真題答案06南開(kāi)固體試題

1、南開(kāi)大學(xué)固體物理(基礎(chǔ)部分)2006年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題專業(yè):凝聚態(tài)物理物理系、光學(xué)(光子學(xué)中心)一、簡(jiǎn)答題 (每題5分,共50分) 1.晶體的宏觀對(duì)稱元素有哪些?晶體中是否存在高于6次的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸?2.畫出二維石墨平面的結(jié)構(gòu)示意圖;標(biāo)出基元、原胞;原胞中包含多少個(gè)原子?3. 解釋描述晶格熱容的愛(ài)因斯坦模型和德拜模型,并給出愛(ài)因斯坦模型中聲子態(tài)密度. 4.晶格振動(dòng)與晶體的哪些宏觀物理性質(zhì)有關(guān),研究晶格振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)方法有哪些?6.什么是聲子.聲子與聲子、聲子與電子之間是否會(huì)產(chǎn)生相互作用?8.解釋費(fèi)米面的物理意義,并說(shuō)明研究費(fèi)米面的實(shí)驗(yàn)方法有哪些?7.給出一種確定晶體結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)方法以

2、及所依據(jù)的原理.5.晶體結(jié)合的基本類型和基本特性.9.描述測(cè)量霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn),并說(shuō)明觀測(cè)霍爾效應(yīng)是金屬樣品容易還是半導(dǎo)體樣品容易?10.什么是空位?什么是空穴?1.晶體的宏觀對(duì)稱元素有哪些?晶體中是否存在高于6次的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸?宏觀對(duì)稱素包括：（1）反映（或?qū)ΨQ）面, 國(guó)際符號(hào)m ;（2）旋轉(zhuǎn)（對(duì)稱）軸, 國(guó)際符號(hào)l、2、3、4、6; 對(duì)稱素就是一個(gè)物體借以進(jìn)行對(duì)稱操作的一根軸、一個(gè)平面或一個(gè)點(diǎn). 國(guó)際符號(hào) 、 、 、 、（3）對(duì)稱中心, 國(guó)際符號(hào);（4）對(duì)稱反軸 , 獨(dú)立的宏觀基本對(duì)稱要素只有8種，即1、2、3、4、6、i、m、 。 由于晶體周期性的限制,晶體中允許的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱軸只能是1,2,3

3、,4和6重軸, 這稱為晶體的對(duì)稱性定律,所以晶體中不存在高于6次的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸.2.畫出二維石墨平面的結(jié)構(gòu)示意圖;標(biāo)出基元、原胞;原胞中包含多少個(gè)原子?原胞中包含2個(gè)原子基元中原子坐標(biāo)：原胞基矢：3. 解釋描述晶格熱容的愛(ài)因斯坦模型和德拜模型,并給出愛(ài)因斯坦模型中聲子態(tài)密度. 德拜模型和愛(ài)因斯坦模型是處理晶格比熱中常用的近似方法.德拜模型:(1)晶體視為連續(xù)介質(zhì),格波視為彈性波；(2)有一支縱波兩支橫波；(3)晶格振動(dòng)頻率在 之間(D為德拜頻率)。愛(ài)因斯坦模型:(1)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的；(2)所有原子都具有同一頻率；對(duì)愛(ài)因斯坦模型： ,與q無(wú)關(guān) 設(shè)晶體有N個(gè)原胞,每個(gè)原胞含有p個(gè)原子,

4、則聲子態(tài)密度應(yīng)滿足總模式數(shù)等于總自由度數(shù)：說(shuō)明:4.晶格振動(dòng)與晶體的哪些宏觀物理性質(zhì)有關(guān),研究晶格振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)方法有哪些? 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)(熱容、熱傳導(dǎo)和熱膨脹等)、光學(xué)性質(zhì)(晶體的光吸收和光發(fā)射等)、電學(xué)性質(zhì)(電導(dǎo)、霍爾效應(yīng)和超導(dǎo)等)等宏觀物理性質(zhì)有關(guān),研究晶格振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)方法有中子的非彈性散射、光子散射、X射線散射等.5.晶體結(jié)合的基本類型和基本特性. 晶體結(jié)合的類型有離子晶體、共價(jià)晶體、金屬晶體、分子晶體和氫鍵晶體. 離子晶體的結(jié)合力是離子鍵，即穩(wěn)定的正、負(fù)離子相間排列，通過(guò)庫(kù)侖靜電力互相吸引； 共價(jià)晶體的結(jié)合力是共價(jià)鍵，兩原子通過(guò)共有自旋相反的一對(duì)電子相互鍵合； 金屬晶體的結(jié)合力

