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1、雜談射影幾何一切幾都是射影幾何.19 世界英國(guó)數(shù)學(xué)家第一節(jié)，幾?這個(gè)問(wèn)題很重要,無(wú)論是作為一名數(shù)學(xué)教育工作者還是作為數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō).因?yàn)槟愕膶I(yè)是數(shù)學(xué),幾何是數(shù)學(xué)很重要的一大分支.當(dāng)別人問(wèn)你讓外行人很不滿意,這實(shí)在說(shuō)不過(guò)去.幾時(shí),如果你回答的很當(dāng)然對(duì)于這個(gè)問(wèn)題你也可以迂回的回答,與他們娓娓道來(lái)的說(shuō)起幾的歷史.給他們說(shuō)幾何學(xué)最初是丈量土地的學(xué)問(wèn)。埃及作為幾的故鄉(xiāng)最初就是丈量尼羅河泛濫后的土地多少而隨之產(chǎn)生。然后說(shuō)是在射影幾何的先驅(qū),在高中的三種圓錐曲線最早就是他首先紀(jì)的風(fēng)趣的介紹.然后再說(shuō)說(shuō)學(xué)派及對(duì)幾的貢獻(xiàn)。你還可以講到 17 世與發(fā)現(xiàn)了幾何，自此以后就可以用坐標(biāo)的方法解決幾何問(wèn)題.向他

2、們雖然在數(shù)學(xué)上留下的定理很少，但他的的方法可以證明無(wú)數(shù)的定理，從中希臘可以看到方法的重要性。你可以話鋒一轉(zhuǎn)，說(shuō)就在與此同時(shí)射影幾何也開(kāi)始沿著古開(kāi)辟的道路繼續(xù)前行。給他們講講在射影幾上的所做的杰出貢獻(xiàn)及到 18 世紀(jì)的列在里開(kāi)創(chuàng)幾的故事。19 世紀(jì)克萊因用群的的觀點(diǎn)來(lái)定義幾。以及非歐幾的產(chǎn)生等等。同時(shí)你還要介紹在我國(guó)最早是與偉列亞力翻譯的幾何原本。把射影幾引進(jìn)中國(guó)的是先生。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家青先生幾的做出了巨大貢獻(xiàn)。最后還要講講當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一，大范圍微分幾何的奠基人當(dāng)然現(xiàn)代意義上的幾科能夠概括的.幾先生的乃至整個(gè)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。已經(jīng)不再是中學(xué)里所說(shuō)的研究空間物體的形狀,位置,大小的學(xué)的很

3、多分支已經(jīng)失去了它最初的研究對(duì)象與范圍.幾的內(nèi)容與其他的數(shù)學(xué)分支緊密聯(lián)系融合在一起形成相互滲透的幾何分支.例如代數(shù)幾、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)鋵W(xué)等等.中學(xué)成不變的.幾乎沒(méi)有變換的對(duì)幾的定義是有局限性的.那里所說(shuō)的的幾是的,一.要知道現(xiàn)實(shí)生活的很多物體在不同的條件下都是由于變化的,運(yùn)動(dòng)的因而是不同.例如早上的光下的物體的要比中午時(shí)的高.正方形的物體在光線的照射下會(huì)變成平行四邊形甚至四邊形.而中學(xué)的數(shù)學(xué)里的變換僅僅是平移、旋轉(zhuǎn)、鏡面反射等等.而沒(méi)有說(shuō)道仿射變換,射影變換等等.幾的經(jīng)典定義是 1827 年有德國(guó)數(shù)學(xué)家只有 23 歲的克萊因在一個(gè)名字叫”愛(ài)爾蘭根”的小城講演時(shí)給出的.這篇演是研究空間曲線在

4、變換群說(shuō)被后人稱為“愛(ài)爾蘭根綱要”.該綱要對(duì)幾的定義是:幾下不變形質(zhì)的一門(mén)學(xué)科.這里的空間是很一般的概念,可以認(rèn)為是任何事物的集合.具體來(lái)說(shuō)幾所要研究是兩個(gè):一個(gè)是研究幾何對(duì)象對(duì)于變換群的等價(jià)分類:另一個(gè)是研究幾何對(duì)象對(duì)于變換群的不變形質(zhì)與不變量.這兩個(gè)基本問(wèn)題是密切相關(guān)的.舉例來(lái)說(shuō):設(shè)p 是具有某一性質(zhì)的幾何中的不變性質(zhì)與不變量.如果兩個(gè)幾何對(duì)象中有一個(gè)具有這種性質(zhì),那么另一不具有這種性質(zhì)的 p,則這兩種幾對(duì)象顯然在這種幾何中必然是不等價(jià)的.幾是研究物體在某種變換群下的不變的性質(zhì).例如:在初中剛學(xué)習(xí)幾何時(shí)要證明一些線段,角的是否相等,尤其是證明三角形在什么情況下全等,其實(shí)兩個(gè)三角形全等就是這

