2021-2022學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：一維單原子鏈模型

1、一維單原子鏈模型一維單原子鏈模型一維單原子鏈模型格波及其色散關(guān)系簡(jiǎn)約布里淵區(qū)長(zhǎng)波極限下的格波聲子一維單原子鏈模型一維單原子鏈?zhǔn)亲詈?jiǎn)單的晶格模型，是學(xué)習(xí)格波的典型例子，它較全面地表現(xiàn)了格波的基本特點(diǎn)。絕熱近似：用一個(gè)均勻分布的負(fù)電荷產(chǎn)生的常量勢(shì)場(chǎng)來描述電子對(duì)離子運(yùn)動(dòng)的影響離子實(shí)比電子重103105倍，離子實(shí)振動(dòng)速度比電子慢很多將電子的運(yùn)動(dòng)和離子實(shí)的運(yùn)動(dòng)分開電子對(duì)離子振動(dòng)的影響，可用一個(gè)穩(wěn)定的勢(shì)場(chǎng)來替代簡(jiǎn)諧近似：保留2次項(xiàng)，忽略高階項(xiàng)VOar平衡時(shí)勢(shì)能取極小值兩個(gè)重要近似：平衡位置非平衡位置晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)模具有波的形式 格波格波的研究方法： 計(jì)算原子之間的相互作用力根據(jù)牛頓定律寫出原子

2、運(yùn)動(dòng)方程，并求解方程 原子n和原子n+1間的距離一維單原子鏈模型：平衡時(shí)相鄰原子間距為a（即原胞“體積”為a），原子質(zhì)量為m原子限制在沿鏈方向（一維）運(yùn)動(dòng)原子n離開平衡位置位移 n原子n和原子n+1間相對(duì)位移一維單原子鏈模型忽略高階項(xiàng)，簡(jiǎn)諧近似考慮原子振動(dòng)，相鄰原子間相互作用勢(shì)能相鄰原子間作用力只考慮相鄰原子的作用，第n個(gè)原子受到的作用力第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程平衡位置非平衡位置VOar牛頓第二定律F=ma一維單原子鏈模型上述(1)式的解（原子振動(dòng)位移）具有平面波的形式naq是第n個(gè)原子的振動(dòng)位相因子A是原子振動(dòng)振幅，為常數(shù)是格波的角頻率，為常數(shù)；q是格波的波數(shù)和q滿足以下的色散關(guān)系連續(xù)介質(zhì)中的波

3、（如聲波）可表示為，則可看出格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式一個(gè)格波表示的是所有原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng)格波與連續(xù)介質(zhì)波的主要區(qū)別在于(2)式中，aq取值任意加減2的整數(shù)倍對(duì)所有原子的振動(dòng)沒有影響，所以可將波數(shù)q取值限制為該式將(2)式帶入(1)式可得(3)格波解一維單原子鏈模型aq取值任意加減2的整數(shù)倍對(duì)所有原子的振動(dòng)沒有影響紅線：q=/2a綠線：q=5/2a將波數(shù)q取值限制為即波數(shù)q取值在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)（第一布里淵區(qū)）中第一章內(nèi)容：簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)的全部波矢代表了晶體中所有的狀態(tài)，區(qū)外的波矢都可通過平移倒格矢在該區(qū)內(nèi)找到等價(jià)狀態(tài)點(diǎn)；討論固體性質(zhì)時(shí)，可以只考慮第一布里淵區(qū)。簡(jiǎn)約布里淵區(qū)一維單原子

4、鏈模型一維單原子晶格看作無限長(zhǎng)，所有原子是等價(jià)的，每個(gè)原子的振動(dòng)形式都一樣實(shí)際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長(zhǎng)，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運(yùn)動(dòng)方程來描述但如果用與其它原子不同的運(yùn)動(dòng)方程描述兩端的少數(shù)原子，則會(huì)導(dǎo)致相互聯(lián)立的方程求解更加復(fù)雜采用玻恩卡曼周期性邊界條件避免這種情況含義：原子鏈?zhǔn)孜驳恼駝?dòng)情況必須復(fù)原玻恩卡曼周期性邊界條件限制波數(shù)在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)取均勻分布的N個(gè)分立值邊界條件一維單原子鏈模型取正值，則有頻率是波數(shù)的偶函數(shù)色散關(guān)系曲線具有周期性，僅取簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的結(jié)果即可由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，只有滿足的格波才能在一維單原子鏈晶體中傳播，其它頻率的格波將被強(qiáng)烈衰減0q(q)格波的色散關(guān)系

5、一維單原子鏈模型長(zhǎng)波極限情況一維單原子格波相當(dāng)于波速為的連續(xù)介質(zhì)波相鄰兩個(gè)原子之間的位相差趨于0，晶體內(nèi)所有原子振動(dòng)情況相同短波極限情況色散關(guān)系為非線性表明波矢位于第一布里淵區(qū)邊界上的格波不能在晶體中傳播，實(shí)際上它是一種駐波格波取值的長(zhǎng)波極限一維單原子鏈模型聲子一維單原子鏈模型能量本征值本征態(tài)函數(shù) 一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子方程，波函數(shù)是以簡(jiǎn)正坐標(biāo)為宗量的諧振子波函數(shù) 振動(dòng)能量的本征值為其中nq為聲子數(shù)3-2 一維單原子鏈模型聲子13晶格振動(dòng)的問題轉(zhuǎn)化為聲子系統(tǒng)問題的研究解釋金屬電阻隨溫度升高而增大，解釋超導(dǎo)現(xiàn)象。熱傳導(dǎo)可以看成是聲子的擴(kuò)散；熱阻是由于聲子被散射等等聲子概念引入后給我們處理具有強(qiáng)相互作用的原子集體晶體帶來了極大方便，而且生動(dòng)地反映了晶格振動(dòng)能量量子化的特點(diǎn)。類似的描述方式和概念是固體物理的一大特征，即多體系統(tǒng)集體運(yùn)動(dòng)的激發(fā)單元，稱作元激發(fā)Elementary excit