所得的 值代入4-3-10式計算g值。（8）檢驗 的條件是否滿足，若不滿足，再次給定一個值，并重復(fù)3-7步。（9）再次檢驗 的條件是否滿足，若不滿足，則計算前后兩次和g的各自差值的比值，且令 ，估算新的值，并重復(fù)步驟3-7，直到獲得 為止（10）由 或 計算結(jié)構(gòu)可靠度或失效概率。（11） 的誤差一般要求在0.01之內(nèi)。例題9：已知極限狀態(tài)方程變量f、W均為正態(tài)分布，且: ， 求可靠性指標(biāo)及 f、W 的驗算點值解題思路： 求出 ； 對非線性函數(shù)求各參數(shù)的偏導(dǎo)值 給出 的表達式。 給出 的表達式。 選取可靠性指標(biāo)并進行迭代求解解:（一）：（2）（1）（3）選取=3.0（4）選取

8、驗算點初值（5）計算 的值（6）計算新的驗算點 的值再次代入計算 的值，有：再次計算新的驗算點 的值在此循環(huán)內(nèi)有：第一次第二次第三次第四次3827.808427.3927.355450.377751.0451.120.89940.9310.9340.9350.44720.3650.3560.355 3.03.03.03.0(7)計算 值 ：（二）重新選取=2.5，有：在此循環(huán)內(nèi)有：第一次第二次第三次第四次29.1229.184/51.6051.489/0.9280.928/0.3720.374/ 2.52.5/計算 值 ：（三）令有：在此循環(huán)內(nèi)有：第一次第二次第三次第四次23.1922.852

9、2.81/49.7650.4450.53/0.9490.9520.951/0.3140.3060.305/ 4.24.24.2/計算 值 ：（四）令有：在此循環(huán)內(nèi)有：第一次第二次第三次第四次22.6022.5722.57/50.4950.5250.54/0.9530.953/0.3030.301/ 4.264.264.26/計算 值 ：所以可靠度指標(biāo)為=4.26，驗算點為：總結(jié)一下：1、計算出正態(tài)分布下的數(shù)學(xué)特征。2、給出 和 的表達式。3、選取值和定義4、進入一個小循環(huán)（1）由 公式計算（2）由 公式計算（3）循環(huán)（1） (2)直至 的誤差滿足要求，并計算此時的（4）計算 ，若 則進入下一循

10、環(huán)。5、再次假定一個（若 則應(yīng)增大，若 則應(yīng)減?。２⑷∩弦谎h(huán)的作為此次循環(huán)開始的 值，并進入循環(huán)。（1）由 計算 。（2）由 計算 。（3）循環(huán)（1）(2)，直至 滿足誤差要求，并計算出此時的 值。（4）計算 ，若 則進入下一循環(huán)。6、令 ，并取上一循環(huán)的最后的 作為本次初始 （1）由 計算 。（2）由 計算 。（3）循環(huán)（1）(2)，直至 滿足誤差要求，并計算出此時的 值。（4）計算 ，若 則進入下一循環(huán)。（仍為循環(huán)6）。（5）若 ，則= n+1，驗算點為最后得到的討論一、上面得到的驗算點為在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，在標(biāo)準(zhǔn)化坐標(biāo)系中其值分別為：討論二、用均值一次二階矩方法進行計算：由此可見均值

11、一次二階矩方法進行計算的誤差很大。討論三、由線性化方程直接計算本方程線性化后有：即有：例題10：圓截面直桿，承受拉力P=100kN，已知材料屈服強度fy的均值及標(biāo)準(zhǔn)差、桿的直徑均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：用改進一次二階矩法求桿的可靠性指標(biāo)。解：（1）用極限載荷表示的極限狀態(tài)方程為：由于P=100kN，因此：（2）（3）（4）（5）選取=3，并令： 進行迭代求解，過程如下：第一次第二次第三次第四次第五次3.02.12.12.12.12900025767.52645026517.5265251.01.01.01.01.00.4310.3400.3310.3300.329 3.03.03.03.03.0（6

12、）選取=2.5第一次第二次第三次第四次第五次2.252.252.25/269442682526819/1.01.01.0/0.3480.3490.350/ 2.52.52.5/（7）令進行迭代求解，則有：第一次第二次第三次第四次第五次2.1832.1832.183/266162667026677/1.01.01.0/0.3420.3410.341/ 2.7252.7252.725/（8）令進行迭代求解，則有：第一次第二次第三次第四次第五次2.1842.184/26681.226681.2/1.01.0/0.3410.341/ 2.7202.720/（9）令進行迭代求解，則有：第一次第二次第三次