5、兩個(gè)三角形在合同意義下至多相差一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng).也就是說(shuō)兩個(gè)全等的三角形,其中一個(gè)可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)(平移、旋轉(zhuǎn)或鏡面反射等)來(lái)實(shí)現(xiàn)與另一三角形重合. 其基本不變性就是合同,基本不變量就是距離.而在仿射幾何中基本不變性質(zhì)是結(jié)合性平行性,基本不變量是單比.而在射影幾基本不變性是結(jié)合性,基本不變量交比.第二章，為什么要引進(jìn)仿射等價(jià)類的概念?數(shù)學(xué)中的很多概念都不是一個(gè)數(shù)學(xué)家可以完成的,而是幾百年,甚至上千年的經(jīng)過(guò)很多的數(shù)學(xué)家的一點(diǎn)一滴的努力,最終才算基本上完成的.數(shù)學(xué)上的很多的概念都是千錘百煉出來(lái)的,象函數(shù)的概念,經(jīng)歷了 500 年左右被很多的大數(shù)學(xué)家所定義.幾家引進(jìn)仿射等價(jià)類也并非是憑空捏造的,而是有實(shí)踐與

6、理論基礎(chǔ)的.引進(jìn)仿射等價(jià)類可以對(duì)幾何圖形根據(jù)其仿射性質(zhì)進(jìn)行很好的分類,以便更好的研究或解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.在歐氏幾何中知道三角形按角的大小分類為:直角三角形,鈍角三角形,銳角三角形.按邊的大小可以分為等邊三角形,直角三角形,等腰三角形及不等腰三角形等.這種分類的好處讓三邊都相等,三邊都相等是所有的等邊三角形的性質(zhì).這樣知道了凡是等邊三角形其就把所有的等邊三角形的性質(zhì)抽象出來(lái)了.當(dāng)我門(mén)研究一個(gè)等邊三角形的性質(zhì)的時(shí)候其實(shí)就是研究了很多可以說(shuō)是無(wú)窮多個(gè)等邊三角形的性質(zhì),而不是一個(gè)一個(gè)的研究等邊三角形的性質(zhì),如果那樣的話子子孫孫雖無(wú)窮聵,但仍然研究不完.這就是在幾中分類的好處.以上所說(shuō)的是歐氏幾何.

7、其實(shí)仿射幾何也是如此.仿射幾何更為廣泛與抽象.它把所有的三角形都?xì)w為同一個(gè)等價(jià)類.直角三角形與等邊三角形等等所有的三角形統(tǒng)統(tǒng)是一類.有的朋友不免會(huì)說(shuō),為什么把所有的三角形統(tǒng)統(tǒng)化為同一個(gè)仿射等價(jià)類呢?是這樣的,在仿射變換下所有的三角形的像都為三角形.這就告訴三角形的仿射等價(jià)類只能是三角形,而不會(huì)是平行四邊形或其他幾何圖形.研究三角形的仿射性質(zhì)時(shí)為了方便,就可以根據(jù)實(shí)際情況來(lái)拿不同的三角形來(lái)研究.那樣的三角形研究起啦方便就用那樣的三角形.例如證明三角形的三個(gè)高交于一點(diǎn),這一仿射幾何(因?yàn)樵撁}只與點(diǎn)線的結(jié)合性相關(guān))命題時(shí),不妨設(shè)是直角三角形.顯然直角三角形的至少有兩個(gè)高交于一點(diǎn).我只需證第三條邊上

