導體表面電荷分布與表面曲率關系

1、摘要從導體表面電場的特征和電荷分布的微觀解釋導體表面電場的特性出發(fā)，我 們對孤立帶電導體凹凸形尖端的表面電荷與電場分布進行了定性計算及分析。依 據(jù)該帶電導體的等勢面與電場線正交的特征，得出了該帶電導體尖端處表面電荷 與表面電場間的定量關系，而且進行了討論。對于孤立的帶電導體來說，電荷分 布規(guī)律有以下的結論，其上面電荷的多少與該處表面的曲率有關，導體表面凸出 尖端的地方（曲率較大），面電荷密度6較大；表面較平緩的地方 （曲率較小）電 荷密度6較??；表面凹下去的地方（曲率小于零）6更小。本文將進行分析說明： 電荷密度分布與曲率成正比只是一個大致的定性的規(guī)律，不能簡單地根據(jù)兩處的 曲率大小來比較兩處

2、的電荷密度的大小。關鍵詞：帶電導體 電荷面密度 電場分布 電荷面密度 表面曲率目錄、導體表面電荷分布的有關因素 11電荷分布的微觀解釋2尖端處表面電荷1. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 3電荷分布與表面曲率關系 1.二、導體表面的電場5.1電場分布的描述5. HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2凸端處的場強1. HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 3凹端處的場強8.三、結 論1.0.參考文獻1.1.一、導體表面電荷分布

3、的有關因素1電荷分布的微觀解釋我們所說的導體帶電，通常是指正負電荷中和后會出現(xiàn)多余“凈電荷” 。若正 電荷數(shù)量大于負電荷，則中和后，導體就會多余出正的“凈電荷”，這些“凈電荷” 都會帶有正的電性，我們也因此判定導體帶正電。又根據(jù)同種電荷間有庫倫力的 作用，導體表面相同電性的電荷將會齊向著斥力小的方向運動。此時若導體呈球 狀，電荷也會自由移動至均勻分布于球體表面，進而形成均勻的對稱電場。但若導體非球狀，表面有凸凹時，凈電荷依舊向著斥力最小的方向自由移動。 但由于凸面的頂端據(jù)其他表面最遠，會使得此處電荷受其他電荷的斥力最小。因 此會吸引大量電荷移向此處，導致電荷分布最集中，隨之電場也會最強。反之，

4、 凹面距離其余電荷最近，庫倫力也最大，因此電荷密度最小，電場也最弱。2尖端處表面電荷總靜電荷不為零且與其他物體距離足夠遠的孤立帶電導如果帶有電荷Q,當自由電子不做自由運動達到靜電平衡時有：（1）導體內(nèi)電場強度為零（2）導體內(nèi) 部電荷密度為零，電荷只能在導體表面分布 ；（3）在導體外部，緊靠導體表面的點 的場強方向與導體表面垂直，場強大小與導體表面對應點的電荷面密度成正比， 可在導體外緊靠表面處人去一點做高斯面， 有高斯定理知電場強度大小為 E=錯誤! 未找到引用源。，而導體表面的電荷密度是 錯誤!未找到引用源。大致來說，當曲 率半徑p0時，任意形狀的孤立帶電導體外表面，向外突出的地方電荷較密，

5、場 強也大。在突出部位較平坦的地方電荷很疏， 場強也小；當某處場強 擊穿場強時， 就發(fā)生常見的尖端放電現(xiàn)象。3電荷分布與表面曲率關系橢球面的代數(shù)方程式是比較簡單的，當橢球的三個半軸相等時，它的方程式 就變成圓的方程?，F(xiàn)有一橢圓，使該橢圓繞短（長）軸旋轉而得到的橢球就相當 于一根細長棒。長棒兩端曲率很大，中間曲率較小，因此用這種導體研究表面曲率與電荷分布是能說明問題的，無論它是什么形狀的帶電導體，除了外界環(huán)境， 導體內(nèi)部各處場強大小等于零是判斷導體電荷是否平衡分布的唯一條件。假設我們考慮的是一個繞軸旋轉的橢球體，它的兩個焦點分別為01和O2 , 橢球表面的電荷分布使橢球內(nèi)部任一點的場強矢量和為零

6、。一般來說，這種現(xiàn)象 是導體表面電荷產(chǎn)生的場強相互抵消的結果。但是，對于焦點O1和O2 ,這種抵消是一對一成立的。過橢球的焦點O1作一個較小的立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面d s和d s2，通過嚴格的理論證明,d s上的電荷在焦點 O1處產(chǎn) 生的場強與d s2上的電荷在O1處產(chǎn)生的場強恰恰相互抵消，所以，整個橢球 表面上的電荷在 O1產(chǎn)生的場強之和為零，根據(jù)這一規(guī)律，就可以找到帶電導體 表面電荷分布的一些規(guī)律。圖1旋轉橢球焦點場強分布如圖1,設d s1處電荷密度為(T 1 ,離O1的距離為r 1,即d s上的帶 電量為d q1 =(7 1d s,這些電荷在 O1處產(chǎn)生的場強 d錯誤!未找到

