如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)之排列組合

1、排列組合在高中是非常重要的一章（哪怕高考考得不多），因為這一章是概率論的基礎(chǔ)。無論同學(xué)們以后從事什么職業(yè)，概率論都是非常有用的一個學(xué)問。如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)排列組合這部分的內(nèi)容？畢竟富貴險中求，而風(fēng)險管理（riskmanagement）就是和概率息息相關(guān)的學(xué)問了，我將在下一篇“如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)概率論”的文章中探討下我認(rèn)為的成功三要素，結(jié)論和你們多數(shù)人想象的出入很大。事實上，排列組合這一章很多同學(xué)都抱怨很困難，特別容易出錯。實際上，出現(xiàn)這個的原因很大程度上是現(xiàn)有的很多教材在描述加法原理和乘法原理（特別是后者）是有問題的，因此導(dǎo)致同學(xué)們在沒有滿足適用條件的情況下胡亂使用這兩個原理，從而導(dǎo)致解題錯誤。不

2、信？先解幾道題吧：如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)排列組合：例題有4位學(xué)生各寫一張賀卡，放在一起，然后每人從中取出一張，但不能取自己寫的那一張賀卡，不同的取法有（）種？9121624（2017浙江高考）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）（2010天津高考）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用（）A.288種B.264種C.240種D.168種答案分別為：1.A2.6603.B你做對了嗎？如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)排列組

3、合：例題解析在講解這幾題之前，我們先把加法和乘法原理好好解釋清楚：無論是加法原理(additionprinciple)還是乘法原理(multiplicationprinciple)都是計數(shù)法(countingmethod)的基本原理。計數(shù)法，顧名思義，就是基本的數(shù)數(shù)-我們一開始接觸數(shù)學(xué)就知道的事情。例如，下圖有多少個圓？我希望同學(xué)們別忘了這個幼兒園孩子也會的計數(shù)法：當(dāng)計數(shù)量不大的時候，我們可以把每一個元素寫下來，像個孩子一樣去數(shù)數(shù)。當(dāng)計數(shù)量很大，這時一個一個一個的數(shù)顯然不現(xiàn)實(當(dāng)然，可以編程交給計算機(jī))因此我們需要加法原則和乘法原則，乃至更多的計數(shù)法定理的幫助。加法原則(AdditionPri

4、nciple):若我們有：A（1）X=ArUA2JA3UU百壯屮（2）ACAj=0,t#=jfirj1Zm屮那么：卩Ml=Mil+1血1+、:跌刼數(shù)育因此在求解計數(shù)問題的時候，運用我們的第三招“盯住目標(biāo)”聯(lián)想到加法原理，記住核心就是分類。現(xiàn)在我們來回過頭來看看第一題：1.有4位學(xué)生各寫一張賀卡，放在一起，然后每人從中取出一張，但不能取自己寫的那一張賀卡，不同的取法有（）種？9121624首先，一樣的，我們討厭“中文”，把其翻譯為數(shù)學(xué)語言（第一扌i我們稱這4個學(xué)生為咚他們所寫的賀卡分別是乩血抵接下來，盯住目標(biāo)目標(biāo)是計數(shù)因此聯(lián)想到加法原理或者乘法類（為什么乘法原理的本質(zhì)也是分類？別急，下面馬上就講

5、，因此我們根據(jù)第一個學(xué)生勿的選擇分類了由于他可以且僅可以可以分成3類。a在第一類中（吐選擇了Q我們接著按照第二個學(xué)生也的選擇另此類推，我們可以畫岀下表：卩第一行：第一個學(xué)生選擇了防,第二個學(xué)生血選擇了坊，這時善賀卡里面選，由于不能選在自己的血，因此只能選擇血，第四個第二行：第二個學(xué)生選擇了坊.這時第三個學(xué)生只能在如4兩張選擇了兀第四個學(xué)生只能選擇血而這是不允許的，因此畫了以此類推這個表實際上就是一個反復(fù)分類的過程，分類的過程中我們保證了無遺漏，無重疊，最后我們有9種分配方法。這是一個很好的考察加法原理的題目，關(guān)鍵就在于考察考生是否理解了加法原理和乘法原理的核心就是分類。如果你做錯了，好好分析為

6、什么做出了，你滿足了使用加法原理的條件了嗎？接下來我們來看乘法原理（MultiplicationPrinciple）:你們的教科書上一般是這樣描述的：如果完成一件事情需要m個步驟，第1步有旳中不同的方法，第22第TH步有Tt機(jī)中不同的方法，那么完成這件事情有N=血02知J我接下來用兩個例子來闡明這種描述的問題：例1從4個不同的小球aifa2la3la4中取出3個放成一排每一戲小球的順序不同視為不同的“排”，一共有多少種不同的“排”（1我們直接套用上面描述的乘法原理：第1步：取第1個球，有4種方法第2步：取第2個球，由于剩下3個球，有3種方法第3步：取第3個球，由于剩下2個球，有2種方法因此總共