8、的高經(jīng)過(guò)該點(diǎn)即可.這樣就大大的簡(jiǎn)化了問(wèn)題復(fù)雜性,從而使問(wèn)題變得更容易解決.再例如所有的橢圓與圓都是一個(gè)仿射等價(jià)類.可以利用仿射等價(jià)類具有相同的仿射性質(zhì)來(lái)進(jìn)一步簡(jiǎn)化解題過(guò)程.例如求橢圓的面積公式就是利用仿射變換的性質(zhì),利用橢圓的仿射等價(jià)類圓來(lái)解決橢圓一些較為復(fù)雜的仿射性質(zhì).由于對(duì)于圓的一些性質(zhì)的處理要優(yōu)越于橢圓,因?yàn)樗葯E圓簡(jiǎn)單,所以當(dāng)遇見(jiàn)關(guān)于橢圓的有關(guān)性質(zhì),常常轉(zhuǎn)化為圓來(lái)解決是很方便的.從用仿射性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出橢圓的面積公式的過(guò)程中我們可以看出比高中用直觀通俗.的方法更簡(jiǎn)潔易懂,避免了繁雜的運(yùn)算.比其用微積分的求解過(guò)程更總之，引進(jìn)仿射等價(jià)類可以更好的把復(fù)雜難處理的幾何圖形轉(zhuǎn)化為它的較為簡(jiǎn)單的又很熟

9、悉的仿射等級(jí)類來(lái)處理,這樣可以大大的減化的解題過(guò)程.當(dāng)然這里解決的只能是有關(guān)圖形的仿射性質(zhì)的,而不能是圖形的度量性質(zhì).同理在射影幾何中也存在著射影等價(jià)類.其作用與仿射等價(jià)類是一樣的,在此不再多說(shuō).最后一點(diǎn)需明的是當(dāng)在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中或數(shù)學(xué)研究中為了解決一個(gè)問(wèn)題的需要也可以引進(jìn)一些概念,數(shù)學(xué)不僅是客觀世界的反映,同時(shí)它也是人類創(chuàng)造出來(lái)的,但這種人為的創(chuàng)造具有一定的合理性.經(jīng)常為一個(gè)數(shù)學(xué)難題用構(gòu)造的方法證明出來(lái)而驚嘆不已.其實(shí)當(dāng)解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候被 出來(lái)引入某個(gè)變量或某個(gè)概念,但這些概念或變量有的經(jīng)歷了實(shí)踐的考驗(yàn),有的則很快.一句話數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐,同時(shí)又在實(shí)踐中地到檢驗(yàn)的一門(mén)學(xué)科.人造的概念也要符

10、合客觀真理,不然就被歲月的長(zhǎng)河給淘汰掉.第三節(jié)，為什么要引進(jìn)中心投影？在射影幾何心投影很重要,而作為平行投影僅僅是投影中心在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)投影的一個(gè)特例.知道早在2000 多年前就把錐頂看作中心錐面母線看作投影線.但射影幾何的創(chuàng)始人龐色列所要建立的是更為一般意義性的中心投影中心投影就是一個(gè)魔術(shù)師或照妖鏡.它可以把兩條相交于影銷線上一點(diǎn)的兩條相交直線投影為像平面為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的兩條平行直線.作為圓錐曲線的像也是圓錐曲線,但需要主意的是作為三種典型的圓錐曲線之一的橢圓在中心投影之下的像可能拋物線,雙曲線或橢圓,同樣雙曲線在中心投影之下也可以是這三種圓錐曲線之一.拋物線也是如此.這就是說(shuō)這三種圓錐曲線在中心投

11、影之下都是同一個(gè)射影等價(jià)類.劃分射影等價(jià)類的依據(jù)也是以中心投影為工具或舞臺(tái),一個(gè)幾何圖像在該舞臺(tái)上能變成什么樣的圖形,什么樣的圖形就是該圖形的射影等價(jià)類.從這點(diǎn)可以看出射影等價(jià)類的重要性.如果沒(méi)有中心投影第四節(jié)，為什么要引進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn)元素?的射影幾何就無(wú)法建立.這個(gè)問(wèn)題是很重要的,在高等代數(shù)與抽象代數(shù)里,學(xué)過(guò)變換的概念.變換是一一對(duì)應(yīng)的.而的射影幾何是需要建立幾何圖形的像與原像之間的一一對(duì)應(yīng)的.當(dāng)建立中心射影時(shí)卻發(fā)現(xiàn)影銷點(diǎn)或影銷線上無(wú)對(duì)應(yīng)圖像,或者說(shuō)這些點(diǎn)或直線無(wú)像點(diǎn)或像直線.怎么辦呢?方法至少有兩種,其一就是在兩個(gè)平面中去掉不同的直線,但問(wèn)題是當(dāng)要建立平面到平面間的許多個(gè)中心投影時(shí),會(huì)把這兩個(gè)平