7、引用源。 為：d錯誤!未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。注意，d s = d s / c o s a 1 ,錯誤!未找到引用源。是錯誤!未找到引用源。與 該處表面法線錯誤!未找到引用源。間的夾角。d s=錯誤!未找到引用源。d錯 誤!未找到引用源。，d錯誤!未找到引用源。是d s對O1張的立體角。因此：d錯誤!未找到引用源。=錯誤！未找到引用源同理，d s2上的電荷在 O1處產(chǎn)生的場強也可以用同樣的方法求出。d s2對O1 的立體角也是d Q 1 。同理：d錯誤!未找到引用源。=錯誤！未找到引用源其中錯誤!未找到引用源。是d錯誤!未找到引用源。上的法線與錯誤!未找到 引用源。之間的夾角，因為

8、在焦點上是對應的電荷產(chǎn)生的場進行抵消， 所以d E1 = d E2 ,進而得到錯誤!未找到引用源。/錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引 用源。，這也就是說8 c o s a，這就是橢球表面電荷分布的具體規(guī)律，依據(jù)以焦 點為原點的橢圓方程：r=錯誤!未找到引用源。（P是焦點參數(shù)，e是偏心第可以求出r、小處的cos a,為：錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源由次我們可以求出導體上任意兩點 （即小1和小2）的表面電荷密度之比。如。=錯誤。=錯誤1）在最平的一點B,錯誤!未找到引用源 未找到引用源。錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。根據(jù)以上討論得密度比為：錯誤!未找到引用源。=錯誤!未

9、找到引用源2）在橢圓最尖銳的一端 A , （|）A = 0 , c o s a A = 13 ）在A與B之間的其它的點，其中cos a值是介于錯誤!未找到引用源。與 錯誤!未找到引用源。之間的，我們假設橢球長軸逐漸變長，當e很接近于 1時， 焦點O1、 O2逐漸到達橢球兩端，橢球上很大一部分面積的 錯誤!未找到引用 源。，因而cos a = 0 ,所以電荷集中分布在橢球兩長軸末尾的尖端這一很小的區(qū) 域內(nèi)，長橢球中間部位多地方的電荷分布幾乎為零。首先對導體表面面電荷率和表面曲率的關系進行定性分析，如圖 1、我們可 以簡單的知道，表面曲率小的地方，a角大，cos a值??；表面曲率大的地方，a角 小

10、，cos a值大。所以可知曲率大的地方的電荷密度大于曲率小的地方的電荷密度，這個說法是正確的，但應該想到，這并不是一個一般的結論，我們可以來進行下 面的分析。由數(shù)學學過的知識可知平面曲線的曲率為：k=錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源其中dl是曲線（該題目中即為橢圓）上的一段弧長，通過計算可得，k與cos a的關系并部確定，影響它的因素有多個，所以電荷密度與 K也不是一一對的的， 與曲率并不成簡單的正比關系，可推測它們二者之間的關系是一個很復雜的函數(shù)。 通過這樣分析，就可以得到結論，用細導線連接兩個導體球面而得到的可以看成 一個孤立導體的模型中，電荷密度b與曲率 K成正比的結論并不一定。

11、進一步分析，任意一個曲面上某一點有兩個曲率值。比如旋轉橢球上短軸上 的B點，在橢球旋轉方向上有一個曲率，在橢圓形的平面上還有一個曲率，我們 的“電荷密度與半徑成反比，即與曲率成正比”這句話到底是指旋轉方向的曲率 還是表面曲率？當出現(xiàn)一個方向的曲率很小，另一個方向的曲率又很大的情況時， 電荷又將怎么分布呢？圖2旋轉橢球面電荷分布圖3旋轉橢球面電荷分布二、導體表面的電場1電場分布的描述圖4 等勢面現(xiàn)在孤立導體外部空間電場中，取一等勢面元 s, s面上的兩個主曲率半徑分 別為錯誤!未找到引用源。和錯誤!未找到引用源。，再沿著s面的法線方向外移一 段線元dz ,即得到另一個等勢面的面元 (s+ds),

12、如圖4所示：由于兩層面元 之間不存在電荷，可由高斯定理得：d ( E S) = 0 ,所以 Ed S + S d E = 0整理得：錯誤!未找到引用源。=-錯誤!未找到引用源。(1)由此可見導體表面場強大小與此處面積的相對變化率變化方向相反，但絕對 值相等，隨著Z值的逐漸變大，錯誤!未找到引用源。，離導體表面越遠的地方， 場強越小。如圖由幾何關系可知：錯誤!未找到引用源。(2)聯(lián)立兩式并把高階無窮小項略去，得到：dS=(錯誤！未找到引用源)dzd錯誤！未找到引用源d錯誤!未找到引用源。同除以S得：錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。dz=(錯誤!未找到引用源。+錯誤！未找到引用源。)dz