13、第四次第五次2.1852.185/26681.826681.8/1.01.0/0.34120.3412/ 2.7182.718/所以可靠度指標(biāo)為=2.718，驗算點為：對于驗算點法，只要是等效的狀態(tài)方程，其結(jié)果必然是相同的，從而避免了中心點法的致命問題。在實際工程計算中，驗算點法已作為求解可靠度指標(biāo)的基礎(chǔ)，并有時直接簡稱為一次二階矩法。但是要注意，用一次二階矩法只有在統(tǒng)計獨立的正態(tài)分布變量和線性極限狀態(tài)方程下才能得到精確值，而對于非線性狀態(tài)方程則為近似值。在工程結(jié)構(gòu)中，變量基本都為統(tǒng)計獨立的，但卻不一定是正態(tài)分布，對應(yīng)其他分布變量，則需采用其他方法。GB50068-20011.0.41.0.6

14、1.0.73.0.73.0.83.0.93.0.117.0.24-4 JC法JC法是拉克維茨和非斯萊等人提出來的，它適用于隨機變量為任意分布下結(jié)果可靠度的求解，該法通俗易懂，計算精度又能滿足工程需要，該法已經(jīng)為國際安全度聯(lián)合委員會（JCSS）所采用，故又稱為JC法?；驹硎牵菏紫劝央S機變量Xi原來的非正態(tài)分布用正態(tài)分布替代，但對于代替的正態(tài)分布函數(shù)要求在設(shè)計驗算點X*處的累積概率分布函數(shù)（CDF）值和概率密度函數(shù)（PDF）值都和原來的CDF和PDF值相同，然后根據(jù)這兩個條件求得等效正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，最后采用驗算點法求解結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)。JC法中正態(tài)分布替代原任意分布下面討論如何利用上述

15、當(dāng)量正態(tài)化來求解等效的正態(tài)分布的均值 和標(biāo)準(zhǔn)差 。設(shè)原來驗算點的累積概率為：用來代替的正態(tài)分布驗算點累積概率為：（4-4-1）根據(jù)替代條件，則以上兩個概率相等，即：同時設(shè)原來分布驗算點的概率密度函數(shù)為： 替代的正態(tài)分布驗算點處概率密度函數(shù)為，要求PDF相等，即上述兩式相等，有：（4-4-2）由4-4-1有：（4-4-3）代入4-4-2有：即：（4-4-4）由4-4-3可得：（4-4-5）其中 和 分別代表變量Xi原來的累積概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，和分別代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的累積概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，其值分別查附表1和下式求得：（4-4-6）（4-4-4）（4-4-5）（4-4-6）該三

16、式即為對一般分布的計算公式。當(dāng)分布為正態(tài)分布時，不必用上述公式進行轉(zhuǎn)換，而可以直接將該變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為變換后的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)分布為對數(shù)正態(tài)分布時，則可對上式進行簡化。由前可知：（4-4-7）（4-4-8）又：（4-4-9）式中：（4-4-11）依概率論有：（4-4-9）和（4-4-11）分別為對應(yīng)正態(tài)分布下的Xi的累積概率分布和概率密度函數(shù)，代入（4-4-4）和（4-4-5）得到對數(shù)分布下分布變量Xi的替代正態(tài)分布變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。化簡后得：（4-4-12）（4-4-13）總結(jié)一下：（4-4-12）（4-4-13）（4-4-11）求得替代的正態(tài)分布的均值 和標(biāo)準(zhǔn)差 后，即可用與一次二

17、階矩法大致相同的解法進行求解。下面給出用JC法求解可靠性指標(biāo)的步驟。一、給定一個值，并對全部變量Xi，選取設(shè)計驗算點的初值，一般取均值， 。二、采用公式4-4-4、4-4-5、4-4-6或當(dāng)變量分布為對數(shù)正態(tài)分布時采用4-4-11、4-4-12、4-4-13計算替代正態(tài)分布的均值 和標(biāo)準(zhǔn)差 三、計算 的值四、計算靈敏系數(shù)五、用 新的六、用新的 重復(fù)進行三至五步，直至兩次計算得到的 差值在允許誤差范圍內(nèi)。七、將所得的 值計算g值，當(dāng) 時，則加大值，如 ，則減小值。八、以上次循環(huán)最后的 為新一輪循環(huán)的起始值，重復(fù)二至六步驟。九、計算 的值，若 則再次計算值， 。十、重復(fù)二至九，直至獲得滿足誤差條件