12、面搞的七落,很有損數(shù)學(xué)的美感,這實(shí)在是一種大煞風(fēng)景令人很不愉快的事情.其實(shí)直線.后來(lái)德國(guó)偉大的天文學(xué)家可以在像平面上添加一條直線呢?于是就有這樣的的想法,就是挖去原像平面上沒(méi)有像點(diǎn)的既然可以在原像平面上挖去一條直線,為什么不第二種方法就是添加無(wú)窮遠(yuǎn)元素來(lái)建立幾何圖形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.后來(lái)的很多實(shí)踐也證明了添加無(wú)窮遠(yuǎn)元素并非空穴來(lái)風(fēng),而是很有必要，也是很合理的.由于有了無(wú)窮遠(yuǎn)元素,研究問(wèn)題更加方便.不僅如此在日常生活中也有引進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn)元素的必要.當(dāng)遠(yuǎn)離平行的鐵軌時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)隨著與鐵軌距離的越來(lái)越遠(yuǎn),遠(yuǎn)逝的平行的鐵軌似乎在視線下變的越來(lái)越靠的很近,最后以至于兩個(gè)平行的鐵軌相交于一點(diǎn),之后就在的視線之

13、外.試想一下:當(dāng)越來(lái)越遠(yuǎn)的兩條平行的鐵軌相交后之時(shí),實(shí)際上可以認(rèn)為那是在的視野之外的地方,自然可以認(rèn)為是無(wú)窮遠(yuǎn)所在的地方.這個(gè)例子說(shuō)明了數(shù)學(xué)是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活的,是現(xiàn)實(shí)生活中很多現(xiàn)象的本質(zhì)化,普遍化,抽象化.生活中不缺少數(shù)學(xué)真理,對(duì)于的眼睛來(lái)說(shuō)關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn).無(wú)窮遠(yuǎn)元素的引進(jìn)在繪畫(huà)方面還有重要的應(yīng)用.當(dāng)一位畫(huà)家在畫(huà)遙遠(yuǎn)的天際時(shí),一般都用一條直線替代,這就是無(wú)窮遠(yuǎn)直線.在你的視野之內(nèi)的所有的平行線在都相交于那條無(wú)窮遠(yuǎn)直線.這個(gè)例子同樣說(shuō)明無(wú)窮遠(yuǎn)元素的引入是扎根于現(xiàn)實(shí)生活,而不是畫(huà)蛇添足.總之,有了無(wú)窮遠(yuǎn)元素,在中心投影之下影銷線上的點(diǎn)就可以找到像點(diǎn)與之一一對(duì)應(yīng),很多的幾何問(wèn)題可以在此基礎(chǔ)上得到很好的

14、解決.第五節(jié)，雙曲線與拋物線為條封閉的曲線?該問(wèn)題很重要,尤其是當(dāng)學(xué)到射影幾何的后半部分,對(duì)者來(lái)說(shuō)是相當(dāng)?shù)?因?yàn)槟菚r(shí)三更讓初學(xué)者望而止步.條圓錐曲線成封閉的橢圓,特別是一些簡(jiǎn)潔的眾所周知,橢圓是一條封閉的曲線,而雙曲線與拋物線都是有口的曲線,并且雙曲線有兩個(gè)分支,這點(diǎn)是首先發(fā)現(xiàn)的,其他的很多的數(shù)學(xué)大家,例如都認(rèn)為雙曲線只有一支.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題其實(shí)很簡(jiǎn)單,唯一值得注意的是當(dāng)談?wù)撨@個(gè)問(wèn)題是在射影空間或射影平面上的.在歐式空間或歐氏平面添加了無(wú)窮遠(yuǎn)元素(無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),無(wú)窮遠(yuǎn)直線,無(wú)窮遠(yuǎn)平面),對(duì)這些無(wú)窮遠(yuǎn)元素不加區(qū)分,等同時(shí)的空間或平面就是射影空間或射影平面.這樣,雙曲線的兩個(gè)漸近線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是不同的無(wú)

15、窮遠(yuǎn)點(diǎn),當(dāng)雙曲線無(wú)限延伸時(shí),該雙曲線與兩條漸近線愈來(lái)愈近,這兩條漸近線經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),這樣雙曲線就由于它的兩個(gè)分支相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)從而就成了封閉的曲線.在上文認(rèn)為直線的兩端相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).同樣,當(dāng)拋物線的兩端無(wú)限延伸時(shí),其斜度越來(lái)越接近的對(duì)稱軸的斜度,可以近似的看作與對(duì)稱軸是平行的,這樣他們都交于同一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),因此拋物線也是封閉的曲線.從以上可以得到:根據(jù)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的關(guān)系把圓錐曲線化為三類:與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒(méi)有交點(diǎn)的或者說(shuō)只有兩個(gè)虛交點(diǎn)的是橢圓:與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)的是雙曲線:與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)的是拋物線.這樣,就把中學(xué)所學(xué)的三種圓錐曲線就在封閉的圓錐曲線這個(gè)框架內(nèi).這對(duì)一些問(wèn)題的解決帶來(lái)極大的方便

