彩漆銷售問題的模型分析

1、彩漆銷售問題的模型分析摘要針對題目的要求，本題采用分塊逐層深入的方法，首先分析售價與預期銷售 量之間的關系以及銷售增長因子與廣告費之間的關系，廣告費會影響銷售增長因 子，實際銷售量與銷售因子和預期銷售量存在一定關系，又因為售價與預期銷售 量存在一定關系，因此最終由售價和廣告費決定彩漆銷售的利潤，建立它們之間 函數(shù)關系即可解決問題。問題一，根據(jù)題目中表一的數(shù)據(jù)，利用多項式擬合的方法，通過計算和分析， 建立起售價與預期銷售量的函數(shù)關系，得到它們之間的函數(shù)關系式。問題二，根據(jù)題目中表二的數(shù)據(jù)，利用多項式函數(shù)擬合的方法，通過計算和 分析，建立起廣告費與銷售增長因子的函數(shù)關系式。問題三，找出彩漆銷售得到

2、的利潤與廣告費和售價的關系，進一步分析得到 它們之間的函數(shù)關系式，構造方程，利用最優(yōu)化問題中的單純形計算法求出最優(yōu) 解以及最優(yōu)解對應的點，進而得出結(jié)果。關鍵詞：函數(shù)關系、多項式擬合、最優(yōu)化、1問題重述某公司有一批以每桶2元購進的彩漆，為了獲得較高的利潤，希望以較高的 價格賣出，但價格越高，售出量就越少，二者之間的關系由表一給出。于是打算 增加廣告投入來促銷。而廣告費與銷售量的關系可由銷售增長因子來描述。例如， 投入3萬元的廣告費，銷售因子為1.85,意味著做廣告后的銷售量將是未做廣 告銷售量的1.85倍。根據(jù)經(jīng)驗，廣告費與銷售因子的關系如表2,現(xiàn)請你作出決策：投入多少廣告費和售價為多少時所獲得

3、的利潤最大?表1售價2. 002. 503. 003. 504. 004. 505. 005. 506. 00預期銷售量（千桶）413834322928252220表2廣告費（千元）010203040506070銷售增長因子1. 001. 401. 701. 851. 952. 001. 951. 802問題分析本題是一道關于銷售利潤最大化的問題。利潤的制約因數(shù)有彩漆銷售過程中 的廣告費用、銷售增長因子、售價以及預期銷售量，主要問題是要找出各個制約 因數(shù)之間的關系，建立函數(shù)關系式，運用MATLAB中的相關知識來求解，最終得 到結(jié)果。在問題一中，根據(jù)題目中表一提供的數(shù)據(jù)，進行曲線擬合，以得到售價

4、與預 期銷售量之間的函數(shù)關系。在問題二中，根據(jù)題目中表二提供的數(shù)據(jù)，利用多項式擬合的方法進行曲線 擬合，通過計算和分析，建立廣告費與銷售增長因子的函數(shù)關系式。在問題三中，通過問題一和問題二的分析，可以找出彩漆銷售得到的利潤與 廣告費和售價的關系，再進行進一步分析得到它們之間的函數(shù)關系式，構造方程， 再利用最優(yōu)化問題的解決辦法求解。3模型假設1）售價與預期銷售量存在嚴格的函數(shù)關系2）銷售因子與廣告費之間存在嚴格的函數(shù)關系3）廣告的效果完全達到理想效果4）實際銷售量等于未做廣告的銷售量與銷售因子的乘積5）所有彩漆不存在質(zhì)量問題6）彩漆在銷售過程中不會出現(xiàn)任何虧損的現(xiàn)象7）所有彩漆全部按照預期價格售

5、完4符號說明s:售價g:廣告費y：預期銷售量f：獲得的利潤X：銷售增長因子z:做廣告后的銷售量fl:售價與預期銷售量的關系f2:廣告費與銷售增長因子的關系5模型建立及求解在本模型中，利用多項式函數(shù)擬合的方法，建立起售價與預期銷售量的函數(shù) 關系式以及廣告費與銷售增長因子的函數(shù)關系式，再根據(jù)題目意思建立起彩漆銷 售得到的利潤與廣告費和售價的關系，再進行進一步分析得到各變量之間的函數(shù) 關系式，構造方程，再利用最優(yōu)化求出最大利潤以及對應的廣告費和售價?！締栴}一】根據(jù)表一提供的數(shù)據(jù)，利用多項式擬合的方法進行曲線擬合，以得到售價與 預期銷售量之間的函數(shù)關系。表1售價2. 002. 503. 003. 50

6、4. 004. 505. 005. 506. 00預期銷售量（千桶）413834322928252220首先畫出售價與預期銷售量的散點圖，初步分析他們之間可能存在的關系， 以便進行函數(shù)擬合，因此編輯程序如下：s=2.00:0.50:6.00;y=41,38,34,32,29,28,25,22,20;plot（s,y,*r）xlabel（s售價（元），ylabel（y預期銷售量（千桶）title（售價與預期銷售量的散點圖）運行以上程序得到售價與預期銷售量的散點圖由下圖所示：通過分析得知，售價與預期銷售量可能存在形如y=a*x+b的一次線性關系， 于是利用多項式擬合的方法，運用多項式擬合的函數(shù)po

7、lyfit()對售價與預期銷 售量的關系進行進行一項式擬合，于是編輯程序如下：s=2.00:0.50:6.00;y=41,38,34,32,29,28,25,22,20;f1=polyfit(s,y,1)運行以上程序結(jié)果得到下面的結(jié)果，其中-5.1333為一次項系數(shù)，50.4222 為常數(shù)項。f1 =-5.133350.4222緊接著對函數(shù)進行擬合，于是運行以下程序，得到售價與預期銷售量的擬合效果圖如下圖所示:si=linspace(2,6,40);z=polyval（f1,si）;plot（s,y,*,s,y,si,z,-）xlabel（s售價（元），ylabel（y預期銷售量（千桶）tit