18、的為止。十一、計算可靠度。另一種解法：在步驟七中可采用求解值的另一種算法， 并進行循環(huán)計算，結(jié)果是一樣的。自己編制程序。語言不限，附例題。例題11：某砌體短柱，承受50kN集中力作用，設(shè)砌體承壓抗力為Fu，面積為A，都是隨機變量，其統(tǒng)計量如下：試用JC法求解其可靠性指標(biāo)。解：有兩個隨機變量Fu和A,其統(tǒng)計變量分別為：用內(nèi)力表達的極限狀態(tài)方程為：（一）給出X1和X2 的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)1、由X1為極值I型分布，則有：其中:代入后有：2、X2為對數(shù)正態(tài)分布，即：其中:代入后有：（3）（X2）的表達式為：（4）等效正態(tài)分布函數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:（1）（2）（5）靈敏系數(shù)公式為：由于代入上

19、式有：（6）新的設(shè)計驗算點為：（3）（4）（5）（6）計算時可先假定值，并取 ，并代入（1）、（2）計算 和 ，隨后代入（3）、（4）計算靈敏系數(shù)，并采用（5）、（6）計算新的驗算點，并重復(fù)計算。計算過程從略。 （7）也可采用推導(dǎo)方式獲得計算公式。 將 代入 得：令：則： 4-5 映射變換法 對于結(jié)構(gòu)可靠度分析中的非正態(tài)隨機變量，JC法采用當(dāng)量正態(tài)化的方法將非正態(tài)隨機變量當(dāng)量化為正態(tài)隨機變量，從而應(yīng)用一次二階矩的方法來計算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)。如果采用數(shù)學(xué)變換的方法將非正態(tài)隨機變量變換為正態(tài)隨機變量，問題同樣可以解決。本方法在數(shù)學(xué)上更嚴(yán)格。設(shè)結(jié)構(gòu)中的幾個統(tǒng)計獨立的隨機變量為X1、X2, , Xn，其

20、概率密度分布函數(shù)為fi (Xi)，概率累積分布函數(shù)為Fi(Xi) ，則由這n個隨機變量表示的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為：（1）令 （1a）則： （2）其中： 和 分別為 和 的逆函數(shù)， 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量。 將（2）代入（1）則可得到以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量 表示的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Z，即： 對（1a）式兩端進行微分則有： 于是有結(jié)構(gòu)的失效概率為： 其中： 為由Xi表示的失效域( ), 為由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量 Yi 表示的失效域（ ）。 在將非正態(tài)隨機變量Xi映射為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量Yi后，可以按照一次二階矩的驗算點法進行求解結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo) 。由于Yi為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量,因而有：因此原聯(lián)立方程可以簡化為： 其

21、中：功能函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)由下式計算： 式中： 在驗算點 處計算 在驗算點 處計算對于幾種常用的概率分布，下面分別給出由Yi表示的Xi和 的具體公式： 1、Xi服從正態(tài)分布：2、Xi服從對數(shù)正態(tài)分布：其中：3、Xi服從極值I型分布：4、Xi服從指數(shù)分布：例題11 用映射變換方法求解某構(gòu)件正截面強度計算的極限狀態(tài)方程為：已知：求：及（1）R服從對數(shù)正態(tài)分布，S服從正態(tài)分布（2）R服從對數(shù)正態(tài)分布，S服從極值I型分布解：（1）R服從對數(shù)正態(tài)分布，S服從正態(tài)分 布，則：有：極限正態(tài)方程變?yōu)椋航o出 、 和 的表達式。求解過程如下：（1）令初始驗算點 和 來計算（2）令=4.0277，則求解迭代結(jié)果如下（3）

22、結(jié)果=3.9566，初始值迭代次數(shù)1234YR*- 3.4009- 2.8716- 2.9548- 2.9417YS*2.14852.72442.63142.6460R*10069.8447S*50.069.8447YR0.84540.72550.74680.74350.7440YS- 0.5341- 0.6883- 0.6651- 0.6687- 0.66824.02773.95833.95673.95663.9566（2）R服從對數(shù)正態(tài)分布，S服從極值I型分 布，則：而：極限正態(tài)方程變?yōu)椋航o出 、 和 的表達式。求解過程如下：（1）令初始驗算點 和 來計算（2）令=3.7938，則求解迭代