16、.第六節(jié)，幾的“得”與“失”由歐氏幾何仿射幾何,垂直這個(gè)概念已經(jīng)沒(méi)有意義了.一個(gè)典型的例子就是正方形在仿射變換下變成了平行四邊形.這種垂直性遭到破壞是件好事還是件壞事呢?辯證的這個(gè)問(wèn)題是很重要的.但有得必有失.得到了什么呢?上文可以把較為復(fù)雜的幾何圖像轉(zhuǎn)化為它的較為簡(jiǎn)單的幾何等價(jià)類來(lái)計(jì)算或證明,尤其是證明可以大大的得到簡(jiǎn)化.一些教科書(shū)上對(duì)橢圓面積在仿射變換下的求法顯示了仿射幾何的巨大直性遭到破壞,那么其面積體積等涉及到度量性質(zhì).聰明的讀者不免要問(wèn)既然其垂是不是也遭到破壞?是這樣的.可以舉一例說(shuō)明.三角形的面積等于二分之一的兩邊之積再乘于該兩邊夾角的正弦.由于在仿射幾中由于垂直失去了意義,故其面

17、積就無(wú)從談起.同樣由仿射幾何射影幾何其平行性也遭到了破壞.也就是說(shuō)在射影幾沒(méi)有平行直線這個(gè)概念,或任何直線都相交.但這并非壞事.可以站在一個(gè)更高的視野下得到射影等價(jià)類.在這種情況下正方形與沒(méi)有一邊是平行的四邊形都是同一類.研究一般四邊形的射影性質(zhì)可以通過(guò)或轉(zhuǎn)化為正方形或平行四邊形來(lái)研究是很方便的.因?yàn)橐话闼倪呅吻姘俟?射影性質(zhì)很難摸索到,但對(duì)于正方形或平行四邊形來(lái)說(shuō)是比較熟悉的,研究起來(lái)比較方便.從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)又比較熟悉數(shù)學(xué)的很多問(wèn)題都是這樣把一個(gè)復(fù)雜,這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)通常的方法.例如轉(zhuǎn)化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單且研究微分方程組的解解決方法.這樣就很法通常把它轉(zhuǎn)化為微分方程來(lái)研究.而對(duì)于微分方

18、程又有一套成方便多了.在射影幾何中凡是與橢圓、雙曲線、拋物線等二次曲線有關(guān)都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為總之法比較熟悉的圓來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題,從而使問(wèn)題更以簡(jiǎn)便的方式解決.幾領(lǐng)域的擴(kuò)大雖然失去了一些東西,但須清楚的看到解決問(wèn)題的方,而且更簡(jiǎn)潔,思路更清晰.這是由于掌握了一個(gè)強(qiáng)大而有力的工具與擁有先進(jìn)的數(shù)學(xué).第七節(jié)，高等幾何用了哪些研究方法？翻開(kāi)任何一本當(dāng)代高等幾何或射影幾何的教科書(shū)都可看到用了很多的代數(shù)或幾何的方法。例如定理或定理證明可以用法。當(dāng)然這里的定理是射影幾何的定理，而不是物理上的或概率上的定理?？梢哉f(shuō)的方法是研究高等幾何的最重要的方法之一。其實(shí)這也很正常。證明歐氏幾何定理可以用幾何的方法，為什么作為更高級(jí)

19、的幾射影幾不能用的方法呢？不然高等幾何高等到何處？當(dāng)然射影幾何也向歐氏幾何一樣用綜合的方法。這兩種方法都是研究射影幾何的最有效的方法。在高等幾何中，用坐標(biāo)來(lái)研究射影幾何方法也是屬于方法的法是很重要的。這就要求在教學(xué)與研究中重視方法的研究。在高等幾何中也看到有別于歐氏幾何與幾何的很多新概念，這些概念的引入是必要的對(duì)于研究射影幾何。例如無(wú)窮遠(yuǎn)元素的引進(jìn)。這不是那個(gè)數(shù)學(xué)大師頭腦一發(fā)熱就想出來(lái)的，而是在處理數(shù)學(xué)上時(shí)一方面是很方便，另一方面是這種引進(jìn)的概念與現(xiàn)實(shí)生活是吻合的。當(dāng)然數(shù)學(xué)史上很多的數(shù)學(xué)家引進(jìn)的概念很多，但大浪淘沙，一些概念沒(méi)有經(jīng)得起時(shí)間與實(shí)踐的檢驗(yàn)就被淘汰了，留下的當(dāng)然是很重要的。因此在數(shù)學(xué)

