山西省太原市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略-幾何分冊(cè)第23章角元形式的梅涅勞斯定理

1、=-1.第23章角元形式的梅涅勞斯定理AB所在直線（包括三第一角元形式的梅涅勞斯定理設(shè)A、B、C分別是ABC的三邊BC、CA、邊的延長(zhǎng)線）上的點(diǎn)，則A、B、C共線的充要條件是sinZBAAsin厶ACCsinZCBBsinZAACsinZCCBsinZBBABASAB-sinZBAA證明如圖23-1，由=ABA=ACSAC-sinZAACAAC圖23-1CBBC-sinZCBB及=BAAB-sinZBBAAC=ACsinZACCCB一BCsinZCCB這三式相乘，運(yùn)用梅涅勞斯定理及其逆定理，知結(jié)論成立AB所在直線上的點(diǎn),第二角元形式的梅涅勞斯定理設(shè)A、B、C分別是ABC的三邊BC、CA、點(diǎn)O不

2、在ABC三邊所在直線上，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是sinZBOAsinZCOBsinZAOCsinZAOCsinZBOAsinZCOB證明如圖23-2注意到sinZBOAsinZAOCOCBASBAnisZCB其中BOA），OBACSACnisZBAAOCOACBsinZAOCOBACOCBAsinZCOBOACB所以gAsn仝竺sinZAOCsinZBOAsinZCOBBACBACACBACB而由梅涅勞斯定理及逆定理知A、B、C共線-ACCACB=1故知結(jié)論成立注：在上述兩定理中，若采用有向角（規(guī)定角的終邊繞逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)角為正值，否則為負(fù)值）時(shí)，兩條件式的右端均為-1，有向角記為.下面

3、給出運(yùn)用如上定理處理問(wèn)題的例子例1如圖23-3，設(shè)ABC的三邊BC、CA、AB所在的直線圖23-3上的點(diǎn)D、E、F共線，并且直線AD、BE、CF關(guān)于ZA、ZB、ZC平分線的對(duì)稱直線AD、BE、CF分別與BC、CA、AB所在直線交于D、E、F，則D、E、F也共線.證明對(duì)ABC及截線FED應(yīng)用第一角元形式的梅涅勞斯定理，有sinZBADsinZCBEsinZACFsinZDACsinZEBAsinZFCB由題設(shè)知，ZCAD=ZBAD，ZDAB=ZDACZEBC=ZEBA.sinZCADsinZABEsinZBCF從而有=1，sinZDABsinZEBCsinZFCAZBCF=ZACF，ZFCA=Z

4、FCB，ZABE=ZCBE，sinZBADsinZCBEsinZACF1-=1.sinZDACsinZEBAsinZFCB故有沁型DsinDACsinCBEsinAZFsinEBAsinFCB圖23-4cos1ZA2cos1ZB2cos2ZC-cos1ZA2-cos丄ZB2由第一角元形式的梅涅勞斯定理知，D、E、F三點(diǎn)共線.例2若三角形的三條外角平分線皆與對(duì)邊所在直線相交，則三交點(diǎn)共線.證明如圖23-4，設(shè)ABC的三條外角平分線分別與對(duì)邊所在直線相交于D、E、F，則知1(1)1(1)BAD=90。+ZA,DAC=-,CBE=90。+ZB,EBA=-2I2丿2I2丿ACF=-90。一1Zc,FC

5、B=90。+1ZC.2丿2故D、E、F三點(diǎn)共線.例3分別過(guò)三角形的三頂點(diǎn)作其外接圓的切線，證明：若三切線皆與其對(duì)邊所在直線相交，則三交點(diǎn)共線圖23-5證明設(shè)過(guò)AABC的三頂點(diǎn)A、B、C的切線與對(duì)邊BC、CA、AB所在直線分別交于D、E、F.則弦切角定理口BA=D厶口DAC=ZC+ZA=180O-ZB,口CBE=-ZA,口EBA=ZA+ZB=180ZC,口ACF=ZC+ZA=180ZB,口FCB=-ZA.故有sinBADsinCBEsinACFsinDACsinEBAsinFCB-sinC-sinAsinB=-=-1.sinBsinC-sinA故D、F、E三點(diǎn)共線.例4在箏形ABCD中，AB=A

6、D,BC=CD，過(guò)BD上一點(diǎn)P作一條直線分別交AD、BC于E、F,再過(guò)點(diǎn)P作一條直線分別交AB、CD于G、H.設(shè)GF與EH分別交BD于I,J.求證：旦=巴.PBPD證明如圖23-6,過(guò)B作AD的平行線交直線EF于E，再過(guò)B作CD的平行線交直線GH于H，則ZEBP=ZEDP=ZPBG，ZHBP=ZHDP=ZPBF，進(jìn)而ZHBG=ZHBP=ZGBP=ZPBF-ZPBE=ZEBF，所以sinZPBHsinZGBIsinZFBEsinZHBGsinZIBFsinZEBP=sinZFBPsinZGBPsinZFBEsinZEBFsinZPBFsinZPBG使H、I、E分別為APGF三邊所在直線上的點(diǎn)，且