23、結(jié)果如下（3）結(jié)果=3.2465，初始值迭代次數(shù)123456YR*0- 3.3002- 1.6640- 1.5375-1.5320- 1.5318-1.5317YS*01.87132.79152.85942.86232.86252.8625R*99.287766.914081.37482.613982.668682.670982.6710S*48.767966.914081.37482.613982.668682.670982.6710YR0.86990.51200.47360.47190.47180.47180.4718YS- 0.4932- 0.8590- 0.8807- 0.8817-

24、0.8817- 0.8817- 0.88173.79383.24983.24653.24653.24653.24653.2465對于非正態(tài)隨機變量可靠度問題，由映射變換方法和JC法求得的結(jié)果基本是一致的。從這兩種方法的計算過程的對比可以看出，映射變換法少了JC法的當(dāng)量正態(tài)化過程，但多了映射變換的的過程，因而兩種方法的計算量基本相當(dāng)。JC法采用當(dāng)量正態(tài)化的方法概念上比較直觀，映射變換法數(shù)學(xué)上更嚴(yán)密，因而結(jié)構(gòu)可靠度進一步的理論分析可采用映射變換法將非正態(tài)隨機變量變換為正態(tài)隨機變量。 4-6變量分布截尾下的 JC法一、截尾分布在實際工程問題中，隨機變量的分布往往有截尾的特點，而且對于不同變量其截尾特

25、征不同，比如材料的抗拉強度、抗壓強度、摩擦系數(shù)、凝聚力、被動土壓力等變量不能小于0，尺寸不得小于0。再如壩體設(shè)計中上游水位不能高于壩體本身，這些分布最終都會是截尾分布。對于JC法，它對隨機變量的要求是由完整的分布（- ），也即是說變量分布應(yīng)有尾巴，然后才能對隨機變量進行當(dāng)量正態(tài)化，繼而可在變量正態(tài)分布基礎(chǔ)上用一次二階矩法計算結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)，因而帶有截尾分布的 隨機變量不能直接應(yīng)用JC法，而必須進行處理。設(shè)隨機變量 X，其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差 ，概率累積分布函數(shù)為 ,概率密度函數(shù)為 ，在位置X處為截尾分布（分為左截尾或右截尾），如圖所示，則在截尾后概率密度函數(shù)應(yīng)進行處理，處理后累積概率分布函數(shù)和概

26、率密度函數(shù)分別用 和 來表示。左截尾下有：右截尾下有：（1）原概率密度分布函數(shù)（2）截尾后概率密度分布函數(shù)將 向左或向右延長，如虛線部分，對于左截尾分布，由于曲線延長而增加了面積 由：因此有：此時延長后的 曲線其積分（概率累積分布函數(shù)）是大于1的，即 ，且而該大于1的面積部分在進行可靠性分析計算時應(yīng)扣除，此外，由于實際分布中不可能有 （左截尾）的情況，因此，在運算中凡是 的一切數(shù)值均表達為且 為一足夠小的量。對于右截尾，則 的計算公式為：由于延長尾部而增加的面積為：由于實際運算中不允許有 的情況，（右截尾），因此，在運算中凡是 時，令 ， 且有 和 為一足夠小的量。 為一足夠小的量。將有關(guān)計算

27、公式列出：（1）左截尾下： 1）當(dāng)驗算點 時，變量分布公式為：（4-6-1） 2）當(dāng)驗算點 時，變量分布公式為：（4-6-2）（2）右截尾下： 1）當(dāng)驗算點 時，變量分布公式為：（4-6-3） 2）當(dāng)驗算點 時，變量分布公式為：（4-6-4）二、截尾分布在JC法中的應(yīng)用JC法計算可靠度指標(biāo)的關(guān)鍵在于對于一般變量分布進行當(dāng)量正態(tài)化，設(shè)變量的截尾分布函數(shù)分別為 和 ，則可用公式：進行當(dāng)量正態(tài)化，一求得當(dāng)量狀態(tài)分布的均值 和標(biāo)準(zhǔn)差 。在計算時， 和 只要根據(jù)X*同XP的關(guān)系，分布以及左或右截尾，選用4-6-1至4-6-4中的 和 代入，即可求得 和 ，然后用一次二階矩方法求得 例題13：對極限狀態(tài)方