20、問(wèn)題而大膽的引進(jìn)一些必要的數(shù)學(xué)概念。的教學(xué)與研究中為了解決還有仿射坐標(biāo)的是建立在單比的基礎(chǔ)上的，而那個(gè)傾斜的坐標(biāo)系其實(shí)與的坐標(biāo)系有何區(qū)別？顯然如果沒(méi)有坐標(biāo)的引進(jìn)，的射影的發(fā)展也是很緩慢的，從這點(diǎn)來(lái)說(shuō)射影幾何的發(fā)展來(lái)自于幾何的坐標(biāo)，其實(shí)這也是用的方法來(lái)研究射影幾何。最后我認(rèn)為研究高等幾何時(shí)要采用與幾何對(duì)比的方法。對(duì)比是很重要的數(shù)學(xué)方法之一。在高等幾何的二次曲線的射影理論中，很多的高等幾何給出的數(shù)學(xué)概念與幾何給出的數(shù)學(xué)概念雖然文字?jǐn)⑹錾喜灰粯?，但反映的?shí)質(zhì)是一樣的。通過(guò)對(duì)比可以加深的認(rèn)識(shí)。對(duì)高等幾何還要認(rèn)識(shí)到其它數(shù)學(xué)分支的重要性。幾何就不用談了。其實(shí)還有一個(gè)就是在研究射影幾何時(shí)用了很多的線性代數(shù)中

21、的一些工具，例如矩陣、行列式等。一些不動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)線的解決所用的方法是線性代數(shù)里求特征值與特征向量的方法?？傊?，射影幾何告訴在實(shí)際的教學(xué)與研究中，現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。要大膽的引進(jìn)各種各樣的方法來(lái)解決第八節(jié)，一點(diǎn)觀點(diǎn)我個(gè)人認(rèn)為:在一些綜合院校不開(kāi)設(shè)高等幾何似乎是有諒可原的,但如果師范類院校不開(kāi)設(shè)這門(mén)課則就是大錯(cuò)特錯(cuò).高等幾何是最美的數(shù)學(xué)分支,因?yàn)樗行误w之美,一個(gè)圓,一個(gè)橢圓,一個(gè)螺線等等,這不是抽象的,而是很具體的東西,這在日常生活中觸手可及,舉目就可以看到.常說(shuō)長(zhǎng)得很美,但這里的美應(yīng)該是具體,可以看到的.在中學(xué)教學(xué)中要向?qū)W生宣傳數(shù)學(xué)之美.最好的也是學(xué)生很容易接受的就是射影幾何.另一方面是她離的現(xiàn)實(shí)

22、生活是如此接近,這對(duì)從培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生是很有必要的,更重要的這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的具有較強(qiáng)的幾何直觀是很益的,并使學(xué)生很容易對(duì)數(shù)學(xué)上手.對(duì)學(xué)生的內(nèi)心很可能會(huì)產(chǎn)生極大的震撼與.以上所說(shuō)是拋開(kāi)的應(yīng)試教育而談的.從應(yīng)試教育的角度來(lái)說(shuō)更為重要.在中學(xué),最主要的數(shù)學(xué)課程是代數(shù)與幾何.,如何用射影幾幾何僅僅是法而已.而中學(xué)的歐氏幾的是射影幾來(lái)更好的站在一個(gè)更高的觀點(diǎn)下來(lái)指導(dǎo)的孫子輩的歐氏幾的課堂教學(xué)，這是每個(gè)數(shù)學(xué)教師所必須面對(duì).常說(shuō)給學(xué)生半桶水,要有一桶水.這句話雖然有些過(guò)時(shí),但至今也不能說(shuō)不正確.作為當(dāng)代新時(shí)期的教師所具有的不僅僅是一桶水,更重要的是水的質(zhì)量也很重要的.這一桶水是污染過(guò)的還是深山老林的好水呢這都很重要。最重要的是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的水源，