5、是金屬鍵，價(jià)電子離化形成的共有化負(fù)電子云與處在其中的正離子實(shí)通過(guò)庫(kù)侖作用相互束縛； 分子晶體的結(jié)合力是范德瓦爾斯力，與電子分布起伏有關(guān)的瞬時(shí)電偶極矩的感應(yīng)作用使具有球?qū)ΨQ電子分布的中性原子或分子聚合； 氫鍵晶體的結(jié)合力是氫鍵，即氫原子的電子參與形成共價(jià)鍵后，裸露的氫核與另一電負(fù)性較大的原子通過(guò)靜電作用相結(jié)合。6.什么是聲子.聲子與聲子、聲子與電子之間是否會(huì)產(chǎn)生相互作用? 聲子是描述晶格振動(dòng)的能量量子,模的角頻率為 的聲子能量為 ,波矢為q的聲子“準(zhǔn)動(dòng)量”(或稱晶體動(dòng)量) 為 。 在簡(jiǎn)諧近似下聲子之間沒(méi)有相互作用,考慮到非簡(jiǎn)諧效應(yīng)時(shí),聲子之間就有相互作用了,可導(dǎo)致聲子的產(chǎn)生、消滅或散射. 聲子與

6、電子之間在滿足一定的選擇定則的條件下,可以產(chǎn)生相互作用,引起電子的散射.7.給出一種確定晶體結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)方法以及所依據(jù)的原理. 表征晶體結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)方法除了X射線衍射外,還有電子衍射和中子衍射等,這些方法都是通過(guò)衍射圖譜來(lái)分析晶體結(jié)構(gòu). 隨著科技的進(jìn)一步發(fā)展,現(xiàn)在已經(jīng)能夠直接觀察原子排列和晶體結(jié)構(gòu)了.如:高分辨電子顯微術(shù)、場(chǎng)離子顯微術(shù)、掃描隧道顯微鏡、多功能掃描探針顯微鏡等.這是對(duì)原子規(guī)則排列的直接的實(shí)驗(yàn)證實(shí).下面以X射線衍射為例說(shuō)明 晶體中原子之間的距離是0.1nm的量級(jí),X射線波長(zhǎng)在: ,兩者數(shù)量級(jí)相當(dāng),因此, X射線技術(shù)成為物質(zhì)結(jié)構(gòu)分析的主要分析手段. 英國(guó)物理學(xué)家布拉格提出晶體中整齊排列的

7、原子可看成為一組相互平行等距的原子平面,不管這些原子在平面上如何分布,如果衍射光束服從反射定律(反射光線在入射平面中,反射角等于入射角),則這組晶面所反射的x射線,只有當(dāng)光程差是x射線波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)才相互加強(qiáng),出現(xiàn)衍射. 并推導(dǎo)出了著名的布喇格公式: n稱為X射線衍射的級(jí)數(shù), 為布拉格角,d為布拉格平面之間的面間距, 為X射線波長(zhǎng). 通過(guò)X射線衍射實(shí)驗(yàn),對(duì)于晶體確實(shí)可觀察到衍射峰,從而可證明晶體的周期性結(jié)構(gòu)的存在.且通過(guò)布拉格平面之間的面間距和布拉格角的關(guān)系進(jìn)一步確定相應(yīng)的晶體結(jié)構(gòu).8.解釋費(fèi)米面的物理意義,并說(shuō)明研究費(fèi)米面的實(shí)驗(yàn)方法有哪些? 費(fèi)米面是K空間中能量等于費(fèi)米能量的等能面,在絕對(duì)零