28、程Z=3X1- X2 = 0 選取不同的XP值，求解可靠度指標(biāo)與截尾XP的關(guān)系 ，設(shè) X1，X2的分布分別為：X1 ：對數(shù)正態(tài)分布 ，X2 ： 極值型，要求對X1進行左截尾，對X2進行右截尾，用截尾JC法算得結(jié)果如下表，在無截尾下用JC法求得的為2.927.X1PX2PX1P，X2P222.961703.18522,803.023202.930753.04520,852.946182.928802.97218,902.932162.9271002.92716,1002.928由表中數(shù)據(jù)可知，1、當(dāng)X1P從2216變化時，則由2.9612.927，同樣是由大變小。這是因為左截尾截去了作為抗力的X

29、1的左尾部，也即不安全部分，從而使值增大。而且截掉的XP值越大，則值越大。當(dāng)X1P=16時，由于離均值30已很遠，因此對可靠度影響已不大。2、當(dāng)X2P從70100變化時，由3.1852.927，是由大到小。由于截去了作為載荷效應(yīng)的右尾部，即可能出現(xiàn)的大值（即不安全部分），從而使值增大，而且截掉的X2P值越?。ń氐舻奈膊吭酱螅?，則值越大，當(dāng)X2P =100時，由于離均值已很遠，因此對可靠度影響已不大。3、當(dāng)X1采取左截尾，X2右截尾，即同時截去X1、X2的不安全部分，則值必然提高，而且隨著兩個XP之間的 距離的減小，值升高。從2.9283.023，當(dāng)兩個XP均遠離均值時，則影響不大。4、以上也說

30、明，在一般情況下，由于截尾均離均值較遠，因此對可靠性指標(biāo)影響不大，所以在一般計算可靠指標(biāo)時，不計截尾的影響。 4-7 變量相關(guān)下結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計算 在工程實際中基本隨機變量常常是相關(guān)的 ，變量間的相關(guān)性會影響可靠度指標(biāo)的值，因此討論基本變量相關(guān)情況下 可靠指標(biāo)的計算具有非常重要的 意義，本節(jié)只做簡單的介紹。、變量相關(guān)設(shè)隨機變量X1和X2，其均值為X1和X2，X1和X2的相關(guān)性可用相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差來確定。相關(guān)系數(shù)：協(xié)方差：當(dāng)只有兩個變量時：相關(guān)系數(shù)：協(xié)方差：下面用矩陣方法討論協(xié)方差。設(shè)有n個隨機變量X1，X2，Xn，用向量表示為X=（X1，X2，Xn）T，其協(xié)方差矩陣CX則可表示為：其中：顯然，

31、若任意兩個變量均不相關(guān)時，則Cx為一對角矩陣，對角線上的元素即為方差二、如何將一組相關(guān)變量化為不相關(guān)的變量設(shè)有變量X=（X1，X2,，Xn）T為一組相關(guān)的隨機變量，與之相對應(yīng)則有變量Y=（Y1，Y2,，Yn）T是一組不相關(guān)的隨機變量，其中Yi是變量X1，X2,，Xn的線性函數(shù)，且Yi間是互不相關(guān)的。由線性代數(shù)，采用適當(dāng)?shù)淖儞Q，可使相關(guān)的X化為一組不相關(guān)的變量Y。該變換為：其中： 為正交矩陣，其列向量為 的規(guī)格化正交特征向量。此時Y的協(xié)方差矩陣即為對角矩陣：并且有： 的對角元素就等于 的特征值。例14、設(shè)隨機變量X1，X2，其均值為：協(xié)方差矩陣為：求 陣、 陣和Y。解：（1）求 的特征值： 的特征方程為：因此有：即：解得特征向量為：（2）求 的正交規(guī)格化特征向量：當(dāng) 時：歸一化后有：解得特征向量為：同理當(dāng) 時：歸一化后有：（3）轉(zhuǎn)換矩陣則為：（4）Y則為：即：（5）Y的均值為：（5）Y的協(xié)方差矩陣為：也可采用下式計算：三、 可靠度指標(biāo)的計算 當(dāng)基本正態(tài)變量X=（X1，X2，Xn）T相關(guān)時，第一步工作就是按二的方法得到一組不相關(guān)的變量Y=（Y1，Y2，Yn）