7、點(diǎn)B不在APGF三邊所在直線上，由第二角元形式的梅涅勞斯定理，即知H、I、E三點(diǎn)共線.于是，由PBEPDE，PHBPHD，有EHEH.因此，PI=PEPBPJ_PE_PD故旦=PBPJPD注：當(dāng)PB=PD即P為BD中點(diǎn)時(shí)為1989年的冬令營(yíng)選拔賽題.例5設(shè)厶ABC為非直角三角形，AD、BE、CF為三邊上的高，D、E、F為垂足，過(guò)ABC的垂心H分別作邊BC，CA，AB的平行線與直線EF、FD、DE對(duì)應(yīng)相交于P、Q、R求證：P、Q、R三點(diǎn)共線證明如圖23-7，有口EHP=口HB,C口PHF=口HCB，F(xiàn)HQ=BCA，QHD=HAC，DHR=HAB，RHE=HBA.從而PsinEHPsinFHQsi

8、nDHRsinPHFsinQHDsinRHEsinHBCsinHCAsinHABsinHCBsinHACsinHBAsinHBCsinHCAsinHABsinBCHsinCAHsinABHHCHAHB1HBHCHA因厶ABC為非直角三角形，點(diǎn)H不在ABC三邊上，故由第二角元形式的梅涅勞斯定理知P、R、Q三點(diǎn)共線.例6設(shè)E、F分別為四邊形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，BF與DE交于點(diǎn)P.求證：ZBAE=ZFAD，則ZBAP=ZCAD.證明只需證明：當(dāng)AF關(guān)于ABAD的等角線交BE于P時(shí)，B、P、F共線即可，如圖23-8所示.圖23-8事實(shí)上，B、P、F分別為ACDE三邊所在直線上的三點(diǎn)，A不在其

9、三邊所在直線上，而FAD_-EAB，DAP-BAC，PAE-CAF.sinEABsinCAFDAP.故_-1.sinBACsinFADsinPAE故由第二角元形式的梅涅勞斯定理，知B、P、F三點(diǎn)共線.注：注AC平分ABAD時(shí)，即為1999年全國(guó)高中聯(lián)賽題.例7設(shè)P為厶ABC所在平面上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA的垂線交直線BC于D，作PB的垂線交直線CA于E，作PC的垂線交AB于F.求證：D、E、F共線.C證明當(dāng)點(diǎn)P在厶ABC的某邊所在直線上時(shí)，結(jié)論顯然成立.下設(shè)點(diǎn)P不在ABC的邊所在直線上，貝yBPD=90。-口APB，口DPC=90。-口CPA，口CPE=90?？贐PC，口EPA=90?？贏PB，口

10、APF=90?？贑PA，口FPB=90。口BPC.sinBPDsinCPEsinAPF是,sinDPCsinEPAsinFPBcosAPBcosBPCcosCPAcosCPAcosAPBcosBPC故由第二角元形式的梅涅勞斯定理，知D、F、E三點(diǎn)共線.練習(xí)題二十三0四邊形ABCD的對(duì)角線交于O，在直線AC上取一點(diǎn)E，設(shè)DE交AB于F，F(xiàn)O交CD于G，BG交CO于H，BE交AD于I，DH交BC于J,證明：I、O、J三點(diǎn)共線.設(shè)ABC與厶ABC的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)O,D、E、F分別為ABC的三邊所在直線上的點(diǎn)，直線OD、OE、OF分別交ABC的三邊BC，CA，AB所在直線于D、E、F.求證:D

11、、E、F三點(diǎn)共線的充分必要條件是D、E、F三點(diǎn)共線.D設(shè)P為厶ABC所在平面上一點(diǎn)，D、E、F分別為ABC的三邊BC、CA、AB所在直線上的三點(diǎn)，PD關(guān)于ZBPC的等角線交BC于D，PE關(guān)于ZCPA的等角線交CA于E，PF關(guān)于ZAPB的等角線交AB于F，則D、E、F三點(diǎn)共線的充分必要條件是D、E、F三點(diǎn)共線.蕭振鋼再談Menelaus定理的第二角元形式J中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007(9)：16-18.EPAFC設(shè)AABC的外心為O,AOAB與AOCA的垂心分別為H、H，直線HH交BC于D，求證：1212AD丄BC設(shè)PABC的頂角A的外角平分線上一點(diǎn)，ABAC的兩條等角線分別交直線PB、PC于E、F,EF與BC交于D，則AD平分ZBAC.圓內(nèi)三弦AD、BE、CF交于一點(diǎn)O、P為圓周上一點(diǎn)，直線PD、PE、PF分別交直線BC、CA,AB于L、M、N，求證：O、L、M、N四點(diǎn)共線.L7.（