8、度下,它將被電子占據(jù)的狀態(tài)與不被電子占據(jù)的狀態(tài)分開(kāi). 由于費(fèi)米能的量級(jí)在幾個(gè)電子伏特,而一般的擾動(dòng)很小,比如,室溫下的熱擾動(dòng)僅有0.026 eV,所以,電子的輸運(yùn)行為常常僅涉及到費(fèi)米面附近電子能量的變化,也就是說(shuō),參與輸運(yùn)行為的電子,一般只是費(fèi)米面附近的電子,從而使得問(wèn)題簡(jiǎn)化,這就是引入費(fèi)米面這一概念的意義. 實(shí)驗(yàn)上研究費(fèi)米面的方法主要有:德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)和回旋共振方法. 德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)的變化的周期決定于費(fèi)米面在垂直磁場(chǎng)方向的最大截面 (稱為極值截面),測(cè)定磁場(chǎng)沿各種不同晶向時(shí)德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)的周期,便可確定沿不同晶向的極值截面面積,從而勾畫出金屬費(fèi)米面的形狀. 也可以利用回旋共

9、振方法測(cè)定費(fèi)米面,若在垂直磁場(chǎng)方向加上頻率為的交變電場(chǎng),當(dāng) 時(shí),交變電場(chǎng)的能量將被電子共振吸收,這個(gè)現(xiàn)象稱為回旋共振.按量子理論,共振吸收相當(dāng)于實(shí)現(xiàn)了電子在朗道能級(jí)之間的躍遷.通過(guò)測(cè)量共振吸收頻率,可以確定晶體中電子的有效質(zhì)量.9.描述測(cè)量霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn),并說(shuō)明觀測(cè)霍爾效應(yīng)是金屬樣品容易還是半導(dǎo)體樣品容易? 當(dāng)電流垂直于外磁場(chǎng)方向通過(guò)導(dǎo)體(或半導(dǎo)體)時(shí),在垂直于電流和磁場(chǎng)方向,該導(dǎo)體(或半導(dǎo)體)兩側(cè)產(chǎn)生電勢(shì)差.這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng). 對(duì)于自由電子氣體,霍爾系數(shù)僅依賴于自由電子氣體的電子濃度n:此時(shí)霍爾系數(shù)與載流子濃度成反比關(guān)系測(cè)量霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)見(jiàn)實(shí)驗(yàn)講義 此時(shí)霍爾系數(shù)與空穴濃度p和電子濃度n之

10、差成反比關(guān)系. 對(duì)于半導(dǎo)體,在高磁場(chǎng)下,霍爾系數(shù)依賴于電子濃度n和空穴濃度p: 由于半導(dǎo)體中空穴濃度p和電子濃度n都遠(yuǎn)小于導(dǎo)體中的電子濃度,所以半導(dǎo)體霍爾系數(shù)遠(yuǎn)比導(dǎo)體霍爾系數(shù)大,且可以出現(xiàn)正值.所以半導(dǎo)體樣品容易.10.什么是空位?什么是空穴? 空位(vacancy)是晶體內(nèi)部的空格點(diǎn).可以認(rèn)為是由于原子因熱漲落脫離格點(diǎn).跳到晶體表面而產(chǎn)生的.屬于點(diǎn)缺陷的一種. 對(duì)于不具有部分填充能帶的非導(dǎo)體,若導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂之間的能隙較窄,則在有限的溫度下,滿帶中(價(jià)帶頂附近)少數(shù)電子受激發(fā)而躍遷到空帶中去,使原來(lái)的滿帶變成近滿帶,近滿帶中這些空的狀態(tài),稱為空穴.空穴在外場(chǎng)中的行為猶如它帶有正電荷+e.所以

11、對(duì)于近滿帶中的空穴(hole),可以看成是帶 +e 的粒子.空穴是為了分析固體的導(dǎo)電行為而引入的一種準(zhǔn)粒子.空位與空穴是兩個(gè)截然不同的概念.二、 (20分) (a) 計(jì)算一維雙原子鏈聲子的色散關(guān)系,相鄰原子間距為a. (b) 下圖是一維單原子鏈縱向振動(dòng)的色散曲線,估算沿鏈方向的聲波速度. 224-410 2 6 解: (a)用us, vs 分別表示第s個(gè)初基晶胞中質(zhì)量為Ml和M2的原子相對(duì)于平衡位置的位移參照下圖，寫出運(yùn)動(dòng)方程：MlM2選取簡(jiǎn)正模式解：(1) u、v是兩個(gè)待定系數(shù),表明初基晶胞中兩個(gè)原子振動(dòng)的相對(duì)振幅和位相關(guān)系將式(2)代入式(1)，得到:整理得：(3) 要使（3）式有非零解，