13、錯誤!未找到引用源。dz(4)聯(lián)立(1) ( 4)式得:錯誤！未找到引用源。 或錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源?？芍妶鲈诖颂幍南鄬ψ兓逝c該處等勢面的曲率半徑成反比。當導體表面為平面時，p 一錯誤!未找到引用源。；在凹面外，p 0,錯誤!未找到引用源。即沿Z方向，E越來越小，且p越小，場強變 小的速度越快，凸處尖端電場強度 E最大。圖5 凸端場強圖6 凹端處場強2凸端處的場強如圖5所示，以凸處尖端的棱角處為原點，取電場線線方向為Z軸。在Z軸上A,與原點相距為Z,設A處等勢面的曲率半徑為p ,將其在原點處以曲率半 徑錯誤!未找到引用源。展開，得泰勒級數(shù)如下。即：錯誤!未找到引用源。

14、+ （錯誤!未找到引用源。+，錯誤!未找到引用源。=0。且略去上式高次項，整理上式得:錯誤!未找到引用源,把Z代入（5）式,有：錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。因為凸處尖端外部曲率半徑P增大，所以式中錯誤!未找到引用源。設點A處 場強為錯誤!未找到引用源。，凸處尖端0點場強為錯誤!未找到引用源。， 則有：錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。-錯誤!未找到引用源。=-錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引 用源。-錯誤!未找到引用源。要使上式等號成立，其中 錯誤!未找到引用源。的值有限，則 錯誤!未找到引 用源。一可得錯誤!未找到引用源。-8,這

15、樣的話在此處可出現(xiàn)尖端放電這 種現(xiàn)象。導體尖端附近電荷面密度與 錯誤!未找到引用源。是成正比，這里r表示導體表面上的任意一點到尖端的距離，v是一個與錐角B有關的變量，如圖4。現(xiàn)假設B = 10 。時，v -0.2 ; B = 1 。時，v = 0 . 1。以此類推，我們 可得到，當導體尖端錐角很小時，v 一 0,常昔誤!未找到引用源。，這時，電荷面密度與曲率成反比，因為當 r足夠小時，任何尖端都趨于圓弧，所以以上公式 不能用于離尖頂太近的地方，理論上說，r = 0處一這實際上是不可能的。 由此可知，電荷面密度和表面曲率的并不是成正比這種簡單的關系。3凹端處的場強如圖6所示，設錯誤!未找到引用源

16、。錯誤!未找到引用源。，因為曲率半徑是 負的，而凹處外部 錯誤!未找到引用源。逐漸增大，所以其變化率 錯誤!未找到引用 源。仍小于零，錯誤!未找到引用源。，所以有：錯誤!未找到引用源。-錯誤!未找 到引用源。=-錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。-錯誤!未找到引用源。要 使等式成立，其中可知 錯誤!未找到引用源。為有限值，所以錯誤!未找到引用源。 =錯誤!未找到引用源。一定是0,即凹處錯誤!未找到引用源。=0,因此，場強 最小?，F(xiàn)看一個比較復雜形狀的導體，進行進一步考察，例如圖5的“元寶”導體, 顯然在凹陷的區(qū)域有些地方的曲率很大，但是電荷密度不會很大。圖5圖6三、結論從以上論述中，可得

17、：電荷在導體上的分布是非常不均，難以測量的，由以上 論證也只可得到電荷密度與表面曲率有著正相關的定性關系，但是還不能證明電 荷密度的大小由各處表面曲率決定。參考文獻1 黃 瑩.電磁學原理在科學技術中的應用M.北京:兵器工業(yè)出版社，1998. 516.2 敬仕超.物理學導論M.成都:成都科技大學出版社,1995. 216246.3 張之翔.帶電導體橢球的電勢和電荷分布J .大學物理,2008 ,27 (1) :11213.4 斯米爾諾夫.高等數(shù)學教程：第二卷，第二分冊M.孫念增，譯.北京:高等教 育社,1956 :202 ,19822045 陳斌，李有泉渺健，等.介觀電路中電荷的量子效應J .物

18、理學報，1997 ,46：1292133.6蘇玉霞.面電荷所在處的電場強度J.龍巖師專學報.1994(03)7金仲輝.均勻帶電球面上的電場強度如何計算J.現(xiàn)代物理知識.2002(04)8張之翔.帶電導體橢球的電勢和電荷分布J.大學物理.2008(01)9劉盂.關于曲率與面電荷分布問題J.寧夏大學學報(自然科學版).1986(04)AbstractFrom the perspective of the peculiarities of power field of theconductor surface and micro explanation of the distribution of

19、the electric charge , we make a qualitative calculation and analysis of the distribution of electric charge and power field of the isolated electric conductor sconcavo-convex pointed surface.According to the peculiarities of the perpendicular of equipotential surface and the electric field of the electric conductor,we can conclude the quantitative determination bears of theelectric charge and power field of conductor s pointed surface and have a discussion.To isolated electric conductor,electric charge has the flowing conclusion of its distribution law:the quantity of the electric charge