流體力學流力lecture

1、第十四章 旋渦運動基本理論本章主要內容：1.旋渦運動的基本概念3.旋渦的誘導速度場2.速度環(huán)流和斯托克斯定理4.二元旋渦的速度分布和壓力分布5.卡門渦街14-1 旋渦運動的基本概念1.渦線 流場中的渦線是一條空間曲線，在同一瞬時，該曲線上各點的平均旋轉角速度矢量 與該曲線相切，見圖5-1。與流線類似，在定常流場中，渦線的形狀保持不變，在非定常流場中，渦線的形狀是變化的。同一瞬時流場中的渦線不可能相交。 用推導流線微分方程同樣的方法可以推出渦線微分方程為2.渦管 在旋渦場中通過任一封閉曲線（不是渦線）上的每一點作渦線，這些渦線所形成的管狀表面稱為渦管，見圖5-2。 截面積趨于無限小的渦管，稱為渦

2、索。有限大小渦管的旋渦強度為式中S為渦管的橫截面積。14-2 速度環(huán)流和斯托克斯定理 速度環(huán)流和旋渦強度是兩個獨立的概念，速度環(huán)流是在流場中速度沿封閉曲線的積分，而旋渦強度存在于旋渦運動中。只是在旋渦場中，速度環(huán)流和旋渦強度存在數(shù)量上的等量關系，因此，在有旋場中可以用速度環(huán)流來度量旋渦強度的大小。一 、速度環(huán)流 如下圖所示，在流場中任取一條封閉曲線C，在曲線上取一微元有向線段dl,v在dl方向上的投影為二 斯托克斯定理定理：沿任意封閉曲線C的速度環(huán)流 等于通過以該曲線為邊界的曲面S的旋渦強度J的兩倍。或：首先以最簡單的情況，對斯托克斯定理加以說明。在xoy面上取一微元矩形，如下圖所示，圖中箭頭

3、的方向為速度環(huán)流積分路徑的方向，繞其周線的速度環(huán)流為根據(jù)速度分解： dS為微元矩形的面積，dS=dxdy。這就是說微元積dS上的旋渦強度的兩倍，等于其周線上的速度環(huán)流。下面將坐標面內的平面問題推廣到三維空間中的任意平面，如下圖所示是一空間微元三角形。以ABCA為周線的微元面積為dS，在其周線上的速度環(huán)流是下面對有限的空間曲面，說明斯托克斯定理的正確性，取如下圖中的任意空間曲面S，其周線為封閉曲線C。首先將面積S分成若干塊微元面積，在微元面積dS上應用上式得在面積S上積分得當封閉曲線所包圍的區(qū)域內有物體的時候，封閉曲線C已不能再收縮到一點，這就是復連域的情況。實際問題中有許多情況都是這樣的。這時

4、必須首先將復連域化成單連域，處理的方法如圖5-8所示。假設在AB處將域切開，形成相鄰的兩個界面AB，DE。這樣，由封閉曲線ABCDEFA所包圍的面積就轉化成了單連域，應用斯托克斯定理，14-3 旋渦運動的基本定理一 湯姆遜（w. Thomson）定理 定理：如果質量力有勢，流體是理想的，而且是正壓的，那么始終由相同的流體質點所組成的封閉曲線上的速度環(huán)流不隨時間而變。即將上式中的三個方程式相加得 (a)根據(jù)歐拉運動微分方程，上式右端前三項可寫為 (b)右端第四項為 (c)式中的U為單位質量力的力勢。將式（b）和式（c）代入式（a）中，得將式（d）沿封閉曲線C積分，且左端交換積分與微分次序，得即這

5、是因為函數(shù)U 都是單值連續(xù)函數(shù)，所以沿封閉曲線的積分為零。這樣就證明了湯姆遜定理。根據(jù)湯姆遜定理和斯托克斯定理，在理想流體中，有旋運動不可能轉變?yōu)闊o旋運動，無旋運動也不可能轉變?yōu)橛行\動。即旋渦不生不滅。實際上真實流體中旋渦既能產(chǎn)生，也能消失。但在粘性力影響較小時，為了分析問題的方便，可以近似認為滿足湯姆遜定理，速度環(huán)流和旋渦強度都保持為常數(shù)。亥姆霍茲第二定理：如果質量力有勢，流體是理想的，正壓的，則構成渦管的流體質點始終構成渦管。如下圖所示，在渦管壁上任取一封閉曲線C，應用斯托克斯定理得根據(jù)湯姆遜定理所以 始終為零。這就是說渦管表面始終是渦管表面。從而證明了定理。 亥姆霍茲第三定理：如果質量

6、力有勢，流體是理想的，正壓的，則渦管的旋渦強度不隨時間而變。這可以由湯姆遜定理和斯托克斯定理很容易證明。14-4 旋渦的誘導速度場 旋渦運動引起周圍流體產(chǎn)生運動，其速度稱為誘導速度，誘導速度的大小，由畢奧薩伐爾定律決定。下面應用畢奧薩伐爾定律分析直線渦索的誘導速度場，如圖所示，直線渦索AB在距渦索垂直距離為R的P點所引起的誘導速度為式中代入上式可得當AB為無限長渦索時則無限長直線渦索所引起的誘導速度場，在與渦索垂直的平面內，可用極坐標表示為這是點渦的誘導速度場。這一速度分布在前面已經(jīng)分析過，是無旋運動。這就是說，雖然旋渦本身是有旋的，但其誘導速度場卻是無旋場。14-5 二元旋渦的速度分布和壓力

7、分布以垂直于旋渦軸線的面為坐標平面，則流動是二維的。其速度分布在本章第二節(jié)已經(jīng)討論過下面討論流場中的壓力分布。在旋渦區(qū)的邊界上，邊界條件為則有當rr0時，流動是有旋的。因為流線是同心圓，不能應用伯努利方程求不同流線間的壓力分布，亦不能應用拉格朗日積分式。由第二章2.7節(jié)可知，液體整體繞中心軸旋轉，其壓力由外向內逐漸降低，由旋渦邊界r=r0到旋渦中心r=0，降低的量值為所以在 區(qū)域，有因此在旋渦中心r=0,v=0，故旋渦中心的壓強達到最小值整個流場的壓力分布如圖所示。在旋渦內部愈靠近中心，v愈小，p也愈小。這樣旋渦中心就產(chǎn)生一個吸力，外圍的物體被卷吸向中。14-6 卡門渦街 實驗指出，當流體以勻速流過圓柱，在速度比較小的時候，產(chǎn)生兩個上下對稱的粘附在圓柱體后面的旋渦。當水流速度增大，這對上下對稱的旋渦開始交錯脫落，在水流方向上形成排列有序的渦街。渦街中上下兩列旋渦旋轉方向相反，旋渦強度相同