12、要求u、v的系數(shù)行列式必須為零，即：整理得：解得：這就是本問(wèn)題的色散關(guān)系。 注：此題中的a應(yīng)該換成2a，因?yàn)檫@里a為原子間距。(b) 下圖是一維單原子鏈縱向振動(dòng)的色散曲線,估算沿鏈方向的聲波速度. 224-410 2 6由圖可知, 時(shí), 三. (20分)某半導(dǎo)體材料,沿 方向電子的能量可表示為： 其中A0, a為晶格周期,計(jì)算電子的速度v以及有效質(zhì)量 ,畫出在 區(qū)間 以及 關(guān)系曲線.解:電子的速度：有效質(zhì)量 區(qū)間內(nèi)電子的速度曲線 為： 區(qū)間內(nèi) 曲線為：(b)在近自由電子模型下,給出沿 方向的第一能帶和沿 方向的第二能帶交疊的條件. 四. (20分) 由二價(jià)原子組成的二維晶體,原胞基矢分別為 .

13、如果晶格周期勢(shì)為： (a)求倒格子原胞的基矢、畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū).解:由正、倒格子原胞基矢的關(guān)系：可得倒格子原胞的基矢：倒格子仍是二維矩形 在倒格子空間中以任意一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他所有倒格點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格子空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。由此可畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)(a)第一區(qū)第二區(qū)(b)在近自由電子模型下,給出沿 方向的第一能帶和沿 方向的第二能帶交疊的條件.由此可知在近自由電子模型下, 沿 方向的第一能帶帶隙為： 在近自由電子模型下, 沿 方向的第二能帶帶底的能量為：由此可知在近自由電子模型下, 沿 方向的第一

14、能帶帶隙為： 在近自由電子模型下, 沿 方向的第一能帶帶頂?shù)哪芰繛椋核栽诮杂呻娮幽Ｐ拖?給出沿 方向的第一能帶和沿 方向的第二能帶交疊的條件是：五. (20分)(b)當(dāng)溫度變化 時(shí)，費(fèi)米能如何變化?(a)推導(dǎo)絕對(duì)零度下金屬自由電子費(fèi)米能的表達(dá)式.(c)體心立方結(jié)構(gòu)的金屬鈉,其點(diǎn)陣常數(shù)為a=0.428nm, 用自由電子模型計(jì)算其費(fèi)米能.(a) 導(dǎo)出絕對(duì)零度下金屬自由電子費(fèi)米能量的表達(dá)式.絕對(duì)零度下金屬自由電子的本征能量為：在 空間中，具有相同能量的代表點(diǎn)所構(gòu)成的面稱為等能面，顯然，由上式可知，等能面為球面。( 一定）由于N很大，在 空間中，N個(gè)電子的占據(jù)區(qū)最后形成一個(gè)球，即所謂的費(fèi)米球（Fe

15、rmi sphere)。解:費(fèi)米球相對(duì)應(yīng)的半徑稱為費(fèi)米波矢（Fermi wave vector).用 kF 來(lái)表示。 在k空間中，把N個(gè)電子的占據(jù)區(qū)和非占據(jù)區(qū)分開(kāi)的界面叫做費(fèi)米面(Feimi surface)基態(tài)時(shí)(T=0k)，N個(gè)電子填滿整個(gè)費(fèi)米球，所以：n為電子密度所以絕對(duì)零度下金屬自由電子費(fèi)米能量(b)當(dāng)溫度變化 時(shí)，費(fèi)米能如何變化?當(dāng)溫度 時(shí), 有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)即是費(fèi)密能級(jí). 溫度升高 , 費(fèi)密面附近的電子從格波獲取的能量就越大, 躍遷到費(fèi)密面以外的電子就越多, 原來(lái)有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)上的電子就少于一半, 有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)必定降低. 也就是說(shuō), 溫度升高, 費(fèi)密能反而降低. (c)體心立方結(jié)構(gòu)的金屬鈉,其點(diǎn)陣常數(shù)為a=0.428nm, 用自由電子模型計(jì)算其費(fèi)米能.體心立方結(jié)構(gòu)的金屬鈉電子密度n為：所以其費(fèi)米能量為：六. (20分)鐵為體心立方結(jié)構(gòu),從其(110)面反射的x射線布拉格角為22度, x射線的