高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（課件）高二

1、3.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程激趣誘思知識點撥今日美國2018年12月9日報道,“天文愛好者們即將看到一個驚喜,名為46P/Wirtanen的彗星,即將成為1950年以來最接近地球的10顆彗星之一.46P/Wirtanen會在美國時間12月16日最接近地球.屆時,這顆彗星將“僅”距離地球710萬英里(從天文的角度來說,這已經(jīng)很近了).在此期間,這顆彗星應(yīng)該肉眼可見.”天文學(xué)家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時間呢?原來,這顆彗星運行的軌道是一個橢圓,通過觀察它運行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù),可以推算出它的運行軌道的方程,從而算出它運行的周期及軌道的周長,預(yù)測它接近地球或離去的時間.激趣誘思知識點撥一、橢圓的定義

2、1.定義我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的一半稱為半焦距.2.定義的集合語言表述集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|.名師點析在橢圓定義中,要求常數(shù)必須大于兩定點F1,F2之間的距離,這是橢圓定義中非常重要的一個條件,可以驗證:如果這個常數(shù)等于兩定點F1,F2之間的距離,動點的軌跡將是一條線段;如果這個常數(shù)小于兩定點F1,F2之間的距離,動點的軌跡將不存在.因此在根據(jù)橢圓定義判斷動點的軌跡時,務(wù)必注意這一隱含的條件.激趣誘思知識點撥微練習(xí)下列說法中,正確的是

3、()A.到點M(-3,0),N(3,0)的距離之和等于4的點的軌跡是橢圓B.到點M(0,-3),N(0,3)的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓C.到點M(-3,0),N(3,0)的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓D.到點M(0,-3),N(0,3)的距離相等的點的軌跡是橢圓答案:C激趣誘思知識點撥二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 000激趣誘思知識點撥名師點析1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是指當(dāng)橢圓在標(biāo)準(zhǔn)位置時的方程,所謂標(biāo)準(zhǔn)位置,就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原點,橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸.激趣誘思知識點撥(2)已知a=5,c=2,焦點在y軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析:(1)因為106,所以焦點在x軸上,且a2=10,b2=6,所

4、以c2=10-6=4,c=2,故焦點坐標(biāo)為(2,0)和(-2,0).激趣誘思知識點撥探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.待定系數(shù)法例1根據(jù)下列條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經(jīng)過點(5,0);(2)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);思路分析:(1)設(shè)出焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)條件求出a,b的值,即可求得方程;(2)設(shè)出焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)條件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦點位置不確定,可以分兩種情況分別求解,也可直接設(shè)所求橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0,mn).探究

5、一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟橢圓方程的求法1.利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟如下:(1)先確定焦點位置;(2)設(shè)出方程;(3)尋求a,b,c的等量關(guān)系;(4)求a,b的值,代入所設(shè)方程.2.當(dāng)焦點位置不確定時,可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(mn,m0,n0).因為焦點位置包括焦點在x軸上(mn)兩種情況,所以可以避免分類討論,從而簡化運算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1根據(jù)下列條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)經(jīng)過點(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共

6、同的焦點. 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.定義法例2一個動圓與圓Q1:(x+3)2+y2=1外切,與圓Q2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求這個動圓圓心的軌跡方程.思路分析:兩圓相切時,圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān),由此可以找到動圓圓心滿足的條件等式.解:兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為R,由題意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,|MQ1|+|MQ2|=10|Q1Q2|=6.由橢圓的定義可知點M在以Q1,Q2為焦點的橢圓上,且a=5,c=3,b2=a2-c2=25

7、-9=16.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.若動點軌跡滿足橢圓的定義,則根據(jù)橢圓的定義來確定a,b,c,從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,這種求軌跡方程的方法稱為定義法.2.一般步驟:(1)將條件轉(zhuǎn)化為到兩定點的距離之和為定值(該定值大于兩定點之間的距離);(2)判斷橢圓的中心是否在原點、對稱軸是否為坐標(biāo)軸;(3)確定橢圓的基本量a,b,c,從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本題兩個已知圓不變,若動圓與兩個圓都內(nèi)切,求動圓圓心的軌跡方程.解:設(shè)動圓圓心為P(x,y),半徑為r.由圓P與圓Q1內(nèi)切,得|PQ1|=r-1;由圓P與圓Q2內(nèi)切,得|PQ2|=9-r

8、.所以|PQ1|+|PQ2|=86=|Q1Q2|.所以P點軌跡是以Q1,Q2為焦點的橢圓,且2a=8,2c=6.即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解 A.(-9,25)B.(-9,8)(8,25)C.(8,25)D.(8,+)(2)若方程x2-3my2=1表示焦點在x軸上的橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟根據(jù)橢圓方程求參數(shù)的取值范圍 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(-4,0)(0,3) 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測橢圓中的焦點三角形問題 思路分析

9、:(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|PF2|的最大值,可考慮用基本不等式;(2)求焦點三角形的面積,可考慮用定義|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|PF2|,再考慮用三角形面積公式求面積.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=10時,等號成立,即|PF1|PF2|取到最大值100.(2)c2=a2-b2=100-64=36,c=6,則F1(-6,0),F2(6,0).P為橢圓上任一點,|PF1|+|PF2|=2a=20.在PF1F2中,|F1F2|=2c=12,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測即122=|PF1|2+|PF2|2-|

10、PF1|PF2|.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|,122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|,122=202-3|PF1|PF2|,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.焦點三角形的概念如圖,設(shè)M是橢圓上一點,F1,F2為橢圓的焦點,當(dāng)點M,F1,F2不在同一條直線上時,它們構(gòu)成一個三角形焦點三角形.2.關(guān)于橢圓的焦點三角形問題,可結(jié)合橢圓的定義列出|PF1|+|PF2|=2a,利用這個關(guān)系式轉(zhuǎn)化求解.因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法.在求解過程中要靈活運用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.探究一探究二探究三

11、素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.焦點三角形的常用公式(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.(2)在MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|MF2|cos .探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測垂直于x軸,交橢圓于A,B兩點,F1是橢圓的左焦點.(1)求AF1B的周長.(2)如果AB不垂直于x軸,AF1B的周長有變化嗎?為什么?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,AF1B的周長=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=

12、(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,AF1B的周長為20.(2)如果AB不垂直于x軸,AF1B的周長仍為20不變.理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB與x軸是否垂直無關(guān).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求與橢圓有關(guān)的軌跡問題典例已知B,C是兩個定點,|BC|=8,且ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程.解:以過B,C兩點的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖所示.由|BC|=

13、8可知點B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=108=|BC|,因此,點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓,這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a=10,焦距2c=8,但點A不在x軸上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法總結(jié)求與橢圓有關(guān)的軌跡方程常用的方法(1)定義法:若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義,則可用定義直接求解.(2)直接法:將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標(biāo)化,列出等式后化簡,得出動點的軌跡方程.(3)相關(guān)點法:根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換求出動點軌跡的方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.已知F1,F2為兩定點,|F1F2|=6,動點M滿足|MF1|+|MF2|=16,則動點M的軌跡是()A.橢圓B.直線C.圓D.線段解析:因為|MF1|+|MF2|=16|F1F2|,所以動點M的軌跡是橢圓.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形