8、le（售價與預期銷售量的擬合效果圖）售價與預期銷售量的擬合效果圖s售價（元）遍千量售銷期預通過上面的函數(shù)擬合效果，可以得到售價與預期銷售量的函數(shù)關系式為y=-5.133*s+50.4222,于是就建立起售價與預期銷售量的確切關系?！締栴}二】根據(jù)表二的數(shù)據(jù)，利用多項式函數(shù)擬合的方法，通過計算和分析，建立起廣 告費與銷售增長因子的函數(shù)關系式。表2廣告費（千元）010203040506070銷售增長因子1. 001. 401. 701. 851. 952. 001. 951. 80首先畫出廣告費與銷售增長因子的散點圖，初步分析他們之間可能存在的關 系，以便進行函數(shù)擬合，因此編輯程序如下：g=0:10

9、:70;x=1.00,1.40,1.70,1.85,1.95,2.00,1.95,1.80;plot（g,x,，+b，）xlabel（g廣告費（千元），），ylabel（，x銷售增長因子，）title（，廣告費與銷售增長因子的散點圖，）運行以上程序得到廣告費與銷售增長因子的散點圖有下圖所示，通過初步 分析可知，廣告費與銷售增長因子之間存在形如y=a*x”2+b*x+c的一元二次函數(shù) 關系，其中廣告費為自變量，銷售增長因子為因變量。廣告費與銷售增長因子的散點圖70-T-+987654321 - - - - - - - - - 1111 1111子因長增售銷X6020304050g廣告費(千元)1

10、0利用多項式擬合的方法，運用多項式擬合的函數(shù)polyfit()對廣告費與銷售 增長因子的關系進行進行二項式擬合，于是編輯程序如下:g=0 10 20 30 40 50 60 70;x=1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80;f2=polyfit(g,x,2)運行以上程序結(jié)果得到下面的結(jié)果，其中-0.0004為二次項系數(shù)，0.0409為 一次項系數(shù)，1.0188為常數(shù)項。f2 =-0.00040.04091.0188緊接著對函數(shù)進行擬合，于是運行以下程序，得到售價與預期銷售量的擬 合效果圖如下圖所示:gi=linspace(0,70,700);z=poly

11、val(f2,gi);plot(g,x,o,g,x,gi,z,-)xlabelC廣告費(g),ylabel(銷售增長因子(x)title(廣告費與銷售增長因子的擬合效果圖)子因長增售銷X通過上面的函數(shù)擬合效果，可以得到廣告費與銷售增長因子的函數(shù)關系式為 x=-0.0004*g2+0.0409*g+1.0188,于是就建立起廣告費與銷售增長因子的確切 函數(shù)關系?！締栴}三】找出彩漆銷售得到的利潤與廣告費和售價的關系，進一步分析得到它們之間 的函數(shù)關系式，構造方程，利用最優(yōu)化問題中的單純形計算法求出最優(yōu)解以及最 優(yōu)解對應的點，進而得出結(jié)果。由于售價與預期銷售量的函數(shù)關系式為y=-5.133*s+50

12、.4222,而廣告費與銷 售增長因子的函數(shù)關系式為x=-0.0004*g”2+0.0409*g+1.0188,且廣告費與銷售 量的關系可由銷售增長因子來描述，由題意，投入3萬元的廣告費，銷售因子為 1.85，意味著做廣告后的銷售量將是未做廣告銷售量的1.85倍，我們可以得知 銷售增長因子與預期銷售量和實際銷售量的關系為z=x*y?，F(xiàn)在建立各個變量之 間的函數(shù)關系：銷售彩漆獲得的利潤二銷售總額一成本一廣告費=實際銷售量*售價一實際銷量*2 廣告費用符號表示既是：f = s*z-2*z-g= (s-2) *z-g=(s-2)*(-5.133*s+50.4222)*( -0.0004*g2+0.04

13、09*g+1.0188) -g其中s,g的取值范圍分別為：s=2,6,g=0,70。其實這道題是關于求最大利潤的問題，于是利用最優(yōu)化問題進行求解，由于 f是二元二次方程，因此運用基于單純形算法求多元函數(shù)的極小值點和最小值， 由于本題中要求對f求最大值，因此有必要對f的形式進行略微的變換，變?yōu)?f=-(x(1)-2)*(-5.133*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2)2+0.0409*x(2)+1.0188) +x(2)進而求f的最小值，所求得的結(jié)果的相反數(shù)即是本來題意中的最大利潤。首先建立M文件fxy.m，其中x(1)=s,x(2)=g命令如下：function f=fxy

14、(x)f=-(x(1)-2)*(-5.133*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2).2+0.0409*x(2)+1.0188 )+x(2);接著運行以下程序: x0=2,70;U,fmin=fminsearch(fxy,x0)得到的結(jié)果為：U =5.911635.2089fmin =-118.9573由此根據(jù)本模型所得結(jié)論，當投入35.2089千元廣告費和售價為5.9116元時 所獲得的銷售利潤最大，最大利潤為118.9573千元。6模型評價與改進在問題一和問題二中，先繪制散點圖，然后再進行函數(shù)擬合，過程直觀易懂。 問題三中利用最優(yōu)化問題進行求解，過程簡潔明了，且計算精度較高。但是此模型存在的不足時在問題一和問題二中，函數(shù)擬合會