7、有：種方法，即24種不同的“排”。這個答案是正確的，我們接著看例2例2從4個不同的小球alfa2fa3ja4中取岀3個放成一堆（每一不考慮順序），不考慮小球的順序（只要是相同3個小球就視為同-的小球（這里的堆“就是組合）？a我們做這件事情的方法還是一樣的呀：第1步：取第1個球，有4種方法第2步：取第2個球，由于剩下3個球，有3種方法第3步：取第3個球，由于剩下2個球，有2種方法因此總共有：種方法，即24種不同的“堆”。這個答案明顯是錯誤的，最起碼的，由于不考慮順序，“堆”的種類一定比“排”的種類要少，而不可能相等。那么這種解法錯在哪兒？我們一字不差的使用教科書上的乘法原理呀？事實上，同學(xué)們要記

8、做，在數(shù)學(xué)上，乘法就是加法來定義的法則，即乘法就是加法。例如+3因此，在我們使用乘法原理的時候，事實上也是一個分類的過程，而這兩個條件1）無遺留2）無重疊也必須要滿足，這是使用乘法原理的前提！這就是很多同學(xué)在使用乘法原理的時候經(jīng)常出錯的原因所在，不怪你們，教科書的編排是有問題的。我們用這兩個例子說明：在使用乘法原理的時候，我們實際上是在分類-我們把“排”和“堆”分類第一步有4種方法”實際上就是說，我們把“排”和“堆”分成4類，如下圖對于“排”而言，當(dāng)?shù)谝粋€球不同的時候，由于順序很重要，一:4類中的任意2類之間都沒有重疊，因此我們可以使用乘法原則!而對于“堆”而言，當(dāng)?shù)谝粋€球不同時候，由于不考慮

9、順序，可1類中的uaxa2a和第二類中的aa2ara代表同一“堆”,因止不能這樣使用乘法原則！心我們只有設(shè)有壯個不同的“堆，而每一個“堆”有門（有的教材因此有，24=71XP?=6nn%=4屮理解了乘法原理的使用條件，我們接下來可以看看后面兩道高考題：2.（2017浙江高考）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）思路：首先仍然是第一招翻譯：我們川alra2,a3,a4,a5ra6代表著6個男生,bvb2代表這兩個女生而目標(biāo)是求不同選法的個數(shù)-即計數(shù)問題。利用第三招，盯住目標(biāo)，聯(lián)想加法原理或乘法原理

10、。而無論是用加法原理還是乘法原理，核心都是分類，這題的條件之一就是服務(wù)隊至少有1名女生，我們由此入手分類：第一類：服務(wù)隊有且僅有1個女生第二類：服務(wù)隊有且僅有2個女生這兩類包含了滿足條件的所有情況（無遺漏），而且這兩類之間無交集（無重疊）因此我們可以利用加法原理。對于第一類，我們可以先選服務(wù)隊的女生，由于女生不同服務(wù)隊一定不同（無論剩下的男生如何選），因此一定是不同的選法，我們復(fù)合無重疊的條件，因此可以使用乘法原理：選岀女生有2種方法，從剩下的6個男生選出3個人加入服務(wù)隊:的4個人中選出隊長有4種方法，選出副隊長有弓種方法，剩f法，因此根據(jù)乘法原理有：2x20 x4x3x1=480種方法。心對

11、于第二類，我們同樣先選2個女生加入服務(wù)隊，有空=1種方%2個人加入服務(wù)隊有空=15種方法，從剩下的4個人中選出隊長長有3種方法，剩下的2人為普通隊員1種方法，因此根據(jù)乘法原1180種方法口屮因此根據(jù)加法原理，兩類一共660種方法。你做對了嗎？如果做錯了，好好分析為什么做出了，你滿足了使用加法原理和乘法原理的兩個條件了嗎？AEFCB3.（2010天津高考）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用（）A.288種B.264科】C,240種D；,鈍轡種思路：這題可以有至少3種不同的解法,因為篇幅的關(guān)系,

12、我這里寫一種和標(biāo)準(zhǔn)答案不同的。還是我們的第一招，翻譯：我們設(shè)這4種顏色分別為他咚呦屈這題的目標(biāo)是不同的涂色方法的個數(shù)，還是計數(shù)問題）因此棍據(jù):法原理和乘法原理，其本質(zhì)還是分類口那么如何分類呢？心首先，AtEfD三點在一個三角形內(nèi)f因此根據(jù)條件，這三點應(yīng)該:相同（因為標(biāo)注了不同的字母九因此幾EQ的不同涂色方案，3一定代表著不同涂色方案-無重疊因此我們可以使用乘法丿擰（毎）=4x3x2=24科涂色方案口d其中一種例如，AfEfD分別涂上ss心三種顏色（如下圖），（偽）那么F只可能在043衛(wèi)4三種顏色中選擇-紅緩劈渙:FB我們可以得出上圖，稍微解釋一下，例如當(dāng)F的顏色是燈時，這時隹因此可以是如砌S其中若E的顏色取了如那么f的顏色不能和此只能為業(yè).同學(xué)們應(yīng)該可以